Relations d ordre, relations d équivalence

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1 Université de Provence Mathématiques générales 2 Relations d ordre, relations d équivalence 1 Relations d ordre Exercice 1. Dans la droite réelle, déterminer les minorants, les bornes inférieures et les minima de chacune des trois parties suivantes: N, R + = [0, + [ et R + =]0, + [. Exercice 2. Quand f et g désignent deux fonctions de R vers R, on écrit f g pour signifier: x R, f(x) g(x). Vérifier qu on définit ainsi un ordre sur l ensemble R R des fonctions de R vers R. Prouver que les fonctions sinus et cosinus ne sont pas commparables. L ordre qu on vient de définir sur R R est-il total? Exercice 3. (L ordre lexicographique.) Quand (a, b) et (c, d) désignent deux couples de nombres entiers naturels, on écrit: (a, b) lex (c, d) pour signifier que l une des deux conditions suivantes est vérifiée: Condition 1. a < c. Condition 2. a = c et b d. Vérifier que cette relation lex est une relation d ordre sur N 2 et que cet ordre est total. Comparer les neuf éléments (1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2), (1,3), (2,3) et (3,3). Exercice 4. Vérifier que la relation définie sur N 2 par: (a, b) (c, d) ( a c et b d ) est une relation d ordre. Prouver, à l aide d un exemple, que cet ordre n est pas un ordre total. Exercice 5. a) Quand a et b désignent deux entiers, rappeler ce que signifie l expression a divise b. b) Prouver que, sur N, la relation divise est une relation d ordre. c) Prouver, par un exemple, que cet ordre est un ordre partiel. 1

2 d) Pour cet ordre de la divisibilité, quels sont les majorants et minorants la paire P = {12, 20}? Quelles sont, toujours pour cet ordre, les bornes supérieure et inférieure de P? Cet ensemble P admet-il un minimum et un maximum pour l ordre de la divisibilité? e) De façon plus générale, soient a et b deux entiers strictement positifs. Quelles sont, pour l ordre de la divisibilité, les bornes supérieure et inférieure de la paire {a, b}? Exercice 6. a) Quand A et B désignent deux ensembles, rappeler ce que signifie l expression A est inclus dans B (ou, si on préfère, A est une partie de B ). b) Soit X un ensemble. On note P(X) l ensemble des parties de X. Prouver que la relation d inclusion est une relation d ordre sur P(X). c) Cet ordre est-il total? d) Pour cet ordre de l inclusion, quelle est la borne supérieure de deux parties de X? Quelle est leur borne inférieure? Exercice 7. En utilisant la propriété fondamentale de l ordre sur les entiers naturels, démontrer le principe de récurrence. Autrement dit: on suppose donnée une liste infinie de propositions P(0), P(1), P(2) etc, on suppose vraie la proposition P(0), on suppose aussi que, pour tout n N, la proposition P(n) implique la proposition P(n + 1) et on demande de prouver que P(n) est vraie pour tout n N en utilisant la propriété fondamentale de l ordre de l ensemble N. Exercice 8. Rappeler ce qu est une suite réelle convergente puis, en utilisant la propriété fondamentale de l ordre de l ensemble R, démontrer que toute suite croissante et majorée converge dans R. 2 Relations d equivalence Exercice 9. a) Vérifier que la relation définie sur R par: xry x y Z est une relation d équivalence. Prouver que toute classe d équivalence rencontre le segment [0, 1] en un ou deux points. b) Vérifier que la relation définie sur R 2 par: (a, b)r(c, d) (a c, b d) Z 2 2

3 est une relation d équivalence. Prouver que toute classe d équivalence rencontre le carré [0, 1] 2 en un, deux ou quatre points. Exercice 10. a) Soit f une application d un ensemble X vers un ensemble Y. Prouver que la relation R f définie sur X par: x 1 R f x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) est une relation d équivalence. b) On se propose de démontrer de deux façons différentes que la relation de congruence modulo 7 est, sur l ensemble Z, une relation d équivalence. Première méthode: vérifier les trois axiomes à partir de la définition suivante de la congruence: deux entiers seront congrus modulo 7 si et seulement si leur différence est un multiple de 7. Seconde méthode: utiliser le résultat de la question (a) ainsi que l autre définition de la congruence: deux entiers seront congrus modulo 7 si et seulement si leurs restes sont les mêmes pour la division euclidienne par 7. Exercice 11. On rappelle la notation: e ix = cosx + i sin x. a) Ecrire les parties réelle et imaginaire de l identité e i(a+b) = e ia e ib. b) Démontrer, pour tout réel x, l identité e ix = 1. c) Résoudre, dans R, l équation e ix = 1. d) Prouver que les nombres complexes e ix et e iy seront égaux si et seulement si les nombres réels x et y sont congrus modulo 2π. e) En déduire que l application suivante est bien définie et qu elle est injective: { Z/5Z C n e i2πn 5. Dessiner l image de cette application. Exercice 12. Soit n un entier naturel 1 et p un facteur premier impair de n a) Prouver que les deux entiers n et n sont premiers entre eux. b) Prouver que les classes dans Z/pZ des quatre entiers 1, ( 1), n et ( n) sont quatre classes distinctes. c) Vérifier que le produit de deux quelconques de ces quatre classes est encore l une de ces quatre classes. Ecrire dans un tableau à 4 4 entrées, la table de multiplication (partielle) correspondante. d) Définissons une relation R sur l ensemble Z/pZ: deux éléments a et b de Z/pZ seront dits réliés au sens de la relation R si b est le produit de a 3

4 par l une des 4 classes 1, ( 1), n et ( n). Prouver que la relation R est une relation d équivalence. e) Calculer la classe d équivalence de 0 et vérifier que toutes les autres classes d équivalence contiennent exactement 4 éléments. f) En déduire que p est congru à 1 modulo 4. g) Prouver que l ensemble des nombres premiers congrus à 1 modulo 4 est infini. Exercice 13. Soit un graphe. On note S l ensemble de ses sommets et A l ensemble de ses arêtes. Deux sommets x et y seront dits réliés par un chemin s il existe un entier naturel n et une liste de sommets x 0, x 1,..., x n qui vérifient les trois conditions suivantes: -le premier sommet x 0 est le sommet x. -le dernier sommet x n est égal à y. -pour tout entier naturel k strictement inférieur à n, les sommets x k et x k+1 sont reliés par une arête (autrement dit: la paire {x k, x k+1 } appartient à l ensemble A). a) Prouver que la relation être reliés par un chemin est une relation d équivalence sur S. b) Les classes d équivalence de cette relation sont appelées les composantes connexes du graphe et un graphe est dit connexe quand il n a qu une composante connexe. Dessiner des exemples de graphes connexes, de graphes à deux composantes et à trois composantes. 3 D autres relations Exercice 14. Prouver que la relation de divisibilité sur Z n est pas une relation d ordre. Exercice 15. Soient f une application d un ensemble X vers lui-même et R la relation définie sur X par: xry y = f(x). Lesquelles des quatres propriétés suivantes la relation R vérifie-t-elle? x X, y X, xry x X, y 1 X, y 2 X, ( xry 1 et xry 2 ) ( y 1 = y 2 ) y X, x X, xry y X, x 1 X, x 2 X, ( x 1 Ry et x 2 Ry ) ( x 1 = x 2 ). 4

5 4 Révisions VRAI FAUX Soit A une partie d un ensemble ordonné. Une borne supérieure de A est nécessairement un majorant de A. VRAI FAUX Un majorant de A est nécessairement une borne supérieure de A. VRAI FAUX Une borne supérieure de A est nécessairement un maximum de A. VRAI FAUX Un maximum de A est nécessairement une borne supérieure de A. VRAI FAUX Un majorant de A est nécessairement un maximum de A. VRAI FAUX Un maximum de A est nécessairement une majorant de A. VRAI FAUX Dans R, toute partie non vide et majorée admet un majorant. VRAI FAUX Dans R, toute partie non vide et majorée admet un maximum. VRAI FAUX Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. VRAI FAUX Pour tout réel a, la borne supérieure de l ensemble {2ax x 2 x R} vaut a 2. VRAI FAUX Pour tout réel a, la borne inférieure de l ensemble {2ax x 2 x R} vaut ( a 2 ). 5

6 La relation R 1 définie sur R 2 {(0,0)} par: (x 1,y 1 )R 1 (x 2,y 2 ) ( r R (x 2 = rx 1 et y 2 = ry 1 )) est-elle une relation d équivalence? La relation R 2 définie sur R 2 {(0,0)} par: (x 1,y 1 )R 2 (x 2,y 2 ) ( r R + (x 2 = rx 1 et y 2 = ry 1 ) ) est-elle une relation d équivalence? La relation R 3 définie sur R 2 par: (x 1,y 1 )R 3 (x 2,y 2 ) ( r R (x 2 = rx 1 et y 2 = ry 1 )) est-elle une relation d équivalence? Pour celles qui sont des relations d équivalence (parmi les trois relations précédentes), préciser quelles sont les classes d équivalence. 6