1 Translation. 2 Vecteurs

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1 Lycée assini ours : Vecteurs du plan seconde 6 1 Translation Définition Soient et deux points du plan. On appelle translation qui transforme en la transformation qui à tout point du plan associe l unique point D tel que [D] et [] ont même milieu. Exercice 1 Sur les figures ci-dessous : a. onstruire les images respectives de par la translation qui transforme en. Que peut-on dire du quadrilatère D? Démontrer que c est toujours vrai. b. onstruire les images respectives de par la translation qui transforme en D. Que constate-t-on? = = 2 Vecteurs 2.1 Définition Égalité Définition On appelle vecteur le bipoint associé à la translation qui transforme en. est appelé origine du vecteur, est appelé extrémité du vecteur. Définition Deux vecteurs sont dits égaux s ils sont associés à une même translation. On a vu dans l exercice précédent que d une part, si D est l image de par la translation de vecteur alors D parallélogramme d autre part que les translations de vecteur et de vecteur D étaient les mêmes donc que = D e cas est général. insi : Propriété = D si et seulement si D est un parallélogramme Remarque ttention à l ordre des lettres! D D Exercice 2 Pour chacune des figures ci-dessous, l égalité = D est-elle vraie? D D 1

2 D Exercice 3 Sur la figure ci-contre : d. Quelles autres égalités de vecteurs peut-on déduire? a. onstruire, à partir des points, et, les points D, E et F tels que : = D, E =, F = b. Quels parallélogrammes peut-on tracer avec ces six points? c. En utilisant ces six points, compléter : D =... =... = F = Notation D Sur le schéma ci-contre, on a = D = EF. On pose alors = = D = EF., D et EF sont appelés des représentants du vecteur. E F 2.2 Somme de deux vecteurs Relation de hasles Définition La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultat de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur. Exercice 4 onstruire ci-dessous un vecteur égal à Le vecteur tracé ci-dessous est-il +. égal à +? onstruire ci-dessous un vecteur égal à +. Propriété :Relation de hasles Pour tous points, et, on a : + = Propriété : Relation de hasles Pour tous points, et, on a : + = + 2

3 Propriété :Règle du parallélogramme Pour tous points,, et D on a : + = D D parallélogramme. D + Exercice 5 ompléter à l aide de la relation de hasles : IJ = I +... XK = XL+...K D = MN =...P E = F...+ G... H... =...+ IJ RS = R S... = JK +...M + + D+ DE =... = D Y = XJ R... Exercice 6 On considère le motif représenté ci-contre. a. iter tous les vecteurs égaux : (a) au vecteur et représentés sur ce motif ; (b) au vecteur FE et représentés sur ce motif. b. En n utilisant que les lettres représentées sur ce motif, déterminer un vecteur égal au vecteur + FE. c. En n utilisant que les lettres représentées sur ce motif, déterminer un vecteur égal aux vecteurs suivants : (a) + H (b) + (c) + DE (d) F + GF (e) E + F D E + F H G 3

4 Exercice 7 Dans chacun des cas de la figure, construire en couleur le vecteur w tel que w = +. Que remarque-t-on dans le dernier cas? 2.3 Vecteur nul Vecteurs opposés Définition On appelle vecteur nul, noté 0, tout vecteur dont son origine et son extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants. On appelle vecteurs opposés tous vecteurs et tels que + = 0. On peut noter = ou =. D après la relation de hasles, + = = 0. On a donc : Proprièté Les vecteurs et sont des vecteurs opposés. On a donc = et =. 3 oordonnées et vecteurs Définition Le plan est muni d un repère (O,I,J). Soient (x ; y ) et (x ; y ) deux points de ce plan. lors les coordonnées du vecteur sont (x x ; y y ). Exercice 8 Sur la figure : a. Donner graphiquement les coordonnées des points,, et D ; b. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : ; ; O; O ; O ; OD ; i et j. Quel lien remarque-t-on entre les coordonnées d un point M quelconque et celles de OM? c. Soit E tel que E =. (a) onstruire E. (b) Déterminer les coordonnées de E. d. Soit F tel que FD = O. (a) onstruire F. (b) Déterminer les coordonnées de FD. e. (a) onstruire un représentant de + D. 4

5 (b) Donner les coordonnées de, de D et de + D. (c) Que remarque-t-on? f. Déterminer les coordonnées de D et de D. Que remarque-t-on? g. (a) onstruire un représentant du vecteur = O+ O. (b) Déterminer ses coordonnées. Les comparer à celles de O. (c) omment pourrait-on noter autrement? h. (a) Déterminer les coordonnées de K, milieu de [D]. (b) Déterminer les coordonnées des vecteurs K et D. (c) Que remarque-t-on? Définition Soit (O,I,J) un repère. On notera i = OI et j = OJ et on pourra parler du repère (O; ı ; j ) Propriété Le plan est muni d un repère. M et OM( ont )... ( ) x x Soit = et = y y. = si, et seulement si,... =... et... =... Propriété ( ) Le plan( est muni ) d un repère. x x Soit =, = y y et k un réel. ( )... Le vecteur + a pour coordonnées.... ( )... Le vecteur k a pour coordonnées.... Propriété I milieu de [] si et seulement si I = 1 2. Propriété Le vecteur nul 0 a pour coordonnées (0; 0). Exercice 9 Sur la figure : a. Placer (2;0), (3;1), ( 1;4) et D( 1; 2). b. (a) onstruire un représentant de + D. (b) Donner ses coordonnées. c. (a) onstruire un représentant de 1 2 et de 2 D. (b) Donner les coordonnées de et de 1 2. (c) Donner les coordonnées de D et de 2D. 4 olinéarité de deux vecteurs Définition Deux vecteurs et sont dits colinéaires s il( existe un) réel k tel que = k ou tel que = k. remarque Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur 0 = 0. Exercice 10 D est un parallélogramme. E est le symétrique de D par rapport à et F est le symétrique de D par rapport à. ( a. Dans le repère ;, ), déterminer, par lecture graphique et sans justifier, les coordonnées de tous les points de la figure. b. (a) Déterminer les coordonnées des vecteurs F et FE. es vecteurs sont-ils colinéaires? (b) Démontrer, géométriquement, que les points F, et E sont alignés. 5

6 c. (a) Déterminer les coordonnées du vecteur. Les vecteurs et FE sont-ils colinéaires? (b) Démontrer, géométriquement, que les droites () et (F E) sont parallèles. e résultat est général. Plus précisément : Propriété Soient,, et D quatre points du plan.,, alignés si et seulement si et colinéaires () (D) si set seulement si et D colinéaires On a de plus la propriété suivante : Propriété Le plan est muni d un repère. Soient(x; y) et(x ; y ) deux vecteurs du plan. lors : et colinéaires si et seulement sixy x y = 0 Exercice 11 Dans le repère (O; ı ; j ), on donne (1; 2), (3; 1,5), (4; 0,5) et D(2; 0); Montrer que D est un parallélogramme. Exercice 12 Le plan est muni d un repère quelconque. On donne les points ( 5; 3), ( 4; 1) et (1; 4). a. Déterminer les coordonnées de I, milieu de []. b. Déterminer les coordonnées de D tel que D soit un parallélogramme. Exercice 13 Le plan est muni du repère(o; ı ; j ). Soient les points( 9; 10),(2; 9),(5; 3),D( 1; 8) ete(3; 0). a. Les points, D et E sont-ils alignés? b. Les droites () et (D) sont-elles parallèles? Exercice 14 Le plan est muni du repère (O; ı ; j ). Soient les points (2; 4), ( 1; 3), ( 3; 2). a. Déterminer les coordonnées des vecteurs, et +. b. Déterminer les coordonnées du point D tel que + = OD c. Quelles sont les coordonnées du point E tel que E = 1 D? d. Montrer que E milieu de [O]. Exercice 15 D est un parallélogramme. est le symétrique de par rapport à et E est le milieu de []. a. Déterminer les coordonnées des points, E et D dans le repère b. Montrer que les points, E et D sont alignés 2 ( ) ;, D Exercice 16 D est un quadrilatère quelconque. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [], [], [D] et [D]. a. Montrer, à l aide de la relation de hasles, que IJ = 1 2. b. Montrer, à l aide de la relation de hasles, que LK = 1. c. En déduire la nature du quadrilatère IJKL. Exercice 17 est un triangle quelconque. K est le milieu de [], I le milieu de [K] et J le point tel que = 3 J. a. Faire un figure. b. près avoir choisi un repère adapté, calculer les coordonnées des points K, I et J. c. Démontrer que les points, I et J sont alignés. 6 2

7 Exercice 18 Soit un parallélogramme D. On définit deux points E et F par : E = 1 3 et F = 2 3. a. hoisir un repère et, dans ce repère, déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. b. Montrer que les droites (DE) et (F) sont parallèles. c. On appelle I le point d intersection des droites () et (DE) et J celui des droites (D) et (F). Montrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (D) 7

8 Figure 1 Figure de l exercice D I I j i O Figure 2 Figure de l exercice j O i 8