H - RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE

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1 Triangle rectangle H - RELTIONS METRIQUES DNS LE TRINGLE Soit B un triangle rectangle en et H le pied de la hauteur issue de. B H Les triangles B, HB et H sont semblables. On en déduit les égalités suivantes d où l on tire les relations H = B H = B, H = B HB = B B, HB H = H H = B (1) B 2 = B BH et 2 = B H. Un côté de l angle droit est moyenne proportionnelle entre l hypoténuse entière et sa projection sur l hypoténuse. (2) B = H B (formule de la double surface) Le produit des côtés de l angle droit est égal au produit de la hauteur par l hypoténuse. (3) H 2 = HB H. La hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu elle détermine sur l hypoténuse.

2 H 2 En sommant les deux relations de (1), on obtient le théorème de Pythagore (4) B = B 2. Le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En faisant le quotient des relations de (1), on obtient (5) B 2 2 = BH H. Les carrés des côtés de l angle droit sont proportionnels à leurs projections sur l hypoténuse. Enfin, en utilisant (2) et (4) : donc (6) 1 B = B2 + 2 B 2 2 = B 2 (H B) 2 = 1 H 2, 1 B = 1 H 2. La somme des inverses des carrés des côtés de l angle droit est égale à l inverse du carré de la hauteur. Triangle quelconque Les notations étant les mêmes que ci-dessus, on note également B = c, B = a et = b. c b B H a

3 H 3 1) alcul d un côté en fonction des deux autres On utilise le théorème de Pythagore dans HB et H. On a B 2 = H 2 + HB 2 et 2 = H 2 + H 2,. En soustrayant ces deux égalités 2 B 2 = H 2 HB 2 = (H + HB)(H HB). Mais d où H + HB = 2HB + B et H HB = B, 2 B 2 = B 2 2B BH, ce qui donne la relation cherchée (7) 2 = B 2 + B 2 2B BH. onséquence : un triangle est rectangle en B si et seulement si 2 = B 2 + B 2. En effet cette condition équivaut à et donc à B = H. B BH = 0 2) alcul des hauteurs En utilisant le théorème de Pythagore et la formule (7), on a et on en tire H 2 = B 2 BH 2 et BH = a2 + c 2 b 2 ( a H 2 = c c 2 b 2 ) 2. 2a En réduisant au même dénominateur et en factorisant, il vient lors en notant H 2 = le demi-périmètre du triangle, on trouve 2B (c + a b)(c + a + b)(b + c a)(b + a c) 4a 2. p = a + b + c 2

4 H 4 (8) h = 2 p(p a)(p b)(p c). a On remarque que les hauteurs sont inversement proportionnelles aux côtés correspondants. 3) alcul des bissectrices Soit D le pied de la bissectrice issue de. On pose d = D, m = BD et n = D. d m B H D En utilisant la relation (7) dans DB et D, on trouve c 2 = d 2 + m 2 2m DH et b 2 = d 2 + n 2 + 2n DH. On élimine DH par combinaison ce qui donne nc 2 + mb 2 = (m + n)d 2 + nm(n + m). Mais en utilisant les relations entre les bissectrices (voir G), on a et, puisque on tire d où m c = n b = m + n = a n a b + c abc = a(d 2 + mn) (9) d 2 = bc mn. On a une relation analogue pour la bissectrice extérieure de l angle. (9 ) d 2 = m n bc.

5 H 5 On peut calculer d et d en fonction des côtés du triangle. On a d 2 = bc a2 bc (b + c) 2 d où l on tire et donc d 2 = bc (b + c + a)(b + c a) (b + c) 2 (10) d = 2 Pour des raisons analogues, on aura (10 ) d = 2 bc (p a)p. b + c bc (p b)(p c). b c Remarque : on a la relation 4) alcul des médianes dd = 2abc b 2 c 2 h. Soit I le milieu de [B]. On pose, µ = I. c µ b B H I En partant de la relation (7) dans les triangles BI et I, on trouve c 2 = I 2 + BI 2 2IB IH et b 2 = I 2 + I 2 2I IH. lors, puisque on obtient, par addition, IB = I, b 2 + c 2 = 2(IB 2 + I 2 )

6 H 6 et puisque I est le milieu de B, on en tire (11) µ 2 = b2 + c 2 2 a2 4. onséquence : l ensemble des points du plan tels que B = k 2 est le cercle de centre I et de rayon 2k 2 a 2 /2. Remarque : en soustrayant les formules c 2 = I 2 + BI 2 2IB IH et b 2 = I 2 + I 2 2I IH, on trouve et l ensemble des points tels que B 2 2 = 2IH B B 2 2 = k est la droite orthogonale en H à B avec IH = k 2B. alcul de l aire d un triangle En considérant le triangle comme un demi-parallélogramme, on a (12) S = 1 2 a h. 1) En fonction des côtés du triangle On déduit des formules (8) et (12) (13) S = p(p a)(p b)(p c). 2) En fonction du rayon du cercle inscrit Soit O le point d intersection des bissectrices, centre du cercle inscrit de rayon r.

7 H 7 O r B On a S = S OB + S BO + S O. Les aires des petits triangles se calculent à l aide de (12). La hauteur est le rayon r du cercle inscrit, d où S = 1 2 rc ra rb et donc (14) S = p c. 3) En fonction du rayon d un cercle exinscrit Soit Ω le centre du cercle exinscrit dans l angle, de rayon r. B r Ω

8 H 8 On a, pour des raisons analogues S = S ΩB + S Ω S ΩB. d où S = 1 2 r c r b 1 2 r a et donc (15) S = (p a)r. Remarque : si l on effectue le produit des cercles inscrits et exinscrits on obtient r r r B r = S 2. 4) En fonction du rayon d un cercle circonscrit Soit est un diamètre du cercle circonscrit de rayon R. B H Les triangles rectangles et BH sont semblables car les angles ÂB et  interceptent le même arc, donc H = B et on en déduit lors h b = c 2R. (16) S = 1 2 ah = abc 4R.

9 H 9 alcul du rayons des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit On déduit des formules précédentes l expression de ces rayons en fonction des côtés. rayon du cercle inscrit r = (p a)(p b)(p c) p rayon du cercle exinscrit dans l angle r = p(p b)(p c) p a rayon du cercle circonscrit abc R = 4 p(p a)(p b)(p c) omplément sur les médianes c m b n p B a D après (11), on a pour les trois médianes m 2 = 1 4 ( a2 + 2b 2 + 2c 2 ) n 2 = 1 4 ( b2 + 2c 2 + 2a 2 ) p 2 = 1 4 ( c2 + 2a 2 + 2b 2 ) et ceci peut s écrire matriciellement M = 3 4 J où m 2 M = n 2, = b 2, J = 1 p 2 c 2 3 a

10 H 10 omme J est une matrice de symétrie orthogonale, on a J = t J = J 1 et donc = 4 3 J M. les vecteurs 3/4 et M ont même norme, ce qui donne la relation Par ailleurs les inégalités triangulaires équivalent, en élevant au carré, à puis à et enfin à ce qui s écrit matriciellement sous la forme m 4 + n 4 + p 4 = 9 16 (a4 + b 4 + c 4 ). a b c a + b 2ab c 2 a 2 b 2 2ab (c 2 a 2 b 2 ) 2 2a 2 b 2 2(a 2 c 2 + b 2 c 2 + a 2 b 2 ) a 4 b 4 c 4 0 t 0, où est la matrice de la forme quadratique du membre de gauche, c est-à-dire = = 1 (3J I) On a aussi, puisque et J commutent, t = 16 9 t M tj J M = 16 9 Il en résulte que les médianes vérifient aussi les inégalités triangulaires m n p m + n. t M M. e résultat se retrouve d ailleurs d une manière simple. ppelons B les sommets du triangle et, B, les pieds des médianes issues de, B et respectivement. Soit G le centre de gravité, intersection des médianes. On a + B B + = 3 2 ( G + GB + G) = 0. Donc, si l on choisit un point quelconque 1 du plan et si l on définit B 1 et 1 par 1 B 1 = et B 1 1 = B B

11 H 11 on aura 1 1 =. eci montre que 1 B 1 1 est un triangle dont les côtés sont les médianes de B. Il en résulte bien les inégalités triangulaires voulues. B 1 m B 1 n p B 1 omme autre conséquence, on obtient que les six triangles formés à partir des côtés et des médianes de B ont des aires égales. Par exemple le triangle G a pour aire = 1 2 G G = = Et donc = B On obtient les 2/9 de l aire du triangle 1 B 1 1. omme c est aussi les 1/6 de l aire de B, on en déduit que l aire de 1 B 1 1 est les 3/4 de celle de B. Remarque Soit O un point situé à l intérieur d un triangle B, et sur B, sur B et B sur tels que les droites, BB, soient concourantes en O. On peut se demander si les longueurs des segments [ ], [BB ] et [ ] sont celles des côtés d un triangle. L exemple des hauteurs qui sont proportionnelles à l inverse des côtés, permet de donner un contrexemple. Soit x > 1. Les nombres x 1, x, x + 1 sont les mesures des côtés d un triangle si et seulement si 2 < x < 2x, c est-à-dire si et seulement si x > 2. Les inverses de ces nombres sont les mesures des côtés d un triangle si et seulement si 1 x 1 1 x + 1 < 1 x < 1 x x + 1,

12 H 12 c est-à-dire ce qui équivaut encore à 2 x 2 1 < 1 x < 2x x 2 1, x 2 2x 1 > 0. Les racines de ce trinômes étant 1 ± 2, il suffit de prendre x compris entre 2 et pour que les inégalités triangulaires ne soient pas vérifiées par les nombres 1/(x 1), 1/x, 1/(x + 1) donc par les hauteurs du triangle.