Fichier de géométrie

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1 Fichier de géométrie Sommaire F1 F2 F3 F4 Périmètres Aires Volumes Tableaux de conversions F5 F6 Comment démontrer que deux droites sont parallèles Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires F7 F8 F9 Comment démontrer qu un triangle est rectangle Comment démontrer qu un triangle est isocèle Comment démontrer qu un triangle est équilatéral F10 F11 F12 F13 F14 Comment démontrer qu une droite est la médiatrice d un segment Comment démontrer qu une droite est la bissectrice d un angle Comment démontrer qu une droite est une médiane d un triangle Comment démontrer qu une droite est une hauteur d un triangle Comment démontrer qu une droite est une tangente à un cercle F15 F16 F17 F18 Points particuliers dans un triangle Comment démontrer qu un point est le milieu d un segment Comment démontrer que trois points sont alignés Comment démontrer que deux points sont symétriques F19 Comment calculer la mesure d un angle F20 Comment démontrer que deux angles sont égaux F21 Comment calculer une longueur F22 Comment démontrer que deux longueurs sont égales F23 F24 F25 F26 Comment démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Comment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle Comment démontrer qu un quadrilatère est un losange Comment démontrer qu un quadrilatère est un carré Fiche quadrilatères

2 F1 Périmètres Unités : km, hm, dam, m, dm, cm, mm Le périmètre d un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés. Polygone Périmètre de ABCDE = AB + BC + CD + DE + EA. Longueur du cercle = 2 x π x r. Cercle Longueur du cercle = π x d. π 3,14 (arrondi au centième) r : rayon d : diamètre F2 Aires Carré Rectangle Parallélogramme Trapèze unités : km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2 Aire = c c c : côté Aire = c² L : longueur l : largeur Aire = L l b : base h : hauteur Aire = b h b : petite base B : grande base h : hauteur Aire = ( B+b ) h 2

3 F2 suite Aires Triangle rectangle unités : km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2 Aire =. l L l L 2 } côtés de l'angle droit Triangle b : base h : hauteur Aire =. b h 2 Aire = π r r Disque Aire = π r² r : rayon Le patron d un cylindre est constitué de deux disques de rayon r et d un rectangle de longueur 2 π r. Cylindre L aire totale du cylindre est égale à la somme des aires de ces trois figures. Dans le patron d un cône de révolution : La base est un disque. La surface latérale est un secteur circulaire. Cône de révolution La longueur de l arc de cercle délimitant la surface latérale est égale au périmètre de la base L aire totale du cône est égale à la somme des aires de ces deux figures. Aire = 4 π r² Sphère r : rayon

4 F3 Volumes Unités : km3, hm3, dam3, m3, dm3, cm3,mm3 kl, hl, dal, L, dl, cl, ml 1 dm3 = 1 L Volume = a a a Cube Volume = a3 a : arête Volume = L x l x h Pavé droit L : Longueur l : largeur h : hauteur Prisme droit et Cylindre Volume = A x h A : aire de la base h : hauteur Pyramide et Cône A : aire de la base Sphère r : rayon Volume = A h 3 Volume = 4 π r 3 h : hauteur 3

5 F4 Tableaux de conversions Longueurs, aires et volumes Longueurs : 1 km = 10 hm, 1 hm = 10 dam etc km hm dam m dm cm mm Aires : 1 km² = 100 hm², 1 hm² = 100 dam² etc Pour convertir les unités d aire, j utilise le tableau ci-contre. km² hm² dam² m² dm² cm² mm² d u d u d u d u d u d u d u d : dizaines u : unités Pour convertir les unités de volume, j utilise un des trois tableaux cidessous: Volumes : 1 km3 = hm3, 1 hm3 = dam3, 1 dam3 = m3 etc 1 kl = 10 hl, 1 hl = 10 dal, 1 dal = 10 L, 1 L= 10 dl etc c : centaines d : dizaines u : unités 1 L = 1 dm3 c km3 d u c : centaines c hm3 d u c dam3 d d : dizaines u c m3 d u c dm3 d u c cm3 d u c mm3 d u : unités kl hl dal L dl km3 hm3 dam3 m3 dm3 kl hl dal cl L dl cm3 cl ml ml mm3 u

6 F5 Comment démontrer que deux droites sont parallèles Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors ces deux droites sont parallèles P4 Si un quadrilatère est un parallélogramme (ou un losange, ou un rectangle ou un carré) alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

7 F5 Comment démontrer que deux droites sont parallèles P5 Si deux droites coupées par une sécante forment avec elle des angles alternes internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles. P6 Si deux droites coupées par une sécante forment avec elle des angles correspondants égaux, alors ces deux droites sont parallèles. P7 : Théorème de la droite des milieux Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors cette droite est parallèle au troisième côté. P8 : La réciproque du théorème de Thalès. AE AF et AB AC Je compare les résultats obtenus Je calcule séparément S il y a égalité et si les points A, E, B et A, F, C sont alignés dans le même ordre, je peux utiliser la réciproque du théorème de Thalès. 3ème

8 F6 Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Si deux droites sont parallèles, et si une droite est perpendiculaire à l une, alors cette droite est aussi perpendiculaire à l autre. Si un quadrilatère est un rectangle (ou un carré) alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires deux à deux. Si un quadrilatère est un cerf-volant ( ou un losange, ou un carré) alors ses diagonales sont perpendiculaires P4 Si un triangle est rectangle, alors il a deux côtés perpendiculaires. (voir F7)

9 F6 Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires P5 Si une droite est la médiatrice d un segment, alors cette droite est perpendiculaire à ce segment (en son milieu) P6 Si une droite est la hauteur relative à un côté d un triangle, alors elle est perpendiculaire à ce côté. P7 Si une droite est la tangente à un cercle en un point, alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle en ce point

10 F7 Comment démontrer qu un triangle est rectangle Si un triangle a deux côtés perpendiculaires (ou un angle droit), alors c est un triangle rectangle Si on joint un point d un cercle aux extrémités d un diamètre de ce cercle, alors le triangle obtenu est rectangle en ce point. Si dans un triangle, la médiane issue d un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet. P4 : Propriété caractéristique de Pythagore Si dans un triangle, le carré de la longueur d un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté pour hypoténuse. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n est pas rectangle. Je calcule séparément : le carré de la longueur du plus grand côté ( ici, PA²) la somme des carrés des longueurs des deux plus petits côtés ( ici, PF² + AF²) Je compare les résultats obtenus S il y a égalité, alors le triangle est rectangle (S il n y a pas égalité, alors le triangle n est pas rectangle)

11 F8 Comment démontrer qu un triangle est isocèle Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors c est un triangle isocèle. Si un triangle a deux angles égaux, alors c est un triangle isocèle. Si dans un triangle deux des quatre droites suivantes : bissectrice, hauteur, médiane ou médiatrice, sont confondues, alors ce triangle est isocèle. F9 Comment démontrer qu un triangle est équilatéral Si un triangle a ses trois côtés de même longueur, alors c est un triangle équilatéral. Si un triangle a ses trois angles égaux, alors c est un triangle équilatéral. Si un triangle isocèle a un angle de 60, alors c est un triangle équilatéral

12 F10 Comment démontrer qu une droite est la médiatrice d un segment Si une droite coupe un segment perpendiculairement et en son milieu, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. Si deux points distincts sont symétriques par rapport à une droite, alors cette droite est la médiatrice du segment qui joint ces deux points. Si une droite passe par deux points distincts et équidistants des extrémités d un segment, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. -

13 F11 Comment démontrer qu une droite est la bissectrice d un angle Si une droite partage un angle en deux angles de même mesure, alors cette droite est la bissectrice de cet angle. Si une droite passe par le sommet d un angle et par un point équidistant des côtés de cet angle, alors cette droite est la bissectrice de cet angle. Si dans un triangle, une droite passe par un sommet et par le point d intersection de deux bissectrices, alors cette droite est une bissectrice de ce triangle. (Le point d intersection des bissectrices des angles d un triangle est appelé le centre du cercle inscrit dans ce triangle)

14 F12 Comment démontrer qu une droite est une médiane d un triangle Si dans un triangle une droite passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet alors cette droite est une médiane de ce triangle. F13 Comment démontrer qu une droite est une hauteur d un triangle Si dans un triangle, une droite est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé à ce côté, alors cette droite est une hauteur de ce triangle. F14 Comment démontrer qu une droite est une tangente à un cercle Si A est un point d un cercle de centre O et si une droite est perpendiculaire en A au rayon [OA] de ce cercle, alors cette droite est la tangente à ce cercle en A.

15 F15 Points particuliers dans un triangle Centre du cercle circonscrit à un triangle Les trois médiatrices des côtés d un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Orthocentre d un triangle Les trois hauteurs d un triangle se coupent en un même point. Ce point est l orthocentre de ce triangle. Centre de gravité d un triangle P4 Les trois médianes d un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre de gravité de ce triangle. Centre du cercle inscrit dans un triangle P5 Les bissectrices des trois angles d un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

16 F16 Comment démontrer qu un point est le milieu d un segment Si un point appartient à un segment et si ce point est équidistant des extrémités de ce segment, alors ce point est le milieu de ce segment. Si un point est le centre d un cercle, alors ce point est le milieu de chaque diamètre de ce cercle. Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle coupe ce segment en son milieu (et perpendiculairement). P4 La symétrie axiale conserve le milieu. P5 La symétrie centrale conserve le milieu.

17 F16 Comment démontrer qu un point est le milieu d un segment P6 Si les extrémités d un segment sont symétriques par rapport à un point, alors ce point est le milieu de ce segment. P7 Si un quadrilatère est un parallélogramme ( ou un rectangle, ou un losange ou un carré), alors ses diagonales se coupent en leur milieu. P8 Si une droite est une médiane relative à un côté d un triangle, alors elle coupe ce côté en son milieu. P9 Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

18 F17 Comment démontrer que trois points sont alignés Si trois points appartiennent à une même droite, alors ces trois points sont alignés. Si un point est le milieu d un segment, alors ce point et les extrémités de ce segment sont alignés. Si MOT est un angle plat (180 ), alors les points M, O et T sont alignés (dans cet ordre). P4 La symétrie axiale conserve l alignement. P5 Si IL + LE = IE, alors les points I, L et E sont alignés (dans cet ordre). Je commence par calculer IL + LE Je compare le résultat obtenu à IE S il y a égalité, je peux utiliser la propriété P6 La symétrie centrale conserve l alignement.

19 F18 Comment démontrer que deux points sont symétriques : Symétrie axiale Si une droite est la médiatrice d un segment, alors les extrémités de ce segment sont symétriques par rapport à cette droite. : Symétrie centrale Si un point est le milieu d un segment, alors les extrémités de ce segment sont symétriques par rapport à ce point.

20 F19 Comment calculer la mesure d un angle Si une droite est la bissectrice d un angle alors elle partage cet angle en deux angles égaux. La somme des mesures des trois angles d un triangle est égale à 180. Si EAU est un triangle, alors E + A + U = 180 Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures de ses deux angles aigus est égale à 90. (On dit que ces deux angles sont complémentaires). Si le triangle OUI est rectangle en U, alors I + O = 90

21 F19 Comment calculer la mesure d un angle P4 Trigonométrie dans un triangle rectangle SOH CAH TOA longueur du côté opposé à l'angle longueur de l'hypoténuse longueur du côté adjacent à l'angle cos (angle) = longueur de l'hypoténuse longueur du côté opposé à l'angle tan (angle) = longueur du côté adjacent à l'angle sin (angle) = 3ème P5 Si dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l angle au centre est égale au double de la mesure de l angle inscrit. 3ème P6 Si un polygone régulier a n côtés, alors tous ses «angles au 360 centre» mesurent n 3ème

22 F20 Comment démontrer que deux angles sont égaux Si une droite est la bissectrice d un angle, alors elle partage cet angle en deux angles égaux. Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux. La symétrie axiale conserve les angles. P4 La symétrie centrale conserve les angles. P5 Si un quadrilatère est un parallélogramme (ou un losange) alors ses angles opposés sont égaux deux à deux.

23 F20 Comment démontrer que deux angles sont égaux P6 Si un triangle est équilatéral, alors il a ses trois angles égaux (à 60 ) P7 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux. P8 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment avec cette sécante des angles correspondants égaux. P9 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors elles forment avec cette sécante des angles alternes-internes égaux. 0 Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux. 3ème

24 F21 Comment calculer une longueur En utilisant un périmètre, une aire ou un volume. Si B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l angle droit (ou médiane relative à l hypoténuse) est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. P4 Si dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

25 F21 Comment calculer une longueur P5 : Propriété des trois rapports égaux et Théorème de Thalès Si ABC est un triangle E [AB] et F [AC] (EF) et (BC) sont parallèles Alors AE AF EF = = AB AC BC 3ème P6 : Trigonométrie dans un triangle rectangle SOH CAH TOA longueur du côté opposé à l'angle longueur de l'hypoténuse longueur du côté adjacent à l'angle cos (angle) = longueur de l'hypoténuse longueur du côté opposé à l'angle tan (angle) = longueur du côté adjacent à l'angle sin (angle) = 3ème P7: Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés. Si le triangle MER est rectangle en M, alors ER² = ME² + MR²

26 F22 Comment démontrer que deux longueurs sont égales Si un point est le milieu d un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. Si deux points appartiennent à un même cercle, alors ils sont situés à la même distance du centre de ce cercle. Si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de même longueur. P4 Si un triangle est équilatéral, alors il a ses trois côtés de même longueur P5 Si un quadrilatère est un losange (ou un carré), alors ses quatre côtés sont de même longueur. P6 Si un quadrilatère est un rectangle (ou un carré), alors ses diagonales sont de même longueur.

27 F22 Comment démontrer que deux longueurs sont égales P7 Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. P8 La symétrie axiale conserve les longueurs. P9 La symétrie centrale conserve les longueurs. 0 Si un quadrilatère est un parallélogramme (ou un rectangle, ou un losange ou un carré) alors ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur. 1 Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors ce point est équidistant des côtés de cet angle.

28 F23 Comment démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

29 F24 Comment démontrer qu un quadrilatère est un rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle. Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. P4 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

30 F25 Comment démontrer qu un quadrilatère est un losange Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors ce quadrilatère est un losange Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et de même milieu, alors ce quadrilatère est un losange Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors ce parallélogramme est un losange P4 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange

31 F26 Comment démontrer qu un quadrilatère est un carré Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un carré. Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un carré. Si un losange a ses diagonales de même longueur, alors c est un carré. P4 Si un losange a un angle droit, alors c est un carré.

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