UEO1 Mathé matiqués :

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1 UEO1 Mathé matiqués : Cours de Mme Kober Table des matières Chapitre 1 : Les ensembles de nombres :... 2 I- Signification de l écriture a/b, où a et b sont des nombres entiers et b 0 :... 2 II- Introduction des fractions à l école élémentaire : En CE1/CE2 : En CM1 :... 2 III- Rappels L inverse de a : Une fraction irréductible :... 3 IV- Passage des fractions usuelles aux fractions décimales puis aux nombres décimaux :... 3 Cas de fractions décimales :... 3 V- Ensemble de nombres : Les nombres entiers naturels : Les nombres rationnels : Les nombres décimaux :... 3 Chapitre 2 : La proportionnalité :... 5 I- Théorème de Thalès :... 5 II- La proportionnalité :... 6 Produit en croix (pas en primaire) :... 6 Retour à l unité (primaire) :... 6 Règle de trois (pas au primaire) :... 6 Compétences de l élève en proportionnalité :... 6 Types de résolution :... 7 Chapitre 3 : Pourcentage... 7 Chapitre 4 : Géométrie dans l espace... 7 I- Quelques définitions... 7 II- Calculs d aire, de volume /8

2 Chapitre 1 : Les ensembles de nombres : I- Signification de l écriture, où a et b sont des nombres entiers et b 0 : Exemple : 7 x Sens de part CM1-CM2 7 : 4 Sens de la division 6 e Rapport entre deux grandeurs. Ex : 7 volumes d eau pour 4 volumes de grenadine. Coefficient d agrandissement d une figure Sens de proportionnalité CM2 (dans des cas simples) CM1-CM2 4 x = 7 Sens d équation 5 e -4 e On a divisé l unité b en parts identiques. II- Introduction des fractions à l école élémentaire : 1. En CE1/CE2 : Les fractions usuelles apparaissent avec la lecture de l heure (ex : ¾ d heure). Quelques fractions usuelles : 2. En CM1 : Etude de ces fractions : à partir d une unité, partage en parts égales. On n étudie pas la simplification des fractions mais les élèves peuvent naturellement se rendre compte que. L addition de fractions de même dénominateur :. L addition de fractions simples et connues, de dénominateurs différents :. Les fractions supérieures à l unité :. III- Rappels 1. L inverse de a : L inverse de a est le nombre qui multiplié par a donne 1. 2/8

3 Or est impossible. Donc 0 n a pas d inverse. 2. Une fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n ont pas de diviseur commun. Le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux. La fraction n est pas simplifiable. IV- Passage des fractions usuelles aux fractions décimales puis aux nombres décimaux : CE2 : fractions usuelles simples ( ). CM1 : signification de l écriture fractionnaire ( ), avec cas de fractions supérieures à 1 ( ). Cas de fractions décimales : Les fractions qui peuvent s écrire avec une puissance de 10 au dénominateur. Exemples : V- Ensemble de nombres : 1. Les nombres entiers naturels : 2 ; 0 ; 12 ; ; 4,0 ; On note l ensemble des entiers naturels. 2. Les nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s écrire avec a, b et b 0. Ex : Mais pas. 3. Les nombres décimaux : Ex : 3,25 =. Mais pas Un nombre décimal est un nombre qui peut s écrire avec une virgule mais qui, après la virgule, possède un nombre fini de chiffres. Un nombre décimal est un nombre qui peut s écrire sous la forme d une fraction décimale (c est-à-dire dont le dénominateur est une puissance de 10). 3/8

4 Remarque : On travaille en mathématiques avec différents ensembles de nombres : L ensemble est l'ensemble des entiers naturels, il contient les éléments 0; 1 ; 2 ; 3 ;... L'ensemble est l'ensemble des entiers relatifs, il contient tous les éléments de, plus les nombres qui sont des entiers négatifs comme -1 ; -2 ; -3 ; L'ensemble des décimaux relatifs : il regroupe tous les éléments précédents et de manière générale et les nombres qui peuvent se mettre sous la forme d'une fraction où le numérateur est un nombre relatif et le dénominateur est une puissance entière de 10. Ex : 3/10 ; 6/2 L'ensemble est l'ensemble des rationnels, il regroupe tous les éléments précédents et de manière générale, les éléments qui peuvent se mettre sous la forme d'une fraction, c'est à dire d'un quotient de deux entiers relatifs. Ex : 1/3. L'ensemble est l'ensemble des nombres réels, il regroupe tous les éléments précédents et de manière générale les abscisses de tout point d'une droite. L'ensemble est l'ensemble des nombres complexe, il regroupe tous les éléments précédents et d'autres nombres comme i. Ces différents ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres suivant le schéma suivant : Exemple :,,.,,.,,.,,. 4/8

5 ,, (irrationnel).,.,. Règle : Pour déterminer si : 1. Simplifier 2. Décomposer b en facteurs premiers. S il n y a que des puissances de 2 et/ou 5, alors. Remarque sur les puissances : 3 4 = 3 x 3 x 3 x x 3 2 = 3 6 a x x a y = a xy 3 3 x 5 3 = 15 3 a x x b x = (a x b) x Remarque sur les carrés de nombre : 11² = ² = ² = ² = ² = 225 Remarque sur du vocabulaire didactique : Les règles, que les élèves se créent, sont appelées théorème-élève. NB : 11² = ² = ² = ² = ² = 225 NB : Les règles que les élèves se créent, sont appelées théorème-élève (cf. exercice 2.b. du doc 6 du 14/02/2012). I- Théorème de Thalès : Chapitre 2 : La proportionnalité : Si A, B, C et A, D, E alignés dans cet ordre et (BD) // (CE) alors AB/AC = AD/AE = BD/CE 5/8

6 Dans le triangle ABC, on a D Є [AB] et E Є [AC] tel que (DE) // (BC). Alors AD/AB = AE/AC = DE/BC Soit le triangle LMN réduit en IJK, un coefficient de proportionnalité les lie tel que IJ/LM = IK/LN = JK/MN II- La proportionnalité : Voir doc 15 du CM7 du 15/03/2012. Produit en croix (pas en primaire) : G1 7p 112p G2 130g x g 7/130 = 12/x 7x = 12 x 130 x = 12 x 130 / 7 = 222,8 Donc x = 222,8 g. Retour à l unité (primaire) : G1 7p 1p 12p G2 130g 130/7 g 222,8g Règle de trois (pas au primaire) : Si pour 7 personnes j ai besoin de 130g, pour une personne il faut 7 fois moins et pour 12 personnes 12 fois plus. 7p 130g donc 130 x 12 / 7 Compétences de l élève en proportionnalité : - opérations simples (multiplication, addition, soustraction) ; - prendre la moitié ; 6/8

7 - reconnaître les relations arithmétiques entre les nombres (4 = 2 x 2 ; 6 = 2 + 4) ; - impliquer implicitement un raisonnement de proportionnalité ; - fractions usuelles ; Synthétiser avec un tableau de proportionnalité. Types de résolution : - résolution schématique ; - retour à l unité ; - propriété de linéarité additive, multiplicative ou des deux. Chapitre 3 : Pourcentage Pour prendre 13% d un nombre, on multiplie par 13/100, soit 0,13. Pour augmenter un nombre de 15%, il suffit de multiplier par 1,15. Pour diminuer un nombre de 15%, il suffit de multiplier par 0,85 (100%-15%). Savoir calculer un pourcentage :. Ex : 29 filles et 35 garçons. 29/64 = 0,4531 = 45,31% Savoir calculer une augmentation en % d un nombre : P + P x 15/100 = Px100/100 + Px15/100 = P(100/ /100) = P x 115/100 = P x 1,15% Savoir calculer une diminution en % d un nombre : P - P x 15/100 = Px100/100 - Px15/100 = P(100/100-15/100) = P x 85/100 = P x 0,85% Savoir calculer le nombre initial après une augmentation en %, on divise par le % : P initial = 219 : 108% = 202,7 Savoir calculer le nombre initial après une diminution en %, on divise par le % : P initial = 219 : 92% = 238,04 Pour appliquer successivement une augmentation (10%) et une diminution (10%), on multiplie par le facteur des 2 pourcentages. P = P initial x 1,1 x 0,9 = P initial x 0,99 Chapitre 4 : Géométrie dans l espace I- Quelques définitions Deux droites perpendiculaires : elles se coupent en un point dans un même plan. Deux droites orthogonales : elles ne se coupent pas forcément, mais leurs plans sont perpendiculaires. Deux droites parallèles sont dans le même plan. Deux droites peuvent ne jamais être sécantes sans être parallèle pour autant. Une droite peut être perpendiculaire à un plan, elle sera perpendiculaire à toutes les droite du plan passant par le point d intersection. II- Calculs d aire, de volume Si dans un solide, on multiplie les longueurs par k, l aire des faces est multipliée par k², le volume par k 3. V pavé = L x l x H 7/8

8 V prisme = Base x H V pyramise = 1/3 x Base x H V cône = 1/3 x r² x π x H V sphère = 4/3 x π x r 3 V cylindre = H x π x r² 8/8