Statistiques à deux variables Ajustements affines

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1 Statistiques à deux variables Ajustements affines Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Série statistique à deux variables Définition Nuage de points Point moyen Ajustement d une série statistique à deux variables Ajustement par la méthode des moindres carrés Principe de la méthode Ajustement affine Table des figures 1 Nuage de points Méthode des moindres carrés Droite de régression de y en x Liste des tableaux 1 Part consacré au logement dans un foyer Part consacré au logement dans un foyer (bis) Calcul de la covariance et de la variance Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES Rappels de première : 1, 3 page page page 47 3 [Déclic] 1 Série statistique à deux variables 1.1 Définition Nuage de points Définition : On appelle série statistique à deux variables (ou série statistique doubles) une série statistique où deux caractères sont étudiés simultanément. 1. Dans ce chapitre, on n étudiera que des séries statistiques doubles dont les deux caractères étudiés sont quantitatifs. Si,pour chacun des n individus de la population, on note x i et y i les valeurs prises par les deux caractères, on peut alors présenter la série statistique sous la forme d un tableau : Caractère x x 1 x 2... x n Caractère y y 1 y 2... y n 2. Si l un des deux caractères étudiés est une mesure de temps, on parle de série chronologique. Définition : Dans un repère orthogonal, l ensemble des points M i de coordonnées (x i ; y i ) constitue le nuage de points associé à la série statistique à deux variables. Exemple : Le tableau 2 donne la part en % consacré au logement dans le budget d un foyer. Année (x i ) Part en % (y i ) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 Tab. 1 Part consacré au logement dans un foyer Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté sur la figure 1. Fig. 1 Nuage de points 1 Moyenne, Écart-type. 2 Médiane, quartiles. 3 Utilisation des listes de la calculatrice. 2

3 2 AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 1.2 Point moyen Remarque : On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour représenter un nuage de points. Voir la feuille annexe. Exercice : 11 page 48 et 18 page 49 4 [Déclic] 1.2 Point moyen Définition : Le point moyen d un nuage de points est le point G de coordonnées (x ; y) où : x représente la moyenne des x i : x = x 1 + x x n n = 1 n x i y représente la moyenne des y i : y = y 1 + y y n n Exemple : On reprend les données de l exemple précédent. = 1 n y i x = y = Le point moyen est donc G (1992 ; 3, 9). 4, 4 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 3, 3 + 2, 8 3, 87 = On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour calculer les coordonnées du point moyen. Voir la feuille annexe. 2. Changements d échelle : Si on remplace les valeurs de x i par t i = x i 1978 (ce qui correspond au rang de l année), on obtiendra comme moyenne t = x 1978 = 14 Si on remplace les valeurs de y i par z i = 0, 01 y i (ce qui correspond aux pourcentages donnés sous forme décimale), on obtiendra comme moyenne z = 0, 01 y 0, Exercices : 9 page page 48 et 14, 15, 1 page page 49 7 [Déclic] 1.3 Ajustement d une série statistique à deux variables Effectuer un ajustement de y en x d un nuage de points consiste à trouver une fonction f telle que la courbe d équation y = f (x) passe «au plus près» des points du nuage (voir exercice 25 page 51[Déclic]). Remarque : Dans la suite de ce chapitre, on s intéressera aux ajustements affines, c est-à-dire le cas où la série statistique peut être ajustée par une fonction affine (ce qui n est pas toujours le cas). 2 Ajustement par la méthode des moindres carrés Activités : 1 page 39 8 et 2 page 39 9 [Déclic] 4 Nuage de points, changement d origine et d échelle. 5 Vrai-Faux. Points Moyens. 7 Lecture d un nuage de points. 8 Modéliser par une fonction affine. 9 Choisir la meilleure droite. 3

4 2.1 Principe de la méthode 2 AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 2.1 Principe de la méthode Effectuer un ajustement de y en x d un nuage de points par la méthode des moindres carrés consiste à trouver la fonction f du modèle retenu qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs y i observées et les valeurs f (x i ) données par le modèle. La fonction f doit donc minimiser l expression n (y i f (x i )) 2. Interprétation graphique : (voir figure 2) Fig. 2 Méthode des moindres carrés Cela revient à minimiser la somme des carrés des distances «verticales» entre la courbe et les points du nuage : (M 1 P 1 ) 2 + (M 2 P 2 ) (M n P n ) 2 1. Pour une valeur x 0 donnée du caractère x, la fonction f permet donc de prévoir le résultat correspondant de la variable y. On supposera que y 0 = f (x 0 ). 2. Si x 0 appartient est compris entre x 1 et x n, on parle d interpolation. 3. Si x 0 est en dehors de l intervalle d observation du caractère x, on parle d extrapolation. 2.2 Ajustement affine par la méthode des moindres carrés Définition : On appelle covariance de x et de y le nombre : cov (x, y) = 1 n (x i x) (y i y) Rappel : la variance du caractère x est : V (x) = 1 n (x i x) 2 Elle est utilisée pour le calcul de l écart type : σ (x) = V (x). On eut remarquer que V (x) = cov (x, x). 4

5 2 AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 2.2 Ajustement affine Théorème : (admis) Lors d un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, la droite d servant à l ajustement de y en x : a comme coefficient directeur : cov (x, y) a = V (x) passe par le point moyen du nuage G (x ; y). 1. Ces deux données sont suffisantes pour déterminer une équation de cette droite (voir exemple). 2. Cette droite est aussi appelé droite de régression de y en x. Exemple : On reprend l exemple précédent, mais en remplaçant la variable x par t = x 1978 (ce qui revient à prendre le rang des années, voir tableau 2) Année Rang des années (x i ) Part en % (y i ) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 Tab. 2 Part consacré au logement dans un foyer (bis) On a déjà vu que, dans ce cas, x = 14 et y 3, 87. Pour calculer la variance et la covariance, on peut utiliser le mode «Liste» de la calculatrice ou un tableur (voir tableau 3) : Liste 1 Liste 2 Liste 3 Liste 4 Liste 5 Liste 0 4, ,53-7,47 5, ,33-10,7 14 4, , , ,7-1, , ,57-4,53 2 2, ,07-12,8 Total 472-3,8 Tab. 3 Calcul de la covariance et de la variance La liste 1 (L1) contient les x i La liste 2 (L2) contient les y i La liste 3 (L3) contient x i x, c est-à-dire : L3 = L1 14 La liste 4 (L4) contient (x i x) 2, c est-à-dire : L4 = (L3) 2 La liste 5 (L5) contient y i y, c est-à_dire L5 =L2 3, 87 La liste (L) contient (x i x) (y i y), c est-à-dire L = L3 L5 La covariance et la variance s obtiennent alors par la calcul suivant : cov (x, y) = Total de L = 3, 8, 13 et V (x) = Le coefficient directeur de la droite de régression est donc : a = cov (x, y) V (x), 13 8, 7 0, 08 La droite de régression a donc une équation de la forme y = 0, 08x + b. De plus, elle passe par G (14 ; 3, 87) donc : 0, b = 3, 87 1, 12 + b = 3, 87 b = 3, , 12 = 4, 99 Total de L4 = 472 8, 7 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES L équation de la droite de régression est donc : y = 0, 08x + 4, 99. On peut la tracer sur le nuage de points (voir figure 3). Fig. 3 Droite de régression de y en x 1. On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l équation de la droite de régression. Voir feuille annexe. Les résultats obtenus peuvent être un peu différents de ceux obtenus précédemment à cause des approximation du calcul. À l aide d un tableur, l équation de la droite de régression obtenu pour l exemple précédent est : y = 0, 08x + 4, On peut utiliser cette droite de régression pour faire des prévisions (interpolations ou extrapolations, les résultats obtenus par extrapolation étant, bien sûr moins fiables). Exemple : On reprend l exemple précédent en supposant que la droite de régression admet comme équation y = 0, 08x + 4, 9. L année 2010 correspond à x = = 28. Si la progression continue toujours suivant le même schéma, on peut prévoir que la part en % du budget d un foyer consacré au logement en 2010 sera y = 0, , 9 = 2, 72, soit 2,72 % Il s agit bien sûr d une extrapolation. Ce résultat n est fiable que si l évolution de la part continue après 2004 en suivant le même principe qu entre 1978 et Exercices : 20, 21 page 50 et 37 page page 50 ; 29, 30, 31 page 52 et 38 page page page 51 et 39 page page [Déclic] Références [Déclic] Déclic Term ES, Hachette éducation (édition 200) 2, 3, 10 QCM et Vrai-Faux. 11 Droites de régression. 12 D autres types d ajustements affines. 13 Changements de variables. 14 Exercice de synthèse.