Chapitre 4 : «Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction»

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1 Chapitre 4 : «Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction» I Théorème de Thalès (version 4 ème ) 1/ Activité Objectif Rappel : dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Mais, que se passe-t-il, lorsque la parallèle ne passe plus par le milieu? Comment traduire cette propriété de parallélisme? Cas particulier Construis un triangle A tel que AC=6 cm ; AB=4 cm et =7 cm. M est un point de [ AC ] tel que AM=1,5 cm. Trace la parallèle à passant par M. Elle coupe [ AB ] en N. En plaçant M à 1,5 cm de A, on a placé M au quart de AC puisque 1,5 4=6. On remarque que cette proportion est la même pour le point N et AB : AN =1 cm et 1 4=4 cm. Autrement dit : AN AB =1 AM et 4 AC =1,5 6 = 1 AN 4 donc AB = AM AC. Mais, on remarque que NM est environ le quart de : 1,7 4 est proche de 7. Finalement : AN AB = AM AC = NM.

2 2/ Énoncé du théorème Configuration du théorème de Thalès C'est la figure dans laquelle on peut appliquer le théorème : «Deux demi-droites de même origine et deux droites parallèles» Théorème de Thalès Si [ AB et [ AC sont de même origine et si MN et sont parallèles alors AM AB = AN AC = MN ou AB AM = AC AN = MN. Exemples Configuration : [ KD et [ KR sont de même origine, AB et DR sont parallèles. Quotients de Thalès : KA KD = KB KR = AB DR Configuration : [UM et [UO sont de même origine, YA et MO sont parallèles. Quotients de Thalès : UY UM = UA UO = YA MO

3 Point méthode Le schéma fléché ci-contre permet de retrouver les quotients de Thalès : AM AB = AN AC = MN Dans les deux premiers quotients, il y a A l'origine commune des deux demi-droites. Dans le dernier quotient, on retrouve les points des deux premiers quotients sans le A. 3/ Exemple d'application On considère la configuration suivante. Les longueurs sont en centimètre. L'objectif est de calculer la longueur manquante AB. 1 ère étape : «On décrit la configuration de Thalès» [ AB et [ AC sont de même origine. MN et sont parallèles. 2 ème étape : «On donne les quotients en citant Thalès» D'après le théorème de Thalès, on a les quotient suivants : AM AB = AN AC = MN 3 ème étape : «On remplace par les valeurs numériques» 2 AB = 3 8 = MN 4 ème étape : «On fait les calculs avec les deux quotients utiles» 2 AB = AB=2 8 3 AB=16 (c'est le produit en croix, voir la suite du cours) (Dans 16 combien de fois 3, c'est 16 3 ) AB= 16 3 AB 5,3 cm (Arrondi au millimètre près)

4 4/ Méthodes de calcul sur les quotients Produits en croix a, b, c et d représentent quatre nombres non nuls. Si a b = c d alors a d =b c (ou ad =bc ) Remarque Deux quotients égaux se transforment en deux produits égaux. Exemples d'utilisation Résoudre les équations suivantes 3 x = = y =5 x 5 y= =5 x 5 y=135 x= 21 y= x=4,2 y= = 9 t 3 t=9 11 3t=99 t=33 AB 11 = = AB 22 99= AB 22 AB= AB= 9 2 AB=4,5 5/ A savoir par cœur : les étapes de la rédaction pour appliquer Thalès On décrit la configuration. On cite «Thalès» d'une façon ou d'une autre. On donne trois quotients. On remplace par les valeurs numériques. Avec deux quotients, on fait le produit en croix. On calcule puis on donne le résultat sous la forme d'un quotient. Parfois, on donne une valeur approchée.

5 Rappels : arrondis d'un nombre décimal On considère le nombre 3, Il faut savoir que a une partie décimale infinie. On va donner des valeurs approchées de ce nombre. A l'unité : pour arrondir à l'unité le nombre, il faut trouver la plus proche valeur à l'unité ; puisque 3 4 et que 3 est le plus proche, c'est 3 l'arrondi à l'unité. Au dixième : puisque 3,1 3,2 et que 3,1 est plus proche de, c'est 3,1 l'arrondi au dixième. Au centième : 3,14 Application Donne une valeur approchée au dixième des nombres suivants : ,7 (la calculatrice 12 7=1, ) ,4 (la calculatrice 0, ) II Agrandissement et réduction Exemple 1 On considère un triangle A tel que AB=6 cm, =4,2 cm et CA=3,5 cm. On veut agrandir ce triangle et en construire un autre une fois et demie plus grand. Pour cela, on va multiplier la longueur par 1,5 : A' B' =6 1,5=9 cm, A' C ' =3,5 1,5=5,25 cm et B ' C ' =4,2 1,5=6,3 cm.

6 À retenir Le nombre par lequel on multiplie pour agrandir est appelé coefficient d'agrandissement. Ce coefficient est généralement noté k et il est supérieur à 1 : k 1. Exemple de calcul d'un coefficient d'agrandissement K K' I 2,5 cm J I' 7 cm J' On cherche «combien de fois 2,5 dans 7». La réponse est k= 7 2,5 = 7 2 2,5 2 =14 5 =2,8. Rappel On obtient des écritures fractionnaires égales en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre : 3,5 4 = 3, =7 8 ; 8 22 = = Exemple 2 Soit le triangle IJK tel que IJK=80, IJ =2 cm et JK=4 cm. Construis ci-dessous un agrandissement de rapport 1,25 de ce triangle. Pour construire le nouveau triangle, on multiplie toutes les longueurs par le coefficient d'agrandissement k=1,25 : AB=1,25 IJ =1,25 2=2,5 cm =1,25 JK =1,25 4=5 cm Puisque IK 4,1 cm (mesure à la règle), on a AC 4,1 1,25 5,2 cm Construisons A : Pour lundi 3/01/2011 Vérification des cahiers de cours