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1 Formulaire d'aide à la résolution des problèmes de calcul topométrique accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe & EP Topographie accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 13 - Version

2 Sommaire 1 - Triangle quelconque 2 - Triangles semblables 3 - Triangle rectangle 4 - Trapèze 5 - Polygone de n côtés 6 - Raccordements circulaires 7 - Secteur circulaire 8 - Transformations de coordonnées 9 - Intersection de deux droites 10- Intersection de deux cercles 11- Intersection droite - cercle 12 - Nivellement indirect 13- orrections des distances 14- orrection de niveau apparent 15- Relèvement sur 3 points : méthode du barycentre 16- Relèvement sur 3 points : méthode de Delambre 17- hangement de base accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 2 sur 13

3 onventions relatives aux travaux topographiques Unités en vigueur : - distance en mètre (m) - angle en grades (gon) Systèmes de coordonnées géographiques Longitude, latitude, h Systèmes de coordonnées planimétriques - oordonnées locales : x, y, ltitude (H) ou Hauteur (h) - oordonnées Lambert 93 : e, n, ltitude(h) - oordonnées RGF 93 (9 zones) : E, N, ltitude(h) Systèmes de coordonnées géocentriques X, Y, Z Systèmes de coordonnées altimétriques (altitude normale) - NGF-IGN 69 (NGF-IGN 78 pour la orse) Rayon de la terre : 6370 km Terminologie usitée : - ht = hauteur des tourillons - hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur) accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 3 sur 13

4 croquis - schémas 1-Triangle quelconque Relation des sinus a / sin = b / sin = c / sin Relation des cosinus a 2 = b 2 + c 2-2 b. c. cos c n h a b m b 2 = a 2 + c 2-2 a. c. cos c 2 = a 2 + b 2-2 a. b. cos Superficie S = 1/ 2 (a. b. sin ) S = 1/ 2 (a. c. sin ) S = 1/ 2 (b. c. sin ) S = (a 2. sin. sin ) / 2 sin avec p = 1/2 périmètre S = [ p. (p-a). (p-b). (p-c)] tan /2 = [(p-b). (p-c) / p. (p-a)] n = (c 2 +a 2 - b 2 )/ 2a h 2 = c 2 n 2 =b 2 m 2 2-Triangles semblables Théorème de Thalès S N = S. k 2 N accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 4 sur 13

5 3-Triangle rectangle croquis - schémas sin = côté opposé /hypoténuse = b/a cos = côté adjacent/hypoténuse = c/a c a tan = côté opposé /côté adjacent = b/c = 2 b Superficie S = 1/2 ( b. c) 4-Trapèze J N P K S 1 = superficie JKQ JK 2 = Q 2 2S 1 (1/tan Q 1/tan ) QK = 2S 1 / (Q + JK). sin Q J = 2S 1 / (Q + JK). sin S 1 Q 5-Polygone de n cotés D Somme des angles intérieurs Σ = (n 2). 200 Somme des angles extérieurs Σ = (n + 2). 200 Superficie G F E 2S = 2S = accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 5 sur 13

6 6-Raccordements circulaires S T 2 Périmètre du cercle= 2.π. r Superficie du cercle = π.r 2 H r Longueur de la corde T 1 T 2 = 2.r.sin (β/2) Longueur de l arc = T 1 T 2 = 2.π. r. β /400 T 1 0 Longueur de la flèche H = r [r.cos (β/2)] Longueur de la tangente ST 1 = ST 2 = r. tan(β/2) 7-Secteur circulaire Segment r T 2 Triangle: S = ½. r 2. sin Secteur: S π. r 2. β/400 T 1 0 Segment: S Secteur S triangle Triangle accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 6 sur 13

7 8-Transformations de coordonnées y x x = D.sin G y y = D.cos G D = [(x x ) 2 + (y y ) 2 ] y G Gisement y tan G = (x x )/ (y y ) tan G = I xi /I yi on obtient G avec son signe O x x x si x 0 et y 0 G = G si x 0 et y 0 G = 200-G si x 0 et y 0 G = 200+G si x 0 et y 0 G = 400-G 9-Intersection de deux droites 1ère méthode : G et D par (x,y) résolution du triangle angle = G G angle = G - G D et D G alcul des (x,y) de depuis ontrôle : (x,y) de depuis y G 2 ème méthode : (formule de Delambre) depuis (x x ) (y y ). tan G y y = tan G - tan G O x x x = (y y ). tan G ontrôle: idem depuis accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 7 sur 13

8 10-Intersection de deux cercles calcul de G O1-O2 et D O1-02 par (x,y) r 1 résolution du triangle O 1 O 2 O 1 r 2 calcul de G O1- puis x et y par rapport à O 1 y O 2 ontrôle : calcul de G O2- puis calcul de x et y par rapport à O 2 O x 11-Intersection droite - cercle G O et D O par (x,y) 1 2 r résolution du triangle O 1 O 1 = r = rayon alcul angle, angle 1, angle O Distance 1 G 0 alcul des (x,y) de 1 depuis y ontrôle : alcul des (x,y) de 1 depuis O O x idem pour le triangle O 2 accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 8 sur 13

9 12-Nivellement indirect Di V Dh P Dh = (Di² - Δhi²) hp Dénivelée instrumentale Δhi Dhi Δhi = Di. cos V Δhi = Dh / tan V ht S 13- orrections des distances Pour obtenir une distance, il conviendra d apporter aux mesures de longueurs les corrections suivantes : 1- constante de prisme (donnée constructeur) 2- correction atmosphérique - caobtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le terrain au moment des mesures) 3- correction de pente - cp- Dh= Di.sin V 4- correction de réduction à l ellipsoïde - co- 5- correction de représentation plane ou de projection - cr ou cl cette correction varie en fonction de la situation géographique du chantier, elle est obtenue sur «IRE». Dh= Di. sin V H P = H S + ht + Δhi - hp alcul du module On fixe pour une zone de travail un module m tenant compte de la hauteur moyenne au dessus de l ellipsoïde et de la position planimétrique d'un point central du canevas pour déterminer les coefficients k0 et kr. oefficient de réduction à l ellipsoïde oefficient d altération linéaire : kr lu à l aide du logiciel IRE On déduit un module m par lequel sont multipliées toutes les distances "terrain" préalablement réduites à l'horizontale. Distance réduite à la projection Dr m = Dh m. m m/km accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 9 sur 13

10 14- orrection de niveau apparent Pour des portées supérieures à 300m, il est nécessaire de prendre en compte deux erreurs systématiques : l erreur due à la sphéricité de la terrestre et l erreur due à la réfraction atmosphérique. es erreurs de sphéricité et de réfraction sont généralement associées en une seule erreur nommée erreur de niveau apparent. ette correction est à ajouter à la dénivelée. On utilise généralement l expression simplifiée suivante : vec na en mètre, et Dh en km La correction globale est appelée correction de niveau apparent na. accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 10 sur 13

11 15-Relèvement sur 3 points: méthode du barycentre S est inconnu et stationné, et sont trois points connus α + β + γ = 400 gon et + + = 200 gon c γ S α a ma = 1 / (cotan cotan α) mb = 1 / (cotan cotan β) mc = 1 / (cotan cotan γ) β b ma. x + mb. x + mc. x x S = ma + mb + mc ma.y + mb. y + mc. y y S = ma + mb + mc rappel : cotan = 1/ tan 16-Relèvement sur 3 points: méthode de Delambre est inconnu et stationné G, et sont trois points connus α G β G = G + α G accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 11 sur 13

12 17- hangement de base : passer d un système particulier (ou système local) à un système général N D Eléments connus : - Les coordonnées x et y des points et sont connues dans le système local - Les coordonnées E et N des points o et sont connues dans le système général. N E - Le gisement de l axe O x connu N No y y y O G o x x x x dans le système général : G O'x = G - g Eléments cherchés : E = E + x. sin G o'x y. cos G o'x E = E + x. cos G o'x + y. sin G o'x Soit pour un cas général O Eo E E E E n = E (n-1) + x. sin G o'x y. cos G o'x N n = N (n-1) + x. cos G o'x + y. sin G o'x vec sur le schéma : avec x = x n x (n-1) et y = y n y (n-1) EON = système général xo y = système local x et y = coordonnées dans le système local E et N = coordonnées dans le système général G = gisement dans le système général g ab = gisement dans le système local - Le gisement de l axe O y connu dans le système général : G O'y = G - g E n = E (n-1) + x. cos G o'y + y. sin G o'y N n = N (n-1) + y. cos G o'y - x. sin G o'y accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 12 sur 13

13 e formulaire a été élaboré par les professeurs permanents de la commission de sujet du bac pro TGT. Il peut être utilisé dans le cadre de la formation. Il est mis à disposition des concepteurs de sujet qui l utiliseront comme ressource. Pour toute remarque ou suggestion, contact accalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 13 sur 13

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