12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE.

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1 UMN COURS MAI. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE. Généralités sur les équations différentielles. Définitions diverses Donnons la définition la plus générale possible d une équation différentielle. On considère une fonction f de la variable, n fois dérivable sur un intervalle I de R. On appelle équation différentielle, toute relation entre, f, f,, ( n f ) n est appelé ordre de l équation différentielle si n =, on parlera d équation différentielle du premier ordre si n =, on parlera d équation différentielle du deuième ordre Intégrer ( ou résoudre ) une équation différentielle, c est chercher toutes les fonctions f qui vérifient cette relation. Chacune de ces fonctions s appelle une solution, ou intégrale de l équation différentielle. Le graphe de la fonction solution est appelé courbe intégrale de l équation différentielle.. Le premier ordre On peut classer les équations différentielles du premier ordre en trois catégories : Equations à variables séparables Equations homogènes Equations linéaires Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

2 UMN COURS MAI Dans ce chapitre, nous nous contenterons d étudier la dernière famille. Equations différentielles linéaires du premier ordre. Définitions Dans ce qui suit, le terme intervalle désigne un intervalle de R non réduit à un point. Soit I un intervalle de R et a, b et c trois fonctions réelles définies et continues dans I. On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de la forme ou se ramenant à la forme : a( ) y + b( ) y = c( ) ( I) y + cos y = e définie sur R. ( ) y + y = e + sin( ) définie sur [ [ ;+. Une fonction y est solution de cette équation différentielle sur I si et seulement si I, a y + b y = c y est dérivable sur I et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L équation différentielle f ( ) e y + y = e admet la fonction f définie sur R par = comme solution. En effet, f est dérivable sur R et e + e = e. L équation différentielle linéaire du premier ordre est dite normalisée si et seulement si y + a y = b I a = soit : ( ) ( ) ( ) Dans tout ce qui suit, on ne considérera que des équations normalisées Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

3 UMN COURS MAI L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est y' + a y= II ( ) ( ). Résolution de l équation sans second membre (II). On pose y' + a( ) y= ( II) On admettra sans démonstration, le théorème suivant : a étant une fonction continue sur I, elle admet sur I des primitives. Soit A une de ces primitives. L ensemble des solutions sur I de l équation différentielle ( II ) est l ensemble S I R = Ke ( )! ; K R A On considère l équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par : ( + ) y y = ( I) Cette équation peut être normalisée sans problème car R, ( ) I y y = ( ) ( + ) En appliquant le théorème ci-dessus, on obtient : R R R R S = ln( + ) = Ke ; K R K( + ) ; K R!!.3 Résolution de l équation complète (I) + >.3. Théorème général On admettra sans démonstration, le théorème suivant : La solution générale de l'équation complète (I) est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (II) et d'une solution particulière de l'équation complète (I). ysg( I ) = ysg( II ) + ysp( I ) Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 3

4 UMN COURS MAI C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équation différentielle)..3. Recherche d une solution particulière de l équation complète (I). Recherche d une solution évidente Avant de se lancer dans un calcul compliqué, on regarde la forme de l équation différentielle et on essaie de deviner une solution de l'équation complète (I). Puis on applique le principe de superposition des solutions. Ce même principe s'applique aussi dans le cas où le second membre est la somme de plusieurs fonctions. Soit l équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par : ( ) + y y = On «voit» que la fonction! est solution «évidente» de cette équation différentielle. La solution générale de l équation différentielle est donc la fonction f définie par : ( )! K + +, K R C est la somme d une solution particulière de l équation complète et de la solution générale de l équation sans second membre. Dans le cas où il n'apparaît pas de solution évidente, on applique le principe de variation de la constante. Méthode de variation de la constante. On considère l équation sans second membre définie sur un intervalle I de R, avec a y' + a y= II continue sur I : ( ) ( ) (Cette méthode n'est valable que pour des équations linéaires) On considère la solution générale de l équation sans second membre : A! Ke ( ), K R où A est une primitive de a sur I Supposons que la constante K soit une fonction de dérivable sur I et que la fonction! K e A ( ) soit solution de (I) ( ) En dérivant la fonction y et en reportant dans (I), les calculs se simplifient et l'on K K par primitivation et enfin la solution particulière y. déduit ( ) puis ( ) Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 4

5 UMN COURS MAI On considère l équation différentielle définie sur tout intervalle I ] ; [ y + y = ( I) Cette équation est normalisée. + par On résout l équation sans second membre y + y = Une primitive de! sur I est :! ln( ) + ln Donc la solution générale est la fonction (! Ke ), K R soit :! Ke, K R On cherche une solution particulière de l équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. On suppose que K est dérivable sur I et que y:! K( ) e est solution de l équation complète. Cela donne : y = K e + K e e ( ) ( ) ( )( ) On remplace dans ( I ) K ( ) e + K( )( e e ) + K( ) e = Comme prévu, les termes en K s éliminent, il reste alors : K e = K = e ( ) ( ) On intègre maintenant cette équation différentielle : ( ) ( ) La fonction : ( ) y: e e = ( ) K = e + λ, λ R! est solution particulière de l équation différentielle complète. La solution générale est donc la fonction! ( ) y: + Ke, K R.4 Eistence et unicité d'une solution satisfaisant une condition initiale (problème de Cauchy) Pour tout couple (,y) I R, il eiste une solution et une seule y de (I) sur I telle que : y( ) = y Résoudre l équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par : y' + y= et y = ( ) L'équation est linéaire et normalisée. Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 5

6 UMN COURS MAI L'équation sans second membre est : y' + y = ( E ) La fonction! est continue sur I et admet donc des primitives sur I, la solution générale de l équation sans second membre est donc la fonction y :! Ke, K R La fonction constante y :! est solution évidente de l équation différentielle complète. Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de l équation différentielle sur I : f :! + Ke En tenant compte de la condition initiale y( ) f ( ) On obtient : λ + = λ = = = La solution de l équation différentielle qui vérifie sur I : y ( ) = est donc la fonction définie sur I par :! e + (MATHEA) Résoudre sur tout intervalle I de R l équation différentielle : () + y' y = et y =.5 Problème des raccords. Dans les paragraphes précédents, nous n avons traité que le cas de l équation y + a y = b I différentielle normalisée : ( ) ( ) ( ) Nous allons maintenant traiter le cas général : a( ) y + b( ) y = c( ) ( I) On dit qu'une solution est maimale sur un intervalle ] a,b [ si elle n'est pas prolongeable sur un intervalle plus grand que ] a,b [. On s'appliquera à rechercher les solutions maimales Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 6

7 UMN COURS MAI Considérons l'équation différentielle définie sur un intervalle I de R : a y' + b y = c I ( ) ( ) ( ) ( ) On suppose que sur cet intervalle I la fonction a s'annule en un réel et un seul y est solution de l équation différentielle ( I ) sur I si et seulement si : y de y à J = ], [ I est solution de ( ) La restriction La restriction y de y à J ] ; [ I lim y = lim y = l ( ) ( ) < > ( ) ( ) y l y l lim = lim = l < > a( ) l + b( ) l = c( ) = + est solution de ( ) I sur J I sur J On procède ainsi au raccordement des solutions sur l intervalle I entier. On s assure que y est continue en, dérivable en et que le point (,y( ) ) vérifie l équation différentielle pour la valeur y ( ) de la dérivée y. Résoudre et déterminer éventuellement une solution sur R de : y' + y = ( I ) + L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On considère les deu intervalles : I = ], [ et I = ], + [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs et. Supposons dorénavant j fié. Première étape : résolution de l équation sans second membre. y' + y = II L'équation sans second membre est : ( ) On peut sur chacun des intervalles écrire l équation normalisée associée : y' + y = ( II) La fonction! est continue sur chacun des intervalles et admet donc par eemple ln( )! comme primitive. Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 7

8 UMN COURS MAI La solution générale de (II) est donc la fonction y définie par : λ si I = ], [ y = λ si I = ], + [ Deuième étape : solution particulière de l équation complète. Cherchons une solution particulière de (I), en utilisant la méthode de variation de la constante λ ( ) λ ( ) λ( ) y = et y ( ) = 4 en reportant dans l'équation (I), il reste après simplification λ ( ) = = + + d'où on tire une primitive : λ ( ) = Arctan Une solution particulière est donc la fonction définie par : Arctan y = Troisième étape : solution générale obtenue par superposition des solutions Arctan+ λ si I = ], [ y = f ( ) = Arctan + λ si I = ], + [ Raccordement sur R Pour obtenir une solution sur R, il faut "raccorder " les solutions en. Continuité de la solution en Le dénominateur tend vers lorsque tend vers, une condition nécessaire pour obtenir une limite finie est que le numérateur tende aussi vers, soit donc : λ = λ = Choisissons les deu constantes λ et λ nulles et considérons la fonction f * Arctan définie par: R, f ( ) = Le développement limité de la fonction f à l'ordre au voisinage de est f ( ) = +ο ( ) 3 lim f ( ) =, on peut donc prolonger f par continuité en en posant ( ) f = Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 8

9 UMN COURS MAI Dérivabilité en f ( ) f ( ) On obtient : = + o() et lim = 3 3 On pose f ( ) = 3 Reportons dans l'équation les valeurs trouvées en, pour constater que le ; est un point d'une courbe intégrale, avec une tangente de pente point ( ) 3. Conclusion : ( ) Arctan si,, + y = f = si = f = est l'unique solution sur R. 3 avec ( ) ] [ ] [ (MATHEA) Résoudre l équation différentielle y 3y = 5 ( I ) Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? 3 Eemples divers 3. Eemple Résolvons l'équation différentielle y + y = L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On étudie donc l équation différentielle sur les intervalles ] ; [ et ] ; + [ Sur chaque intervalle, on peut donner la forme normalisée : y + y = Résolution de l équation homogène y + y = : Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 9

10 UMN COURS MAI La fonction! est continue sur chacun des ces deu intervalles. Elle y admet donc des primitives. La fonction! est une de ces primitives. La solution de l équation homogène est donc : y = λe sur ] ; [ y λ = e sur ] ; + [ λ, λ réels indépendants l'un de l'autre). ( Recherche d une solution particulière. La fonction constante! est une solution particulière évidente de l'équation complète. Solution générale de l équation complète. En appliquant le principe de superposition des solutions, l'ensemble des solutions de (I) est λe + si ], [ y = f ( ) = λ e + si ], + [ Raccordement des solutions en : Continuité de la fonction en lim λ e + = < lim λ e + = λ = > On peut donc prolonger les solutions par continuité en en posant f ( ) = Dérivabilité en y( ) y( ) λ y( ) y( ) = = = lim lim e et lim < < > Le prolongement sera dérivable en et f ( ) =. Vérification dans l équation différentielle : + = L ensemble des solutions de l équation complète sur R est donc : Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

11 UMN COURS MAI ( ) y = f = + λe si < si avec f ( ) = (MATHE3A) Résoudre l'équation différentielle y + y = e ( E) Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? 3. Eemple Soit l'équation différentielle : ( ) y + y = Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? Le coefficient de y s annule pour = et =. intégrons l'équation sur chacun des intervalles I =,, I =, et I =, + ] [ ] [ ] [ 3 On se place sur l un des ces trois intervalles. On peut alors écrire l équation normalisée : y + y = Résolution de l équation homogène : ( ) ( ) y + y = ( ) La fonction! est continue sur chaque intervalle et y admet donc des primitives. Soit! ln une de ces primitives. La solution générale de l équation homogène est donc : λ si I = ], [ y = λ si I = ], [ λ3 si I 3 = ], + [ λ, λ et λ étant des constantes réelles indépendantes. 3 Recherche d une solution particulière. On remarque une solution évidente :! Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

12 UMN COURS MAI Solution générale de l équation complète. En utilisant le principe de superposition des solutions : λ + sur I =, y( ) = λ + sur I =, λ3 + sur I 3 =, + λ, λ et λ 3 étant des constantes réelles. ] [ ] [ ] [ On cherche maintenant à raccorder les solutions en et en Raccordement en Continuité de la solution en lim f = lim f = ( ) ( ) < > Dérivabilité en ( ) ( ) λ ( ) f f + lim = lim = lim λ < < < Admet une limite si et seulement si λ = ( ) ( ) λ ( ) f f + lim = lim = lim λ < < < Admet une limite si et seulement si λ = Vérification dans l équation différentielle. ( ( ) ) ( )( ) + = Conclusion : la fonction Raccordement en Continuité de la solution en lim f = lim f = ( ) ( ) < > Dérivabilité de f en! est solution sur ] ;[ Comme pour le raccordement en, on montre que f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim = lim = λ = λ3 = < > On vérifie que la fonction! vérifie bien l équation différentielle sur R Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère

13 UMN COURS MAI (MATHE4A) + =. Résoudre l'équation différentielle y ( ) y Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R?.3 Eemple 3 ( + ) Résolvons l'équation différentielle ( ) y' + ( + ) y = + L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en et. On considère les intervalles : I = ], [ I = ], [ et I 3 = ], + [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs, et 3. Supposons dorénavant j fié. On peut alors considérer l équation normalisée : ( ) ( ) ( ) Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère ( ) + + y' + y= + ( + ) ( ) ( )( ) Résolvons l'équation sans second membre : y' + y= La fonction! + = + est continue sur I j et admet sur cet ( ) intervalle des primitives, dont une est la fonction :! ln La solution générale de l équation homogène est donc sur I j : ( ) ln y = Ke = K ( ) λ sur I =, ( ) y = λ sur I = ], [ ( ) λ3 sur I 3 =, + ( ), soit finalement : ] [ ] [ Solution particulière de l équation complète. Ne remarquant pas de solution évidente, utilisons la méthode de variation de la constante 3

14 UMN COURS MAI y = λ ( ) ( ) y = λ + ( ) λ( ) ( ) ( ) 3 Soit en reportant dans l'équation, il reste après simplification ( )( ) + λ ( ) = = + + ( + ) Soit : λ ( ) = ln + ln( + ) On obtient donc une solution particulière : Solution générale : y = ( ) + ln En utilisant le principe de superposition des solutions + λ + ln sur I =, ( ) + y = f ( ) = λ ln sur I ], [ + = ( ) + λ + ln sur I 3 =, + ( ) On cherche maintenant à raccorder les solutions en et en Raccordement en Continuité en : lim f ( ) lim f ( ) < > = = ] [ ] [ la continuité des solutions en est réalisée quelles que soient les constantes λ et λ, Dérivabilité en : la solution n'est pas dérivable en car f ( ) f ( ) + lim = lim λ + ln =. > > ( ) Il n'eiste donc pas de solution de l équation sur ] [ { } fortiori il n'y a pas de solution sur R., = I I et à Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 4

15 UMN COURS MAI Raccordement en Continuité en au voisinage de on pose = h ou = + h: + + h + h+ h lim f ( ) = lim λ + ln = lim λ + ln ( ) h h + h < < h< h ln + + h + h+ h + h Or lim ln = lim = h h h h h h< + h< + h Donc f admet une limite en si et seulement si λ = De même on a : lim f ( ) = si et seulement si λ 3 = > lim f = lim f = λ = λ = Donc: ( ) ( ) 3 < > On peut donc prolonger les solutions en en posant f () =, Dérivabilité en : toujours au voisinage de on a: f ( ) f ( ) + lim = lim ln ( ) < > + h+ h = lim ln = h h + h + h le prolongement sera dérivable en et f () = Vérification dans l équation : ( ) ( ) = +, + = I I Il eiste donc une solution de l équation différentielle sur ] [ { } définie par : ( ) + f = ln ( ) 3 Cycles préparatoires du service de Formation continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère 5

16 UMN Eercices complémentaires MAI Eercices d entraînement avec solutions. (MATHE5) Résoudre sur R l équation différentielle ( ) 3 + y y = + Indication : on pourra chercher une solution particulière sous la forme d un polynôme de degré. (MATHE6) Résoudre sur l intervalle π, π l équation différentielle : y + ytan = sin (MATHE7) Résoudre l'équation différentielle y' 3y =. Eiste-t-il des solutions sur R. (MATHE8) Résoudre sur R l'équation différentielle : ( ) y y y = + =, avec la condition : ( ) (MATHE9) Résoudre sur l intervalle ; π Eiste-t-il une solution sur [ ;π ]?. l équation différentielle : y cos + y sin = + sin cos. Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Cours : Philipe Leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

17 UMN SUPenonces MAI (MATHS) Résoudre sur l équation différentielle sur l intervalle ] ; [ b g b g + y y = + 4 Est-il possible de trouver une solution définie sur R? (MATHS) Résoudre l équation différentielle y y = sur chacun l intervalle ;+. Est-il possible de trouver une solution définie sur R? Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

18 UMN COMPenonces MAI (MATHE5) L équation différentielle peut se mettre sous la forme normalisée : 3 + y y = + + Equation sans second membre. La fonction! est continue sur R et admet donc des primitives, en + particulier la fonction :! ln( + ) = ln +. La solution générale de l équation sans second membre est donc la fonction définie par : y = λ +, λ R Solution particulière : On cherche une solution particulière (d'après l'énoncé) sous forme d'un polynôme de degré deu (en effet, le terme en y est multiplié par et le second membre est un polynôme du troisième degré). On pose : y = a + b+ c avec y = a+ b En reportant dans l'équation différentielle initiale, on obtient : + a+ b a + b+ c = + 3 a 3 + a c + b = + 3 ( )( ) ( ) ( ) par identification on obtient : a =, b = et c =. La solution particulière est donc la fonction :! y = + + Solution générale : Le principe de superposition des solutions donne pour solution générale :! y = λ , λ R Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

19 UMN COMPenonces MAI (MATHE6) L'équation est déjà sous forme normalisée. Equation sans second membre : y + ytan = π La fonction! tan est continue sur, π et admet donc sur cet intervalle des primitives, en particulier, la fonction :! ln( cos ) La solution générale de l équation homogène associée est donc la fonction! y = λcos, λ R Solution particulière. Cherchons une solution particulière de l équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. ( ) ( ) ( ) y = λ cos et y = λ cos λ sin On reporte dans l équation initiale et après simplification, on obtient : λ = sin soit λ = cos ( ) ( ) La solution particulière est donc la fonction : :! y cos Solution générale : En appliquant le principe de superposition des solutions, la solution générale de π l équation différentielle complète est donc la fonction f définie sur, π f = cos + λcos, λ R par : ( ) Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

20 UMN COMPenonces MAI (MATHE7) L'équation est définie sur [,+ [; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On se place sur l intervalle I = ], + [. 3 L équation normalisée devient : y y = 3 Equation sans second membre: y' y = 3 La fonction! est continue sur I, elle admet donc des primitives sur cet 3 intervalle, en particulier :! ln. La solution générale de l équation homogène est donc la fonction : 3/ y :! λ, λ R Solution particulière On peut deviner une solution particulière de la forme! K ( Sinon il faut utiliser la méthode de variation de la constante) En reportant dans l'équation, on obtient : Soit la solution particulière : Solution générale :! K 3K K = = En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient la solution I =, + générale de l équation différentielle sur l intervalle ] [ 3/! y = λ, λ R 3/ lim λ = < ( ) y( ) y / lim = lim λ = + > > Donc l'ensemble des solutions sur [,+ [ est vide. Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

21 UMN COMPenonces MAI (MATHE8) L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ne s'annule pas. On peut donner la forme normalisée. L'équation différentielle s'écrit y y = sur ] ; [ y y = + y y = sur [ ; + [ + On obtient alors la solution générale de l équation différentielle : λ y = sur ] ; [ y = λ ( + ) sur ] ; + [ λ et où λ sont des réels. La condition initiale impose λ = Raccordement en : Continuité en : La fonction est continue en si et seulement si λ λ λ f ( ) = = = = Dérivabilité en f ( ) f ( ) lim = lim = lim = < < < ( ) ( ) ( ) f f + lim = lim = > > Finalement, on obtient la solution f définie sur R et vérifiant la condition initiale sur ] ; [ f ( ) = si = ( + ) sur ], + [ Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

22 UMN COMPenonces MAI (MATHE9) Sur l intervalle ; π on peut mettre l équation différentielle sous sa forme normalisée : y + ytan= + sin cos Equation sans second membre La solution générale de l équation homogène associée est donc la fonction! y = λcos, λ R ( confère l eercice MATHE6) Solution particulière. On peut faire varier la constante ou remarquer que la fonction! sin est solution «évidente». Solution générale. La solution générale de l équation différentielle sur l intervalle ; π f = sin + λ cos, λ R la fonction f définie par : ( ) est donc On en déduit sur ] ;π [ l ensemble des solutions f définie par : π sin + λ cos sur ; y = f ( ) = π sin + λ cos sur ; π Raccordement en π Continuité en π π lim f ( ) = lim f ( ) = π π π π < < π π On pose donc f = π Dérivabilité de f en Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

23 UMN COMPenonces MAI ( ) ( λ ) lim f = lim sin + cos sin = λ π π π π < < ( ) ( λ ) lim f = lim sin + cos sin = λ π π π π < < le prolongement est donc dérivable si et seulement si λ = λ L ensemble des solutions de l équation différentielle sur l intervalle [ ;π ] est donc l ensemble des fonctions f :! y = f ( ) = sin+ λcos, λ R Cycles Préparatoires du service de Formation Continue de l INPL Eercices Gérard Hirsch, Philippe Leclère

24 UMN ENONCESglobal MAI (MATHEB) Résoudre sur tout intervalle I de R l équation différentielle : y y = + et y = ( ) Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

25 UMN ENONCESglobal MAI (MATHEC) Résoudre sur tout intervalle I de R l équation différentielle : ( ) y y, et y( ) + + = = Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

26 UMN ENONCESglobal MAI (MATHEB) Résoudre l équation différentielle y + 3y = Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

27 UMN ENONCESglobal MAI (MATHEC) Résoudre l'équation différentielle y y = Arc tan Eiste-t-il des solutions définies sur R? Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

28 UMN ENONCESglobal MAI (MATHE3B) Résoudre l'équation différentielle y ( ) y e ( ) = On se placera sur l intervalle ] [ ;+. Question facultative : Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

29 UMN ENONCESglobal MAI Résoudre l'équation différentielle (MATHE3C) y + y = On se placera sur l intervalle ] [ ;. Question facultative : Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? 4 Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

30 UMN ENONCESglobal MAI (MATHE4B) Résoudre l'équation différentielle ( ) + y + y = Arc tan On se placera sur l intervalle ] [ ;+. Question facultative : Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

31 UMN ENONCESglobal MAI (MATHE4C) Résoudre l'équation différentielle ( ) y + y = On se placera sur l intervalle ] [ ;+. Question facultative : Eiste-t-il des solutions de l'équation sur R? Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Cours : Philippe leclère Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

32 UMN SOLUTIONS MAI (MATHEA) La fonction sur R.! + ne s annule jamais. L'équation différentielle est donc définie C'est une équation du premier ordre, linéaire et homogène (sans second membre). On peut l eprimer sous sa forme normalisée : y y = + La fonction! est continue sur R, elle admet donc des primitives sur R, +! ln + +. en particulier, la fonction ( ) La solution de l équation différentielle est donc la fonction f définie sur R par : ( ) λ ( ) f = + + où λ est un réel quelconque. En tenant compte de la condition initiale au point = f = = λ + λ = + () ( ) La solution Y de l équation différentielle satisfaisant à la condition initiale : Y () = est la fonction Y définie sur R par : Y( X) = Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

33 UMN SOLUTIONS MAI (MATHEB) L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ne s'annule pas. Résolution de l'équation sans second membre y y = La solution générale de cette équation différentielle est la fonction définie sur R par : y = λe Solution particulière On remarque une solution particulière évidente de l équation complète définie sur R par! Solution générale de l équation complète : Le principe de superposition des solutions donne la solution générale de l équation différentielle : y = f ( ) = λe +, où λ est un réel quelconque. En tenant compte de la condition initiale y = f = λ = ( ) ( ) La solution de l équation différentielle qui satisfait à la condition initiale f ( ) = est donc la fonction f définie sur R par : f ( ) = e + Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

34 UMN SOLUTIONS MAI (MATHEC) L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ne s'annule pas. On peut donner la forme normalisée de l équation : y + y = + + Résolvons l équation sans second membre : La fonction ( + ) ( + ) ( ) ( ) y + y =. ( + )! = continue sur R admet des primitives, en particulier, la fonction ln( + ) ( ) = ln +!. La solution générale de l équation homogène est donc la fonction définie par : λ y = où λ est un réel quelconque. + Solution particulière On remarque la solution particulière évidente de l équation complète :! Solution générale : Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de l équation complète définie par : λ y = f ( ) = + + En tenant compte de la condition initiale λ f ( ) = = + λ = La solution Y de l équation qui satisfait à la condition initiale est définie sur R par : ( ) Y = + + Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur. Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 3

35 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE A) L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. I =, et I =, + On considère les deu intervalles : ] [ ] [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs et. Supposons dorénavant j fié. On donne sur I j la forme normalisée de l équation 3 4 différentielle : y' y = 3 Equation sans second membre : y y = 3 L application! est définie et continue sur I j, elle admet donc des 3 primitives sur chacun de ces intervalles, en particulier, la fonction! ln( ) La solution générale y de l équation homogène est donc : ] [ ] [ ln! λe = λ 3 λ sur I =, Soit : y = λ 3 et λ sont des réels quelconques. λ sur I =, + Solution particulière de l équation complète. En regardant la forme de l équation complète, on cherche une solution sous la 5 4 forme : y = K avec y = 5K En remplaçant dans l équation, on obtient : Solution générale : K 3K = K = En utilisant le principe de superposition des solutions, la solution générale de * l équation différentielle est définie sur R par : 5 3 λ + sur I = ], [ y = f ( ) = 5 3 λ + sur I = ], + [ λ et λ sont des constantes réelles. où 3 3 Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 4

36 UMN SOLUTIONS MAI Raccordement en. Continuité de la fonction en lim f ( ) = lim λ + = et lim f ( ) = lim λ + = < < > > la fonction f est donc continue en et f ( ) = Dérivabilité en. f ( ) f ( ) 4 f ( ) f ( ) 4 lim = lim λ + = et lim = lim λ + = < < > > la fonction est donc dérivable en quel que soient les réels et λ λ et ( ) f = On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en avec les conditions eprimées ci-dessus. Conclusion : La fonction f définie sur R par : 5 3 λ + sur I = ],[ y = f ( ) = si = 5 3 λ sur I, + = + ] [ avec f ( ) = représente l'ensemble des fonctions continues, dérivables sur R vérifiant l'équation différentielle On peut aussi utiliser les développements limités pour étudier le raccordement des solutions Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 5

37 UMN SOLUTIONS MAI (MATHEB) L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On considère les deu intervalles de R : I = ], [ et I = ], + [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs et. Supposons dorénavant j fié. On peut alors eprimer l équation sous la forme normalisée : 3 y + y = Equation sans second membre : 3 La fonction! est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet 3 intervalle, en particulier :! ln( ) La solution générale de l équation différentielle est donc la fonction y définie par :! Ke 3 ln K = 3 λ sur I 3 =, Soit : y = λ sur I 3 =, + Solution particulière : ] [ ] [ Bien que de façon «intuitive», on conjecture une solution particulière de la forme! K, utilisons la méthode de variation de la constante λ( ) λ ( ) 3λ( ) On pose y = avec y = On remplace dans l équation de départ et il reste après simplification : λ 4 ( ) = d' où λ( ) = d où ( ) 5 5 y = 5 Solution générale de l équation complète En utilisant le principe de superposition des solutions λ + sur I = ], [ 3 5 y = f ( ) = λ + sur I = ], + [ 3 5 Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 6

38 UMN SOLUTIONS MAI Raccordement des solutions en Continuité de la fonction en. Il apparaît évident qu une limite ne peut eister que si λ = λ =, on a alors f ( ) = Dérivabilité en. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim = lim = et lim = lim = 5 5 < < > > On peut poser f ( ) = On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en Conclusion, la fonction définie par y f ( ) l équation qui soit définie sur R. = = est la seule solution de 5 Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 7

39 UMN SOLUTIONS MAI (MATHEC) L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On considère les deu intervalles de R : I = ], [ et I = ], + [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs et. Supposons dorénavant j fié. On peut alors eprimer l équation sous la forme normalisée : y y = Arctan Equation sans second membre : La fonction! est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet intervalle, en particulier :! ln La solution générale de l équation différentielle est donc la fonction y définie ln par :! Ke = K λ sur I = ], [ Soit : y = λ sur I = ], + [ Solution particulière : Utilisons la méthode de variation de la constante On pose y = λ( ) avec y = λ ( ) + λ( ) On remplace dans l équation de départ et il reste après simplification : λ ( ) = Arctan On intègre par parties et on obtient : λ ( ) = Arctan d = Arctan d = Arctan ln ( + ) + y = Arctan ln + Soit une solution particulière définie par : ( ) ( ) Solution générale de l équation complète En utilisant le principe de superposition des solutions λ + Arc tan ln + sur I =, y = f ( ) = λ + Arc tan ln + sur I =, + λ etλ étant des réels quelconques. ( ) ] [ ( ) ] [ Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 8

40 UMN SOLUTIONS MAI Raccordement des solutions en Continuité de la fonction en. ( ) λ ( ) lim f = lim + Arctan ln + = Cette limite est vraie à droite et à gauche de. f = la solution est donc continue en et ( ) Dérivabilité en. ( ) ( ) < < ( ) f f lim = lim λ + Arctan ln + = λ ( ) ( ) > > ( ) f f lim = lim λ + Arctan ln + = λ f = λ = λ = λ On peut poser ( ) On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en Conclusion, la fonction définie par y f ( ) λ Arctan ln( ) = = + +, λ étant un réel quelconque, est la seule solution de l équation qui soit définie sur R. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur. Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 9

41 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE3A) L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en. On considère les deu intervalles de R : I = ], [ et I = ], + [ On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs et. Supposons dorénavant j fié. On peut alors eprimer l équation sous la forme normalisée : y + y = e Equation sans second membre : La fonction! est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet intervalle, en particulier :! ln La solution générale de l équation différentielle est donc la fonction y définie ln K par :! Ke = λ sur I = ], [ Soit : y = où λ et λ sont des réels quelconques. λ sur I = ], + [ Solution particulière : Utilisons la méthode de variation de la constante On pose ( ) ( ) y avec y ( ) = λ = λ + λ On remplace dans l équation de départ et il reste après simplification : ( ) λ( ) λ = e = e Soit une solution particulière définie par : y( ) Solution générale de l équation complète On obtient la solution générale de l équation différentielle complète en utilisant le principe de superposition des solutions λ e + sur I = ], [ y = f ( ) = λ e + sur I = ], + [ λ etλ étant des réels quelconques. = e Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

42 UMN SOLUTIONS MAI Raccordement des solutions en Continuité de la fonction en. On rappelle qu au voisinage de on a : e = o( ) λ qui eiste si et seulement si λ = De même on doit avoir λ = Donc on obtient : o( ) On peut alors prolonger par continuité en posant f ( ) = Dérivabilité en. e + o( ) lim = lim =, on obtient évidemment < < la même limite à droite de. On peut poser f ( ) = On vérifie que l'équation différentielle est alors satisfaite en + = e = Conclusion, la fonction définie par y f ( ) l équation qui soit définie sur R. e = =, est la seule solution de Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

43 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE3B) On travaille donc sur l intervalle ] ;+ [ sur lequel on peut normaliser l équation différentielle : ( + ) ( + ) y y = e ( + ) Equation sans second membre : y y = + La fonction! = + est continue sur ] ;+ [ et admet sur cet intervalle des primitives, en particulier! + ln La solution générale de l équation homogène est donc : y Solution particulière : = λe Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variation de la constante. y = λ e ( ) ( ) ( ) ( ) y = λ e + λ e + λ e En reportant dans l'équation, on obtient après simplification + λ ( ) = = En intégrant, on obtient λ ( ) = + soit finalement y = ( + ) e Solution générale de l équation complète. En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient : y = + λ+ e, où λ est un réel quelconque. ( ) Question facultative : raccordement en. On a ( λ ) e sur ] ; [ ( λ ) e sur ] ; [ + + y = λ et λ sont des réels quelconques Continuité en lim f = lim f = ( ) ( ) < > On peut donc prolonger les solutions en en posant f ( ) = Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

44 UMN SOLUTIONS MAI Dérivabilité en f ( ) f ( ) e lim = lim ( + λ) e + = λ + < < ( ) ( ) f f e lim = lim ( + λ) e + = λ + > > le prolongement sera dérivable en si et seulement si λ = λ La fonction définie par f ( ) = ( + + λ) e, λ R, est la seule solution de l équation différentielle définie sur R Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 3

45 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE3C) L'équation est définie sur ], [. On résout cette équation sur l intervalle ] ; [. L équation normalisée associée est : y' + y = Equation sans second membre. ; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en La fonction! est continue sur ] ; [ et admet donc des primitives sur cet l intervalle, en particulier la fonction! ln. La solution générale de l équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] ; [ ln λ par : y = λe =, λ R Solution particulière. Cherchons une solution particulière de l équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. ( ) ( ) ( ) λ λ λ On pose y = avec y = En reportant dans l'équation, il reste après simplification : d λ ( ) = soit λ( ) = 4 4 En posant X =, on obtient : λ ( ) = Arc sin( ) 4 Soit la solution particulière définie par : y = Arc sin( ) Solution générale. En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution f générale de l équation différentielle proposée. λ Arc sin( )! f ( ) = +, λ R Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 4

46 UMN SOLUTIONS MAI Question facultative : On considère maintenant la solution de l équation différentielle sur l intervalle ] ; [. On a alors la solution générale définie par : Arc sin( ) λ + sur ] ; [! f ( ) =, λ R et λ R λ Arc sin( ) + sur ] ; [ Continuité en. Arc sin = + o On sait que ( ) + o( ) λ λ f ( ) = + = + + o( ) Une condition nécessaire pour obtenir une limite finie lorsque tend vers est λ = λ = f = On peut donc prolonger f par continuité en en posant ( ) Dérivabilité en. f ( ) f ( ) Arc sin( ) = = + o () On peut donc aussi prolonger la dérivée en posant f ( ) = On vérifie dans l équation différentielle de départ que le point ( ; ) est un point d une courbe intégrale, avec une tangente de pente. Conclusion : La fonction définie par : Arc sin( ) y f ( ) si, si ] [ {}. est l'unique solution de l équation différentielle sur ], [ Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur. Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 5

47 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE4A) Sur l intervalle ] ;+ [, l équation différentielle s écrit sous la forme normalisée : y + y = Equation sans second membre. La fonction! est continue sur ] ;+ [ et admet donc des primitives sur cet l intervalle, en particulier la fonction! ln. La solution générale de ;+ l équation sans second membre est donc la fonction définie sur ] [ + ln par : y = λe = λe, λ R Solution particulière. On remarque que la fonction Solution générale.! est solution évidente de l équation complète. En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution f générale de l équation différentielle proposée.! f = λe +, λ R ( ) Question facultative : Vous pourrez vérifier que sur l intervalle ] ;[, on obtient la solution générale e suivante : y = λ où λ R Et donc sur ] ;+ [ y = λe +, λ R Raccordement en : Continuité de la fonction en ( ) + + o + λ y = λ = + + λ + + o() La fonction f solution de l'équation différentielle sur R impose que la limite en soit finie. Cette condition est réalisée pour λ = et l'on obtient alors lim f λ R, lim y = < ( ) =. De plus ( ) > On peut donc prolonger par continuité la fonction f en en posant f ( ) = Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 6

48 UMN SOLUTIONS MAI Dérivabilité en < ( ) ( ) f f 3 3 lim = lim ( e ) + = lim + + ο ( ) + 6 < < < = lim + ο ( ) = 3 ( ) ( ) > > ( λ ) f f lim = lim e + = λ + la fonction est dérivable en si et seulement si λ = Conclusion : La seule fonction f continue en et dérivable en, vérifiant l'équation différentielle est la fonction f définie par :: ( e ) + + sur ] ; [ f ( ) = si = ( e ) sur ] ; + [ Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 7

49 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE4B) L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en et en I =, I =, et I =, + On considère: ] [ ] [ ] [ 3 On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs, et 3. Supposons dorénavant j fié. On peut alors la forme normalisée de l équation Arctan différentielle : y + y = + + ( ) ( ) Equation sans second membre : y + y = ( + ) La fonction! = + est continue sur I j et admet donc sur ( + ) + + cet intervalle des primitives, en particulier,! ln La solution générale de l équation homogène est donc définie par : + λ sur ] ; [ + y = λ sur ] ; [ + λ3 sur ] ; + [ λ, λ et λ sont des constantes réelles. Où 3 Solution particulière : Cherchons une solution particulière de l équation complète en utilisant la méthode de variation de la constante. On pose : + + y = λ( ) avec y = λ ( ) + λ( ) En reportant dans l'équation, et après simplification, on obtient : Arctan λ ( ) = + ( ) En intégrant par parties et en utilisant la décomposition en éléments simples, on obtient Arctan ( ) ( λ = + ln + ln + ) + Arctan + 4 La solution générale est la fonction y définie sur I j Arctan + + y( ) = + ln + Arctan + Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 8

50 UMN SOLUTIONS MAI Solution générale : En utilisant le principe de superposition des solutions : + λ + ln + Arctan sur ; y( ) = f ( ) = λ + ln + Arctan sur ; λ3 + ln + Arctan sur ; + + On cherche maintenant à raccorder les solutions en et en Raccordement en Continuité en π lim f ( ) = lim f ( ) = Arctan( ) = 4 < > ] [ ] [ ] [ la continuité des solutions en est réalisée quelles que soient les constantes λ et λ, en revanche, la solution n'est pas dérivable en. Il n'eiste pas de solution définie sur ], [. Raccordement en Continuité en : au voisinage de on a: Arc tan = + ο = ο 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) + + = + +ο ( 3 ) = + ο ( ) ln ln ln + 3 lim f = lim f = λ = λ = ( ) ( ) 3 < > On peut donc prolonger les solutions en en posant f ( ) = Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 9

51 UMN SOLUTIONS MAI Dérivabilité en Toujours au voisinage de on a: f = ο = + ο ( ) ( ) ( ) f = Le prolongement sera dérivable en et ( ) Il eiste donc une solution f de l équation différentielle sur l ensemble ; + = I I définie par : ] [ {} 3 + f ( ) = ( ) Arctan+ ( + ) ln + Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons fortement de faire l'eercice suivant (Cliquez sur Eercice). Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

52 UMN SOLUTIONS MAI (MATHE4C) L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y s'annule en, et. On considère les intervalles : I =, I =, I =, et I =, + ] [ ] [ ] [ ] [ 3 4 On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs,,3 et 4. Supposons dorénavant j fié. On peut eprimer l équation différentielle sur chacun des intervalles sous forme normalisée : y + y = Equation sans second membre : ( ) ( ) y + y = ( ) La fonction! est continue sur I j et admet donc sur chacun de ces ( ) intervalles des primitives, en particulier,! ln La solution générale de l équation homogène est donc : λ sur ] ; [ λ sur ] ; [ y = λ3 sur ] ; [ λ4 sur ] ; + [ Solution particulière de l équation complète. Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variation de la constante y = λ avec y = λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) En reportant dans l'équation initiale et en simplifiant, on obtient : λ ( ) = soit : λ ( ) = ln On obtient donc comme solution particulière la fonction définie par : ( ) y = ln Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

53 UMN SOLUTIONS MAI Solution générale. En utilisant le principe de superposition des solutions ( ln( ) + λ ) sur ] ; [ ( ln( ) + λ ) sur ] ; [ y = ( λ, λ, λ3, λ4) R ( ln + λ3 ) sur ] ; [ ( ln + λ4 ) sur ] ; + [ Raccordement en Continuité en. f est continue en si et seulement si λ λ Dérivabilité en = =. On pose alors : ( ) On effectue le développement limité au voisinage de de la fonction : ( X ) ( ) ln( ln ) ( X ) ( X ) f = = + + X X ( X ) X + o( X ) X( X ) = = + o X X On peut donc poser f ( ) = Il y a donc raccordement en. Raccordement en On pose f ( ) et f ( ) ( ) 4 f = = = qui assurent le prolongement de f par continuité en et la dérivabilité de f en. Il y a donc raccordement en. Raccordement en f est continue en si et seulement si λ3 = λ4 =, on pose alors f () = Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch

54 UMN SOLUTIONS MAI Pour la dérivabilité on a : f' () = Il eiste une solution unique sur R donnée par : ln( ) sur ] ; [ si = ln( ) sur ] ; [ y = si = ln sur ] ; [ si = ln sur ] ; + [ avec f ( ) = f ( ) = f ( ) = Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet eercice, nous vous conseillons vivement de contacter votre tuteur. Cycles Préparatoires de Formation Continue de l INPL COURS : Philippe Leclère EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch 3

55 UMN Aides MAI (MATHEA) Le facteur de y ne s'annulant pas l équation est sous forme normalisée. Il eiste donc une fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y() f () On rappelle qu'une primitive de la fonction (! Argsh serait maladroit dans cet eercice) = = f;! est ln( + + ) + Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

56 UMN Aides MAI (MATHEB) Le facteur de y ne s'annulant pas l équation est sous forme normalisée. Il eiste donc une fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y( ) f ( ) = = Il eiste une solution polynomiale de degré pour l'équation complète Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère

57 UMN Aides MAI (MATHEC) Le facteur de y ne s'annulant pas l équation est sous forme normalisée. Il eiste donc une = = fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y( ) f ( ) La fonction f :! ln est une bijection de ], + [ sur ], + [ ln a = lnb a > et b > a = b Cycles Préparatoires du Service de Formation Continue de l INPL Eercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère