Equations et inéquations
|
|
- Huguette David
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1. Equations polynomiales CHAPITRE Equations et inéquations Partie A : Equations Définition. Une équation polynomiale d'inconnue est une équation de la forme (ou équivalente à) p ( ) =, où p est un polynôme de degré 1. Le degré de l'équation polynomiale est par définition le degré du polynôme p. Une solution de l'équation p ( ) = est appelée racine du polynôme p. Eemples d'équations polynomiales. 3 L'équation = est polynomiale de degré L'équation = est polynomiale de degré 5. L'équation 4 = 5 est polynomiale de degré. En effet, il suffit de transporter tous les termes du e memre dans le 1 er memre : on voit alors que le polynôme p ( ) de la définition est égal à Attention : l'équation ( + 1) = n'est pas, comme on pourrait le croire à priori, du e degré. En effet, après réduction des termes semlales, on constate qu'elle est du 1 er degré : + 1 = = + + = 3 + = Il est rassurant de noter qu'une équation qui semle non polynomiale à première vue, est souvent équivalente à une équation polynomiale après des transformations adéquates. Dans l'eemple suivant, on utilise la multiplication en croi. 3 = 4 = 3 ( + ) 4 = Et voilà une équation qui est ien polynomiale! Remarque. Il est important d'identifier le degré d'une équation polynomiale avant de la résoudre. En effet, la méthode de résolution en dépend considéralement. Le théorème suivant, que nous admettons, constitue un résultat important sur le nomre de solutions d'une équation polynomiale. Théorème. Une équation polynomiale de degré n 1 a au plus n solutions. Avant de déterminer le degré d'une équation polynomiale, il faut réduire les termes semlales. Eemple. Une équation du e degré a donc soit solutions, soit 1 solution, soit aucune solution. Montrons que toutes les situations sont possiles. = 4 = ou =. Cette équation a solutions distinctes. = =. Cette équation a 1 solution. = 1 est impossile car un carré est toujours positif. Cette équation n'a donc pas de solution.
2 . Equations du 1 er degré Définition. Une équation du 1 er degré d'inconnue est une équation de la forme (ou équivalente à) a + =, où a et sont des constantes réelles avec a. Remarque. Si a = alors le terme a s'annule et l'équation n'est pas du 1 er degré. Théorème. Toute équation du 1 er degré a eactement une solution. Démonstration. Soit a + = une équation du 1 er degré, avec a R et R. On a : a + = a = =. a Cette équation a donc une solution unique : S = a. Eemples et contre-eemples. + 6 = = 6 = 3 3 = + 1 / 6 = ( ) 6 = = = 1 / 3 1 = = = / = + 5 = + 5 = 5 + = 7 = 7 S = = = = = = S = R 1 1 A partir de cette ligne, on est sûr qu'il s'agit d'une équation du 1 er degré. Est-ce une équation du 1 er degré? Non, car les monômes du 1 er degré disparaissent au cours de la réduction! Est-ce une équation du e degré? Non, car les carrés disparaissent ; mais l'équation n'est pas non plus du 1 er degré car les termes du 1 er degré se détruisent aussi!.
3 3. Equations du e degré Définition. Une équation du e degré d'inconnue est une équation de la forme (ou équivalente à) a + + c =, où a, et c sont des constantes réelles avec a. Remarque. Si a = alors le terme a s'annule et l'équation n'est pas du 1 er degré. Pour résoudre une équation du e degré, il faut factoriser si possile le polynôme p = a + + c en facteurs du 1 er degré, puis utiliser la règle du produit nul. Eemples. = 4 (1) 4 = ( )( ) + = = ou + = = ou = {, } S = p = 4 est un produit remarquale. = 3 + () = + = ( ) ( 1) 4 ( )( ) ( 3)( 1) { 3, 1} = = 1 1+ = + = 3 = ou + 1 = = 3 ou = 1 S = = (3) + + = ( ) 1 + = S = > p = 3 n'est pas un produit remarquale. Mais est le déut d'un produit remarquale. D'où l'idée d'ajouter le carré manquant (+1) et de le retrancher ensuite ( 1) ; dans la ligne suivante, on regroupe convenalement les termes, ce qui conduit à une différence de carrés. Cette méthode est appelée méthode du complément quadratique. p une somme de termes, dont le premier est un carré et le deuième un réel strictement positif. = ne peut pas être factorisé car c'est La méthode du complément quadratique, appliquée dans les deu derniers eemples aoutit a deu résultats totalement différents. L'équation () admet solutions distinctes tandis que l'équation (3) n'admet aucune solution. En effet le polynôme dans l'équation () peut être factorisé en deu facteurs du premier degré contrairement au polynôme dans l'équation (3). A quelle condition le polynôme p = a + + c peut-il être factorisé? Le théorème suivant permettra de donner une réponse précise à cette question. Proposition et définition. Soit p a c eiste deu constantes u et v telles que : ( R) forme canonique de p ( ). = + + un polynôme (trinôme) du second degré. Il p = a u + v. Cette écriture est appelée.3
4 Démonstration. en posant : = 4ac. Définition. Le nomre Posant u = et v a ( R) = + + p a c a = a + + a 4ac = a ac c a ( ) a 4 a 4 a 4 a grouper grouper = a + a 4a 4ac = a + a 4a = a + a 4a = 4ac est appelé discriminant du trinôme 4a p. p = a u + v. =, on otient la forme canonique annoncée : Pour factoriser p ( ), nous mettons à nouveau a en évidence. Donc : p = a + a 4a ( R) On discute maintenant en fonction du signe de : 1 er cas : > (.1) Alors : p = a + a a = a a a a a + = a + + a a D'après la règle du produit nul, le polynôme p admet deu racines distinctes, à savoir : La factorisation de p ( ) est : + 1 = et = (.) a a p = a (.3) 1.4
5 e cas : = Alors on a : p = a + a Il en résulte que le polynôme p admet une racine unique (appelée encore racine doule puisqu'elle coïncide avec 1 et ), à savoir : La factorisation de p ( ) est : 3 e cas : < Alors :.5 = ( = 1 = ) (.4) a p = a (.5) p = a +. a + 4a > Il en résulte que l'équation p ( ) = n'admet pas de solution et qu'il est impossile d'écrire p( ) comme produit de deu polynômes du premier degré. Le théorème suivant résume notre étude. Théorème. Soit pg = a + + c discriminant. un trinôme du second degré ( ) Si > alors p admet deu racines distinctes : = 1 a et La factorisation de p = g est : p a 1g g Si = alors p admet une racine doule : = a. La factorisation de pg est : p = a ( ) Si < alors p n'admet pas de racine et pg ne se factorise pas. Eemples. Reprenons le polynôme de l'équation () : Le discriminant est : = = 16 > Les racines sont : 1 = = 1 et = = 3. Reprenons le polynôme de l'équation (3) : a et = + a. (.6) = 4ac son p = 3. ( a = 1, = et c = 3 ) p = ( a = 4, = 4 et c = 3 ) Le discriminant est : = ( 4) = 3 <. Ce polynôme n'a donc pas de racine.
6 4. Equations de degré 3 Si p est un polynôme de degré n 3, alors on commence par chercher une racine évidente du polynôme. Pour cela on dispose du résultat suivant : Théorème 1. Soit p ( ) un polynôme de degré n 1 à coefficients entiers : n n 1 p = an + an a1 + a avec an, an 1,..., a1, a Z (.7) Si u Z est une racine entière de pg, alors u divise a (terme constant). u Si Q est une fraction irréductile et racine de v p, alors u divise a (terme constant) et v divise a n (coefficient du terme de degré n). Démonstration. On va se contenter de démontrer le premier point. u est racine de p p u = n a u + a u +... a u + a = n n 1 n 1 1 n 1 n ( n n... ) u a u + a u + a = a 1 1 u est un diviseur de a. Eemple. Soit à résoudre l'équation 3 On doit chercher une racine évidente du polynôme 3 Ici : a3 = 1, a =, a1 = 1, a = 1. Div ( 1) = { ± 1, ±, ± 3, ± 4, ± 6, ± 1} p ( 1) = p = p ( 3) = = + 1 = (.8) p = + 1. Donc 3 est racine évidente de p ( ) et solution de l'équation. On sait alors que par 3. En général, nous rappelons le théorème suivant : Théorème. Soit p un polynôme et a un nomre réel. a est racine de p p est divisile par ( a) p est divisile (.9) Poursuivons la résolution de l'équation (.8) : il faut diviser p ( ) par 3. Schéma de Horner : Donc : p ( 3)( 4) = + +. Pour trouver les autres solutions de (.8), il reste à déterminer q = Or = = 15 <, donc q( ) n'admet pas de S = 3. les racines du trinôme racine. Ainsi l'ensemle de solutions de (.8) se réduit à { }.6
7 5. Equations rationnelles (i.e. contenant l'inconnue au dénominateur) Méthode : 1. Ecrire les conditions d'eistence : une fraction eiste si et seulement si son dénominateur ne s'annule pas. Le domaine de l'équation est l'ensemle des réels pour lesquels l'équation a un sens.. Mettre toutes les fractions sur un dénominateur commun. 3. Multiplier l'équation par ce dénominateur commun pour se ramener à une équation polynomiale. 4. Résoudre l'équation polynomiale. Attention : une solution de l'équation polynomiale est solution de l'équation rationnelle donnée si et seulement si elle appartient au domaine de celle-ci. Eemple = 4 Conditions d'eistence : 4 ( )( + ) et Domaine : D = R \ {,,-} ( D) = 4 3( ) ( + ) ( + ) 4 + = / ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( + ) Voici une équation polynomiale! = = 4 = 1 { 6} = 6 D S = Elle est du 1 er degré. a eiste Attention : a = a = ou = a a et La solution est ien dans le domaine de l'équation initiale. 6. Equations irrationnelles (i.e. contenant des radicau) Eemple. Soit à résoudre l'équation On commence par déterminer le domaine de l'équation. Conditions d'eistence : Donc : D 1 =,1 1 = + 1 (.1) a eiste a a =.7
8 ( D) 1 = + 1 / ( ) ( ) 1 = = = = = ou = 5 = ou = 4 S = { } La solution On a le droit d'élever au carré les deu memres d'une équation à condition qu'ils soient positifs. En particulier : (, R ) 5 = est à eclure car elle n'est pas dans le domaine de l'équation. 4 Partie B : Inéquations a a = a = + 1. Rappel : Etude du signe d'un inôme du 1 er degré Taleau du signe du inôme a a + lorsque a > : + a +, a > + Taleau du signe du inôme a a + lorsque a < : + a +, a < + Remarque. Il faut ien distinguer entre les cas a > et a <. Retenons que le signe de a se trouve toujours à droite dans le taleau. Eemple : Etude du signe de + 3. Ce inôme s'annule pour = 6. La constante a est égale à 1 <, d'où le taleau du signe :
9 . Inéquations du e degré Eemple. Soit l'inéquation du e degré : 4 9. Comme dans le cas des équations (cf. chapitre 5), on commence par transporter tous les termes dans un memre, puis on factorise le memre non nul ( 3)( 3) + Il faut ensuite étudier le signe du produit ( 3)( 3) +. Rappelons à cette occasion que : Un produit de deu facteurs est positif ssi les deu facteurs ont même signe. a a a ou Un produit de deu facteurs est négatif ssi les deu facteurs ont des signes opposés. a a a ou En particulier : ( a R) a (.11) (.1) (.13) Revenons à notre eemple. Etudions d'aord le signe des deu inômes 3 et = = 3 = = = 3 = g g : D'où le signe du produit ( 3)( 3) Or, d'après ( ), on cherche les tels que le produit ( 3)( 3) ], 3 ] [ 3, [ S = soit positif ou nul. Donc :
10 Remarquons que le taleau du signe précedent permet de résoudre d'autres inéquations. Par eemple : 4 > 9 ( 3)( + 3) > ], 3 [ ] 3, + [ 4 9 ( 3)( + 3) [ 3, 3 ] 4 < 9 ( 3) ( + 3) < ] 3, 3 [ Généralisons : Soit p a c du type p ou p, il faut étudier le signe de 1 er cas : > Alors on a : p = a suite nous supposons que 1 <. = + + un trinôme du second degré. Pour résoudre une inéquation p. 1g g où 1 et sont les deu racines distinctes de p. Dans la ( ) ( ) p ( ) si a > + + p ( ) si a < + En résumé : 1 + g signe de a signe contraire de a signe de a p On retiendra la règle générale : p ( ) a le signe de a sauf entre les racines (.14) Eemple. Soit à résoudre l'inéquation 3 5 On a : p admet deu racine distinctes : = + =. Donc Voici le taleau du signe de p ( ) : p = 3 5. >. Etudions le signe de = = 1 et = = L'ensemle de solutions de l'inéquation est : ], 1 [ ] 5, [ e cas : = S = +..1
11 g où Alors on a p = a. D'où le taleau du signe : est la racine doule de p. Le carré ( ) est toujours + ( ) + + pg si a > + + pg si a < En résumé : + g + + g signe de a signe de a p Remarquons que la règle (.14) est toujours valale. En effet, comme il y a une seule racine, la région "entre les racines" n'eiste pas. Voilà pourquoi p ( ) a toujours le signe de a, sauf pour =, où p ( ) s'annule. Eemple. Etudions le signe du trinôme 1 = = et = =. On a : ( 9) ( 4) D'où le taleau du signe de p g : p = = 3. Remarque. On aurait pu déduire ce taleau du fait (élémenatire) que p D'où : L'inéquation L'inéquation L'inéquation L'inéquation < admet comme solutions : ], [ ] [ { 3 3, R \ 3} est toujours vraie : R S = > n'a pas de solution : S = a une solution unique : { 3} S = + =. S =..11
12 3 e cas : < Alors, d'après (.6) : p = a + + a 4a. > > Il en résulte que p a toujours le signe de a. Le taleau du signe de particulièrement simple : p est donc + g p signe de a Eemple. Le trinôme est toujours >. En effet : = 1 = 19 < et a = 1 >. D'où : L'inéquation > est toujours vraie : S = R. L'inéquation L'inéquation L'inéquation 3. Inéquations de degré 3 Méthode : est toujours vraie : S = R < n'a pas de solution : S = n'a pas de solution : S =. 1. Transporter tous les termes dans un memre.. Factoriser le memre non nul en facteurs du 1 er ou du e degré. 3. Etalir le taleau du signe du produit. 4. Ecrire l'ensemle de solutions de l'inéquation. Eemples ( 1)( 1) + + Remarquons que ( R) + 1 >. D'où le taleau du signe suivant : ( 1)( 1) L'ensemle de solutions de l'inéquation est donc : S = [ 1, + [..1
13 Il arrive qu'un facteur soit présent avec un eposant supérieur à 1. Par eemple : > > ( ) 1 > Remarquons que le carré ( 1) est toujours. Il s'annule lorsque 1 =, i.e. lorsque 1 =. D'où le taleau du signe : ( 1) ( 1) + + L'ensemle de solutions est : ], [ \ { } S = +. 1 Dans d'autres eemples des facteurs peuvent surgir avec l'eposant 3, 4 ou plus. On pourra donc réfléchir à la question importante : quel est le signe de a, de a, de a etc. Etalir la règle générale! 4. Inéquations rationnelles (avec l inconnue au dénominateur) Finalement, nous traitons un eemple où l'inconnue figure au dénominateur Le domaine de l'inéquation est D = R \ {,1}. Alors : ( 1) ( 1) ( ) ( ) Attention. La méthode diffère fondamentalement de la résolution d'une équation quant au point suivant : on ne peut pas ici éliminer le dénominateur commun par multiplication. En effet nous savons que si l'on multiplie une inéquation par un réel a, le sens de l'inéquation change ou se conserve, suivant le signe de a. Or : le 1 n'est pas constant, il dépend notamment de ce que > 1 ou signe de.13 Tous les termes sont transportés dans le premier memre. Le premier memre est factorisé!
14 < 1! Voilà pourquoi les facteurs du dénominateur apparaissent également dans le taleau du signe ( 1) + S = ],[ ],1[ [, + [. La signification des doules arres dans la dernière ligne du taleau est évidente : les réels = et = 1 annulent le dénominateur de la fraction et sont par conséquent à eclure. Par contre, pour =, c'est le numérateur de la fraction qui s'annule et donc la fraction toute entière. Retenons : a a eiste = a = (.15).14
FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détail2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailMathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailSection «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée
EXAMENS D'ADMISSION Admission RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES MATIÈRES Préparation en 3 ou 4 semestres Formation visée Préparation complète en 1 an 2 ème partiel (semestriel) Niveau Durée de l examen
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailSites web éducatifs et ressources en mathématiques
Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailFibonacci et les paquerettes
Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExercices sur les équations du premier degré
1 Exercices sur les équations du premier degré Application des règles 1 et Résoudre dans R les équations suivantes en essayant d appliquer une méthode systématique : 1 x + = x + 9 x + = x x 1 = x + x +
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailU102 Devoir sur les suites (TST2S)
LES SUITES - DEVOIR 1 EXERCICE 1 L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année. Pierre possède 500 euros d'économies le 1 er janvier. Il décide
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Plus en détailConversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détailSystème binaire. Algèbre booléenne
Algèbre booléenne Système binaire Système digital qui emploie des signaux à deux valeurs uniques En général, les digits employés sont 0 et 1, qu'on appelle bits (binary digits) Avantages: on peut utiliser
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailCorrection de l exercice 2 du quiz final du cours Gestion financière (2010-2011 T2) : «Augmentation de capital de Carbone Lorraine»
Correction de l exercice 2 du quiz final du cours Gestion financière (2010 2011 T2) : «Augmentation de capital de Carone Lorraine» Question 1 : déterminer formellement la valeur du droit préférentiel de
Plus en détail