Samedi 4 octobre Devoir de 5h

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1 Samedi 4 octobre Devoir de 5h Christian CYRILLE "Il ne s'agit ni de rire, ni de pleurer mais de comprendre" Spinoza La calculatrice est seule autorisée. L'usage de tout document est rigoureusement interdit La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements et des représentations graphiques interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Détection d'un erreur éventuelle par le candidat : Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement dans sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence. 1 Transformations géométriques 1.1 Soit un ensemble A. On appelle application identique de A, que l'on note Id A, l'application de A dans A qui, à tout x de A associe x. 1. Démontrer que si f est une application d'un ensemble E vers un ensemble F, si g est une application d'un ensemble F vers un ensemble E telles que g o f = Id E et f o g = Id F alors f est bijective et son application réciproque f 1 = g 2. On se place dans un plan ane euclidien P associé au plan vectoriel euclidien P. Soient O et Ω des points de ce plan et ( ) une droite de ce plan P. Soit u un vecteur de P. (a) Déduire du 1) que la translation T u de vecteur u est bijective. Quelle est sa réciproque? (b) Déduire du 1) que la symétrie centrale S O est bijective. Quelle est sa réciproque? (c) Déduire du 1) que la symétrie orthogonale d'axe ( ) est bijective. Quelle est sa réciproque? (d) Déduire du 1) que l'homothétie de centre Ω et de rapport k 0 est bijective. Quelle est sa réciproque? 1

2 1.2 Soit un ensemble A. On appelle involution de A ou application involutive de A toute application f de A dans A telle que f o f = Id A 1. Démontrer que si f est une application involutive alors f est bijective. Déterminer f 1 2. Donner trois exemples d'involutions géométriques du plan P 3. Donner deux exemples d'involutions de C 4. Démontrer que la fonction numérique suivante f dénie par f(x) = x + 2 x 1 est une bijection d'un ensemble I sur un ensemble J que l'on précisera. Dénir la bijection réciproque f 1. Dessiner l'allure de la courbe représentative de f 1. 2 Partie Résultat préliminaire à admettre Soit f est une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle I alors :. 1. f réalise une bijection de I sur un l'intervalle J = f < I > 2. la fonction réciproque f 1 est continue sur J 3. Si de plus f est dérivable sur I et sa dérivée f ne s'annule jamais sur I alors f 1 est dérivable sur J et y J l'on a (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)) 4. f 1 a le même sens de variation sur J que f sur I. 5. la courbe représentative C f 1 est l'image de C f par la symétrie orthogonale d'axe D : y = x dans un repère orthonormé. 2.2 Les fonctions trigonométriques inverses 1. Soit f la restriction de la fonction sinus à l'intervalle I = [ π 2 ; π 2 ]. (a) Démontrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l'on déterminera. On note alors Arcsin l'application réciproque de f. (b) Dessiner les courbes représentatives de f et de Arcsin dans un même repère orthonormé. 2. Soit g la restriction de la fonction cosinus à l'intervalle K = [0; π]. (a) Démontrer que g est une bijection de K sur un intervalle L que l'on déterminera. On note alors Arccos l'application réciproque de g (b) Dessiner les courbes représentatives de g et de Arccos dans un même repère orthonormé. 3. Soit h la restriction de la fonction tangente à l'intervalle M =] π 2 ; π 2 [. 2

3 (a) Démontrer que h est une bijection de M sur un intervalle N que l'on déterminera. On note alors Arctan l'application réciproque de h. (b) Dessiner les courbes représentatives de h et de Arctan dans un même repère orthonormé. 4. Sans utiliser les propriétés des graphiques, étudier la parité des 3 fonctions Arcsin, Arccos et Arctan 5. Simplier les expressions suivantes après avoir déterminé leur ensemble de dénition. Justier vos simplications. (a) Arcsin(sin(x)) (b) Arccos(cos(x)) (c) Arctan(tan(x)) (d) sin(arcsin(x)) (e) cos(arccos(x)) (f) tan(arctan(x)) (g) sin(arccos(x)) (h) cos(arcsin(x)) 6. Démontrer que y [ 1; 1] on a Arcsin(y) + Arcos(y) = π 2 7. Où et pourquoi les 3 fonctions Arcsin, Arccos et Arctan sont dérivables? Donner ensuite (Arcsin) (y), (Arccos) (y) et (Arctan) (y) en précisant dans chaque cas l'ensemble auquel appartient y. 2.3 Les fonctions hyperboliques inverses Vincenzo Riccati est un mathématicien italien jésuite né en 1707 à Castelfranco Veneto et mort en 1775 à Trévise. Il est le ls du mathématicien et physicien Jacopo Riccati dont il a publié et prolongé les uvres. Il est particulièrement connu pour son travail sur les équations diérentielles (équation de Riccati) et sa méthode de résolution par tractoire.il est aussi le père des fonctions hyperboliques (cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique) Un petit problème à résoudre Soient c et s deux fonctions dérivables sur R qui vérient les 3 propriétés suivantes : P 1 : x R (c(x)) 2 (s(x)) 2 = 1 P 2 : x R c(x) = s (x) P 3 : c(0) = 1 1. Démontrer que x R c(x) 0 2. Calculer s(0) 3. En dérivant chaque membre de P 1 démontrer que x R s(x) = c (x) 4. On pose u = c + s et v = c s (a) Calculer u(0) et v(0) (b) Démontrer que u = u et que v = v (c) Déterminer les fonctions u et v (d) En déduire les expressions de c(x) et de s(x) 3

4 courbes particulières Soient les fonctions f et g dénies sur R par f(x) = 1 2 ex et g(x) = 1 2 e x. 1. Dans le repère orthonormé R 1 = (0, u, v ) avec une unité graphique de 2 cm, dessiner avec 2 couleurs diérentes les courbes représentatives C f et C g de f et de g sans procéder à l'étude de ces 2 fonctions. 2. Préciser sur chacune de ces 2 courbes les points d'abscisse 0 et Etude de la fonction sh Soit la fonction sinus hyperbolique sh dénie sur R par sh(x) = ex e x 1. Démontrer que sh est impaire 2. Etudier les variations de sh puis dresser le tableau de variations de sh 3. Démontrer que la courbe représentative C sh de sh admet comme asymptote au voisinage de + la courbe C f 4. Etudier la position relative des courbes C sh et C f 5. Démontrer que la courbe représentative C sh de sh admet comme asymptote au voisinage de la courbe C k d'une fonction k que l'on précisera. 6. Etudier la position relative des courbes C sh et C k 7. Ajouter dans le repère orthonormé R 1 = (0, u, v ) le dessin des courbes C sh et C k. Dessiner également la tangente en 0 à C sh Etude de la fonction ch Soit la fonction cosinus hyperbolique ch dénie sur R par ch(x) = ex + e x 1. Démontrer que ch est paire 2. Etudier les variations de ch puis dresser le tableau de variations de ch 3. Démontrer que la courbe représentative C ch de ch admet comme asymptote au voisinage de + la courbe C f 4. Etudier la position relative des courbes C ch et C f 5. Démontrer que la courbe représentative C ch de ch admet comme asymptote au voisinage de la courbe d'une fonction que l'on précisera. 6. Etudier la position relative de la courbes C ch et de son asymptote au voisinage de 7. Ajouter dans le repère orthonormé R 1 = (0, u, v ) le dessin de la courbes C ch. Dessiner également la tangente en 0 à C ch Quelques propriétés 1. Démontrer qu'au voisinage de + on a ch(x) 1 2 ex et sh(x) 1 2 ex Démontrer qu'au voisinage de on a ch(x) 1 2 e x et sh(x) 1 2 e x 3. Démontrer la formule suivante pour tout réel a l'on a : ch 2 (a) sh 2 (a) = 1 4

5 2.3.6 Etude la fonction th Soit la fonction tangente hyperbolique th dénie sur R par th(x) = sh(x) ch(x) 1. Etudier les variations de cette fonction puis dresser son tableau de variations 2. Dessiner la courbe représentative de th dans un repère orthonormé. On précisera la tangente en Fonctions hyperboliques inverses 1. Démontrer que la restriction de la fonction ch à R + est une application bijective de R + sur un intervalle J que l'on précisera. On appellera argument cosinus hyperbolique que l'on notera argch la bijection réciproque de la restriction de la fonction ch à R + 2. Dessiner dans un nouveau repère orthonormé R 2 les courbes représentatives de la restriction de la fonction ch à R + et de argch. On précisera la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de argch 3. Démontrer que pour tout y J l'on a : argch(y) = ln(y + y 2 1) 4. Où et pourquoi argch est dérivable? préciser ensuite (argch) (y) 5. Démontrer que la fonction sh est une application bijective de R sur un intervalle K que l'on précisera. On appellera argument sinus hyperbolique que l'on notera argsh la bijection réciproque de la fonction sh 6. Dessiner dans un nouveau repère R 3 les courbes représentatives de la fonction sh et de argsh. 7. Démontrer que pour tout y K l'on a : argsh(y) = ln(y + y 2 + 1) 8. Où et pourquoi argsh est dérivable? préciser ensuite (argsh) (y) 9. Démontrer que la fonction th est une application bijective de R sur un intervalle L que l'on précisera. On appellera argument tangente hyperbolique que l'on notera argth la bijection réciproque de la fonction th 10. Dessiner dans un nouveau repère R 4 les courbes représentatives de la fonction th et de argth. 11. Démontrer que pour tout y L l'on a : argth(y) = 1 2 ln(1 + y 1 y ) 12. Où et pourquoi argth est dérivable? préciser ensuite (argth) (y) Encore quelques propriétés Démontrer les formules suivantes pour tous réels a et b l'on a : 1. ch(a + b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b) 2. sh(a + b) = sh(a)ch(b) + sh(b)ch(a) th(a) + th(b) 3. th(a + b) = 1 + th(a)th(b) En déduire les formules de multiplication des arcs : ch(2a) (3 formules) ; sh(2a) et th(2a) Démontrer alors que ch(x) = 1 + t2 2t ; sh(x) = 1 t2 1 t 2 et th(x) 2t où le paramètre t = th( x t2 ) 5

6 2.3.9 Quelques minorations, majorations et encadrements 1. Démontrer que pour tout réel x 0, on a : x sh(x) 2. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x 0 : (a) 1 + x2 2 ch(x) (b) x + x3 6 sh(x) 3. Démontrer que pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a : (a) sh(x) 2x (b) ch(x) 1 + x 2 4. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x compris entre 0 et 1 : (a) sh(x) x + x3 3 (b) ch(x) 1 + x2 2 + x Justier que, pour tout réel x compris entre 0 et 1,, on a : Qu'en est-il pour sh(x)? 0 ch(x) (1 + x2 2 ) Etude d'une suite pour terminer Soit la fonction F definie sur R par F (x) = { x sh(x) si x 0 1 si x = 0 1. Etudier la parité de F 2. Démontrer que la fonction F est continue en 0 3. Démontrer ensuite que la fonction F est dérivable en 0 et déterminer F (0) 4. Justier que F est dérivable sur R puis calculer F (x) pour x 0 5. On pose H(x) = sh(x) xch(x) pour x 0. Etudier les variations de H puis en déduire le signe de H(x) 6. Déterminer les variations de F sur R + puis donner l'allure approximative de la courbe représentative de la fonction F dans un nouveau repère. 7. Soit la suite (u n ) definie par { un+1 = F (u n ) si n N u 0 = 1 (a) Justier que F < [0.8; 1] > [0.8; 1] puis que u n [0.8; 1] n N. (b) Montrer que l'équation F (x) = x admet une solution unique α sur R. (c) Donner un encadrement de α. H(1) Justier que x [0.8; 1] sh 2 (0.8 F (x) H(0.8) sh 2 (1) (d) Montrer que n N on a u n+1 α 0.5 u n α puis que n N on a u n+1 α 0.2(0.5) n (e) En déduire lim n + u n 6