iota ι I kappa κ K lambda λ Λ nu ν N xi ξ Ξ omicron o O pi π Π

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1 CHAPITRE 1 LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE Alphabet grec alpha α A bêta β B gamma γ Γ delta δ epsilon ε E zêta ζ Z êta η H thêta θ Θ iota ι I kappa κ K lambda λ Λ mu µ M nu ν N xi ξ Ξ omicron o O pi π Π rhô ρ P sigma σ Σ tau τ T upsilon υ Y phi ϕ Φ chi χ X psi ψ Ψ omega ω Ω Ensembles de nombres classiques Définition 1.1 On note N l ensemble des entiers naturels : N = {0; 1; 2; 3...} On note Z l ensemble des entiers relatifs : Z = { 2; 1; 0; 1; 2; 3...} On note Q l ensemble des rationnels. Les rationnels sont les nombres pouvant s écrire comme quotient de deux entiers relatifs, autrement dit les nombres de la forme p q avec p et q dans Z (q 0). Q = { } p, p Z et q Z q On note R l ensemble des réels. On appelle irrationnels les réels qui ne sont pas rationnels (comme π, 2... ). On note C l ensemble des nombres complexes. Définition 1.2 Rappel de quelques notations usuelles : R + = [0, + [ R = ], 0] R = R \ {0} N = N \ {0} Z = Z \ {0} C = C \ {0} R + =]0; + [ R =] ; 0[ p, q = {p, p + 1, p + 2,..., q} (avec p et q dans Z, p q). On a les mêmes variantes que pour les intervalles de R. Lycée du Parc 851 1

2 Une propriété des nombres rationnels qui nous sera utile de temps à autre est que chaque rationnel peut-être mis de manière unique sous forme irréductible p q avec p Z, q N et p et q premiers entre eux (c est-à-dire sans diviseur commun à part 1). La forme irréductible de 4 6 est , celle de 18 est 3. 1 Logique 1.1 Propositions et quantificateurs Une proposition mathématique est une «phrase» exprimée dans le langage mathématique. Une définition correcte nous entraînerait beaucoup trop loin, nous travaillerons donc à partir d exemples. 1. «2 + 2 = 4» 2. «2 + 2 = 5» 3. «2 + (0, 1) = 5» 4. «x 2 x» 5. «pour tout réel x, x 2 x» 6. «il existe un réel x tel que x 2 x» Les deux premières propositions ne posent pas de problème particulier : elles ont un sens clair et une valeur de vérité : la première est vraie, la deuxième fausse. La troisième proposition est différente : elle n a pas de sens car elle mélange de manière incorrecte des objets de différents types on ne peut pas ajouter 2 à (0, 1). C est évident ici, ça l est peut-être moins dans l exemple suivant : «la dérivée de x 2 est 2x» (qui n a pourtant pas plus de sens)... Pour éviter d écrire ce genre d absurdité, il est absolument crucial de toujours avoir en tête le type d objet que l on manipule (s agit-il d un réel? d une fonction? d un ensemble?...). La quatrième proposition est plus délicate à analyser. En tant que telle elle n a pas de sens car on ne sait pas quel type d objet est désigné par x (imaginez par exemple que x soit un point du plan). Supposons donc que x désigne un nombre réel. Dans ce cas, la proposition est syntaxiquement correcte, mais elle n a pas vraiment de sens car elle n est ni vraie ni fausse (comme on peut le voir en remplaçant successivement x par 1 2 puis par 2). Les variables apparaissant dans une formule sans y être quantifiées (on parle de variable libre) devront donc systématiquement avoir été préalablement définies. Dans la cinquième proposition, ce problème est résolu. En utilisant l expression «pour tout réel x», on a transformé x en variable liée ou muette : la valeur de vérité de la proposition ne peut plus dépendre de la valeur de x. Plus précisément, cette proposition ne fait plus référence à un nombre réel x supposé précédemment défini : on peut la remplacer par «pour tout réel y, y 2 y» sans rien changer à son sens. z que cette proposition est bien évidemment fausse, mais c est presque un détail... La sixième proposition est similaire à la cinquième, la principale différence étant qu elle est vraie. Il faut remarquer que l expression «il existe un réel x» signifie plus précisément «il existe au moins un réel x» ; ici, on a en fait une infinité de réels x tels que x 2 x, ce qui ne pose aucun problème. Définition 1.3 Par souci de concision, on introduit des notations symboliques appelées quantificateurs. Le quantificateur universel signifie (et se lit) «pour tout». «x R, x 2 x» est fausse (c est la proposition 5 vue plus haut). «x [1; + [, x 2 x» est vraie. Le quantificateur existentiel signifie (et se lit) «il existe». «x R, x 2 = 1» est fausse. «x C, x 2 = 1» est vraie (on peut prendre x = i ou x = i). On note de plus! pour «il existe un unique». «!x R, x 2 = 1» est fausse (car aucun x R ne convient). «!x R, x 2 = 1» est fausse (car plusieurs x R conviennent). «!x R +, x 2 = 1» est vraie (car exactement un x R + convient). Lycée du Parc 851 2

3 s On a très souvent plusieurs quantificateurs à la suite. Cela ne pose pas de problème quand ils sont du même type : la proposition a R, b R, (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 a exactement le même sens que b R, a R, (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 et s abrège d ailleurs souvent a, b R, (a b) 2 = a 2 2ab+b 2. Quand on a une alternance de quantificateurs existentiels et universels, en revanche, l ordre est crucial (cf exercice 1.1). Il faut toujours préciser à quel ensemble chacune des variables appartient. Par exemple, x, x 2 0 n a aucun sens. La virgule après un quantificateur existentiel se lit «tel que» (on peut à la limite omettre la virgule, mais le «tel que» implicite est toujours là). Ainsi, x R +, y R, y 2 = x se lit «pour tout x appartenant à R +, il existe un y appartenant à R tel que y 2 soit égal à x». Il est parfois plus clair d écrire le «tel que» explicitement ou d utiliser l abréviation «tq». Exercice a. Quelle est la différence entre «x R, y R, x 2 y» et «y R, x R, x 2 y»? b. De manière plus générale, considérons un ensemble E et une propriété P (x, y) dépendant de deux éléments x et y de E. Existe-t-il un lien logique entre les deux propriétés «y E, x E, P (x, y)» et «x E, y E, P (x, y)»? 2. La conclusion du 1.b n est plus valable si l on remplace le quantificateur par!. Trouver un contre-exemple. Exercice 1.2 On se donne deux réels a et b. Pour chacune des propriétés suivantes, trouver une propriété équivalente n utilisant aucun quantificateur. 1. x R, ax 0 2. x R, x 2 a 3. x R, x 2 + ax + b = 0 4. x R, ax + b = 0 5.!x R, ax + b = Connecteurs logiques Définition 1.4 Un connecteur logique permet de former une nouvelle proposition à partir d une ou plusieurs propositions. Ceux utilisés en pratique sont : la négation de A notée «non A» ou «A» ; la conjonction de A et B notée «A et B» ou parfois «A B» ; la disjonction de A et B notée «A ou B» ou parfois «A B» ; l implication de A à B notée «A B» ; l équivalence entre A et B notée «A B» ; La signification de ces connecteurs est donnée par les tables de vérité suivantes : A B A A B A B A B A B V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Lycée du Parc 851 3

4 s Le «non» est prioritaire sur les autres connecteurs (ce qui permet d éviter l accumulation de parenthèses). Ainsi, «non A ou B» signifie «(non A) ou B» et pas «non (A ou B)» On voit que «A ou B» est toujours vrai, sauf dans le cas où A et B sont tous les deux faux. La proposition «0 = 1 ou = 4», par exemple, est vraie. On dit que le «ou» mathématique est inclusif, ce qui n est pas systématiquement le cas dans le langage courant. Il faut faire très attention à bien distinguer A B de «A, donc B». La proposition «0 > 1 17 = 24» est vraie, tout comme «0 > ». En effet, A B signifie «si A est vrai, alors B aussi» et ne dit donc rien du cas où A est faux. En revanche, «A donc B» signifie «je sais que A est vrai, j en déduis que B aussi». Pour éviter les confusions, une règle simple à retenir : le symbole ne sera presque jamais utilisé en dehors de définitions données dans le cours. On a le même type de problème pour l équivalence : quand on écrit A B, on dit seulement que A et B sont soit tous les deux vrais, soit tous les deux faux. Le symbole ne sera utilisé que pour résoudre certains types d équations très simples (et pour énoncer de manière succincte des définitions et théorèmes). Il ne faut pas confondre une implication A B et sa réciproque B A. Ainsi, l implication «ABC équilatéral AB = AC» est vraie, mais sa réciproque «AB = AC ABC équilatéral» est fausse (puisque rien n oblige AB à être égal à BC). Dire que «A B» et «B A» sont tous les deux vrais, c est précisément dire que «A B» est vrai. Exercice 1.3 On peut en fait définir le «et» à partir du «ou» et du «non». En effet, dire que «A et B» est vrai, c est dire que A et B sont tous les deux vrais, autrement dit que «non A» et «non B» sont tous les deux faux, c est-à-dire que «(non A) ou (non B)» est faux. Finalement, «A et B» est synonyme de «non((non A) ou (non B))». Définir de même (c est plus simple) : 1. à partir de «non» et de «ou» ; 2. à partir de «et» et de ; 3. à partir de «non», de «et» et de «ou» (sans utiliser les questions précédentes). Proposition 1.5 Soit E un ensemble et P (x) une propriété dépendant d un élément x de E. La proposition «non ( x E, P (x))» est équivalente à «x E, non P (x)». La proposition «non ( x E, P (x))» est équivalente à «x E, non P (x)». s On dit souvent que la négation échange les quantificateurs existentiels et universels. Cette propriété est évidente, dès lors qu on a bien compris que le «contraire» (c est-à-dire la négation) de «tous les chats sont domestiques» n est pas «aucun chat n est domestique» mais bien «il y a au moins un chat qui n est pas domestique». Quand il y a plusieurs quantificateurs, on applique plusieurs fois de suite la règle : en partant par exemple de «non ( x R, y R, y 2 = x )», on obtient «x R, non ( y R, y 2 = x )» puis «x R, y R, non ( y 2 = x )», c est-à-dire «x R, y R, y 2 x». Exercice 1.4 On considère un entier naturel n. 1. Traduire «formellement» (c est-à-dire à l aide de quantificateurs et éventuellement de connecteurs logiques) la proposition «n est pair». 2. En déduire une traduction formelle de «n est impair». Pouvez-vous trouver une formulation plus simple (en tout cas plus «pratique») de «n est impair»? Lycée du Parc 851 4

5 Exercice 1.5 On considère une suite réelle (u n ) n N. Traduire «formellement» les propositions suivantes. 1. La suite u est croissante. 2. La suite u n est pas croissante. 3. La suite u n est pas monotone ( i.e. elle n est ni croissante ni décroissante). 1.3 Règles logiques et raisonnement Les formules logiques ci-dessous sont toujours vérifiées 1 (que les propositions A, B, C... soient vraies ou pas). Il faut les voir surtout comme des formalisations d un certain nombre de types de raisonnement valides. Proposition 1.6 Distributivité (A ou (B et C)) ((A ou B) et (A ou C)) (A et (B ou C)) ((A et B) ou (A et C)) Lois de De Morgan (non (A ou B)) (non A et non B) (non (A et B)) (non A ou non B) Contraposée (A B) (non B non A) Disjonction des cas ((A ou B) et (A C) et (B C)) C ((A C) et (non A C)) C Raisonnement par l absurde (non A Faux) A 1.3.a Méthodes de démonstration On considère un ensemble E et une proposition P (x) dépendant d un élément x de E. Démonstration de «x E, P(x)», directement : Soit x E (on se donne un élément quelconque de E). On démontre que P (x) est vraie. On en déduit x E, P (x). Exemple : x R, x 2 4x Démonstration de «x E, P(x)», directement : On exhibe un x particulier vérifiant P (x). On conclue. Exemple : x R, e x 4x 2 = 1 Démonstration de «x E, P(x)», par l absurde : On suppose x E, non P (x). On en déduit une absurdité. On conclue. Exemple : exercice 1.9 Démonstration de «!x E, P(x)» : { x E, P (x) (existence) La propriété à démontrer est équivalente à : x, y E, ( P (x) et P (y) ) x = y (unicité) Il faut donc démontrer chacune de ces deux propriétés, ce qui peut se faire de plusieurs manières. Exemples : exercice 1.6. Démonstration de «A B», directement : On suppose A. On en déduit B. 1. on dit que ce sont des tautologies Lycée du Parc 851 5

6 On conclue. Exemple : x R, (x 3) (x 2 3x 0). Démonstration de «A B», par contraposée : On suppose non B. On en déduit non A. On a donc non B non A, et par contraposée on conclue A B. Exemple : n N, n 2 impair n impair. Démonstration de «A B», par double implication : On montre séparément «A B» et «B A». : on peut parfois raisonner par équivalence, mais c est rare. Le réflexe doit être de décomposer en deux implications. Exemple : n N, (n pair) (n 2 pair). Exercice Montrer que!x R, x = x Pour quelle(s) valeur(s) de x R (s il y en a) a-t-on x 2 3 = x 1? 3. Pour quelle(s) valeur(s) de x R (s il y en a) a-t-on x = x 1? De manière générale, il faut retenir qu une stratégie possible, et souvent fructueuse, pour déterminer les x E vérifiant une certaine propriété P (x) est de : prendre un x dans E dont on suppose qu il vérifie P (x) ; en déduire les valeurs possibles de x (sans chercher à avoir des équivalences) ; parmi les valeurs possibles trouvées pour x, déterminer celle ou celles qui conviennent effectivement. Tenter de procéder par équivalence tout au long de la démonstration est généralement une mauvaise idée. Exercice 1.7 Montrer que 2 est irrationnel. On procédera par l absurde en supposant que 2 = p q avec p, q N et p q irréductible. Exercice 1.8 Démonstration par disjonction des cas Montrer que n N, n 2 + n est pair. Exercice 1.9 Montrer qu il existe deux nombres irrationnels positifs x et y tels que x y soit rationnel, c est-àdire que x, y R + \ Q, x y Q. On pourra s intéresser à 2 2 et utiliser l exercice b Démonstration par récurrence On considère n 0 N et P (n) une propriété dépendant de n N. Théorème 1.7 Récurrence Si l on a : P (n 0 ) (Initialisation) n n 0, P (n) P (n + 1) (Hérédité) alors n n 0, P (n). Lycée du Parc 851 6

7 Théorème 1.8 Récurrence double Si l on a : P (n 0 ) et P (n 0 + 1) (Initialisation) n n 0, ( P (n) et P (n + 1 ) P (n + 2) (Hérédité) alors n n 0, P (n). On peut aussi, mais c est extrêmement rare en pratique, faire une récurrence triple : on initialise pour n 0, n et n et l on prouve que ( P (n) et P (n + 1) et P (n + 2) ) implique P (n + 3). Théorème 1.9 Récurrence forte Si l on a : P (n 0 ) (Initialisation) n n 0, (P (n 0 ) et P (n 0 + 1) et... et P (n)) P (n + 1) (Hérédité) alors n n 0, P (n). Exercice 1.10 Déterminer les n N tels que 3 n n!. Exercice 1.11 Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2, u 1 = 3 et n N, u n+2 = u n+1 u n. Montrer que u est bien définie. Exercice 1.12 Soit (u n ) n 0 la suite définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u 0 u1... u n. Montrer que u est bien définie. Lycée du Parc 851 7

8 2 Sommes et produits finis 2.1 Symboles Σ et Π 2.1.a Introduction Définition 1.10 Soient n 0 et n dans Z, avec n 0 n et a n0, a n0+1,..., a n dans C. On note a i = a n0 + a n a n i=n 0 n a i = a n0 a n0+1 a n i=n 0 Exemple 1.13 Pour n N, on a n! = n i et i=1 n = n 2. i=1 s Dans a i, i est une variable liée ou muette. Ainsi, cette somme ne dépend pas de i. i=n 0 Dans la somme a i, il y a n n termes. En particulier, a i est une somme de n + 1 i=n 0 i=0 termes. n Par convention, si n < n 0, on pose a i = 0 (une somme de zéro terme est nulle) et a i = 1 i=n 0 i=n 0 (un produit de zéro facteur vaut 1). On peut aussi définir des sommes (ou des produits) implicitement : si I est un ensemble fini, a i i I désigne la somme des a i pour i I. Si l ensemble I est vide, la somme est nulle. Proposition 1.11 Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, λ C et a n0, a n0+1,..., a n ainsi que b n0, b n0+1,..., b n dans C. a i + b i = a i + b i i=n 0 i=n 0 i=n 0 λa i = λ a i i=n 0 i=n 0 m a i = a i + a i pour m Z, n 0 m n. i=n 0 i=n 0 i=m+1 Proposition 1.12 Soient n 0 et n dans ( Z avec n 0 n, λ C et a n0, a n0+1,..., a n ainsi que b n0, b n0+1,..., b n dans C. n n ) ( n ) a i b i = a i b i i=n 0 i=n 0 i=n 0 n n i=n 0 λa i = λ n n0+1 i=n 0 a i Lycée du Parc 851 8

9 ( n m a i = i=n 0 i=n 0 a i ) ( n i=m+1 ) a i pour m Z, n 0 m n. Exercice 1.14 Calculer les produits suivants. 1. n 2k 2. 2n k 3. n k 2 Il est très fréquent de rencontrer des sommes que l on ne sait pas «calculer» mais que l on a besoin de minorer ou de majorer. La méthode la plus simple (et donc la première à essayer) est d utiliser la propriété (évidente) suivante : Proposition 1.13 Soient a 1,..., a n et b 1,..., b n des réels. Si i 1, n, a i b i, alors n a i n b i. i=1 i=1 En particulier, s il existe une constante réelle M telle que i 1, n, a i M, alors on a n i=1 a i n i=1 M = nm. Exercice 1.15 Montrer que pour n N, on a 1 2 2n 2.1.b Changement d indice k=n 1 k n. On peut dans une somme changer d indice de sommation tant que le nouvel indice prend exactement les mêmes valeurs que l ancien (et de même dans un produit). Le plus souvent, il faut pour cela ajuster les bornes de la somme. Exemple 1.16 Il y a deux types de changement d indice simples. Décalage : on pose k = k + p avec p Z. Ainsi, si l on veut simplifier l écriture de n on a k = 0 et quand k = n, on a k = n 1. On obtient donc 1 k 1 on peut poser k = k 1. Quand k = 1, n 1 k 1 = n 1 k =0 1 k = n 1 Décalage inversé : on pose k = p k avec p Z. Pour simplifier n n + 1 k, on pose k = n + 1 k. k varie alors entre n + 1 n = 1 k=2 et n = n 1, donc n k=2 n 1 n + 1 k = Il peut parfois être utile de séparer les termes d indices pairs de ceux d indices impairs : Exercice 1.17 Montrer que On pourra utiliser la proposition k. ( 1 + ( 1) k ) 2 k = 8 ( ) 4 n k=0 1 k. Lycée du Parc 851 9

10 On peut aussi regrouper des termes pour simplifier le calcul (sommation par paquets) : Exercice 1.18 Calculer 100 ( 1) k k. k=0 Proposition 1.14 Sommes télescopiques Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, et a n0, a n0+1,..., a n+1 dans C. On a i=n 0 (a i+1 a i ) = a n+1 a n0 Exemple 1.19 Montrer que n N, 1 k(k+1) = 1 1 n+1. On a une propriété similaire pour les produits. Proposition 1.15 Soient n 0 et n dans Z avec n 0 n, et a n0, a n0+1,..., a n+1 dans C. Si a i 0 pour tout i de n 0 ; n, on a n a i+1 = a n+1 a i=n i a n0 0 Exercice 1.20 Soit n N. Calculer n ( k ). 2.2 Sommes usuelles Théorème 1.16 Sommes de Newton Soit n N. On a : k = n(n + 1) 2 k 2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 ( ) 2 n(n + 1) k 3 = 2 Lycée du Parc

11 Proposition 1.17 Somme des termes d une suite arithmétique Soient u une suite arithmétique définie au moins à partir de n 0 N et n n 0. On a : u k = (n n 0 + 1) u n0 + u n 2 k=n 0 On retiendra que la somme de termes consécutifs d une suite arithmétique est donnée par «le nombre de termes fois la moyenne des termes extrêmes». Proposition 1.18 Somme des termes d une suite géométrique Soient q C, q 1 et n 0 n dans N. On a : q k 1 qn n0+1 n0 = q 1 q k=n 0 s Il faut absolument connaître cette formule par cœur. L hypothèse q 1 est indispensable. On a bien sûr 1 k = n 1 = n n k=n 0 k=n 0 Exercice 1.21 Montrer que pour n N, on a Exercice 1.22 Soit n N. Calculer n k=0 2 k et n 2 2k. k=0 ( k ( ) ) n Sommes doubles Définition 1.19 Soient E et F deux ensembles. On note E F l ensemble des couples (ou 2-uplets) dont la première composante est dans E et la deuxième dans F. E F est appelé produit cartésien de E et de F. E F = {(x, y), x E et y F } s Par analogie avec la multiplication, on note E 2 pour E E. Attention, E F F E (sauf si E = F ). Attention à ne pas confondre couple et ensemble à deux éléments. On a {0; 1} = {1; 0} mais (0; 1) (1; 0). Un couple est une paire ordonnée, un ensemble à deux éléments est une paire non ordonnée. Lycée du Parc

12 Cette notion sera généralisé dans la partie 3. Exemple 1.23 En posant A = { ; } et B = { π, 2, 0 }, on a A B = { (, π), (, 2), (, 0), (, π), (, 2), (, 0) }. Théorème 1.20 Fubini Soient I et J deux ensembles finis et a i,j, pour (i, j) I J, des complexes. On a : a i,j = a i,j = ( ) a i,j i I j J j J i I (i,j) I J En particulier, Exemple 1.24 i=1 j=1 p a i,j = p a i,j j=1 i=1 = a i,j 1 i n 1 j p Pour calculer des sommes doubles, on utilise principalement deux techniques :( rendre explicite la somme double : par exemple, a i,j = n a i,j ). 1 i<j n i=1 j=i+1 ( ) ( ) factoriser dans la somme interne : par exemple, ix j = n i x j =.... Exercice Il est parfois nécessaire de commencer par intervertir les symboles ( i.e. par appliquer le théorème de Fubini). 1. Pour n N, calculer 2. Pour n N, calculer 1 i j n 1 i j n ij. i j. i=1 j=1 i=1 j=1 2.4 Coefficients binomiaux Définition 1.21 Soient n et k dans Z. On définit le coefficient binomial ( n k) (lire «k parmi n») par : ( ) { n n! k!(n k)! si 0 k n = k 0 sinon s Si 0 < k n, on a ( ) n k = n(n 1)...(n k+1) k!. Vous trouverez peut-être parfois la notation Cn, p qui est passée de mode. Attention, Cn p = ( n p). Exemple 1.26 On a ( ) 8 5 = 8! 3! 5! = = 8 7 = 56. n N, ( ) n 2 = n(n 1) 2 et ( ) n 3 = n(n 1)(n 2) 6. Lycée du Parc

13 Théorème 1.22 Soient( k, ) n ( N. On ) a : ( ) n n n = ( k ) ( k + 1 ) k + 1 n n = ( k ) n k n = n ( ) n 1 (pour k 0) k k k 1 triangle de Pascal symétrie Les deux premières formules sont très faciles à retrouver à partir du triangle de Pascal. Théorème 1.23 Formule du binôme de Newton Soient x, y C et n N. (x + y) n = k=0 ( ) n x k y n k k On peut vérifier aisément que la formule est bien symétrique en x et y en faisant le changement d indice k = n k et en utilisant la deuxième identité du théorème Exercice 1.27 Pour n N, calculer : 1. ( n k) k=0 2. k=0 k ( ) n k 3. ( 1) k( ) n k=0 k Lycée du Parc

14 3 Ensembles 3.1 Introduction Les ensembles peuvent être considérés comme les objets de base des mathématiques. Intuitivement, il faut comprendre qu un ensemble est caractérisé uniquement par ses éléments. La relation fondamentale est donc la relation d appartenance : x A signifie «x appartient à A» ou «x est un élément de A». Cette relation est primitive dans le sens qu il est impossible de la définir à partir de notions plus simples. Exemple On a 1 {0, 1, 3}, 2 {0, 1, 3} et {1} {0, 1, 3}. 2. L ensemble vide, noté, est l unique ensemble n ayant aucun élément. Définition 1.24 Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et l on note A B, si tout élément de A est aussi un élément de B. Autrement dit : A B x A, x B On dit que A est égal à B (et l on note A = B) si A et B ont exactement les mêmes éléments. Autrement dit : A = B ( x A, x B) et ( x B, x A) s Si A est inclus dans B, on dit aussi que A est une partie de B. Intuitivement, une inclusion ensembliste correspond à une implication. Montrer que A B, c est montrer que «pour tout x», x A x B. De même, une égalité ensembliste correspond à une équivalence. Montrer que A = B, c est montrer que «pour tout x», x A x B. De même qu on montre habituellement une équivalence en montrant successivement une implication et sa réciproque, la méthode classique pour montrer une égalité d ensemble et de procéder par double inclusion (montrer A B puis B A). Exemple 1.29 On a N Z Q R C. Pour tout ensemble A, on a A A et A. On a {0, 1} {0, 1, 3} mais {0, 2} {0, 1, 3}. Dans un ensemble, les répétitions et l ordre sont ignorés. Ainsi, {0, 1, 3} = {3, 1, 0} = {0, 0, 1, 3}. Pour définir un ensemble, il n est pas toujours possible de donner la «liste» de tous ses éléments (par exemple si l ensemble est infini). On peut aussi utiliser : la compréhension : à partir d un ensemble E et d une proposition P (x), on forme l ensemble {x E, P (x)} (ensemble des x E tels que P (x)) ; Exemple : {x R, x 2 2} =], 2] [ 2, + [ la substitution : par exemple en définissant A = {(x, x + 1), x R}. Dans ce cas, on aura ( 4, 3) A, (π, π + 1) A mais (2, 0) A. 3.2 Ensemble des parties d un ensemble Définition 1.25 Soit E un ensemble. On dit qu un ensemble A est une partie de E si A E. On note P(E) l ensemble des parties de E. Lycée du Parc

15 s P(E) est un ensemble d ensembles. Pour tout ensemble A, on a A P(E) A E. Comme E (quel que soit l ensemble E), l ensemble vide est toujours un élément de P(E). De même, on a toujours E E, donc E P(E). Exemple 1.30 Si A = {0, π}, alors P(A) = {, {0}, {π}, {0, π}}. Attention, π et {π} sont deux objets différents : le premier est un nombre réel, le deuxième un ensemble à un élément (singleton). Dans notre exemple, on a {π} P(A) mais π P(A). 3.3 Opérations sur les ensembles Définition 1.26 A, B et I désignent des ensembles. La réunion de A et B est notée A B. Par exemple, {0, 1} {0, 4, 5} = {0, 1, 4, 5} L intersection de A et B est notée A B. «pour tout x», x A B x A ou x B «pour tout x», x A B x A et x B Par exemple, {0, 1} {0, 4, 5} = {0} Le complémentaire de A dans B est noté B \ A (on lit souvent «B privé de A»). B \ A = {x B, x A} Par exemple, on a {0, 1, 2} \ {1, 4} = {0, 2}. Lorsque tous les ensembles considérés sont des parties d un même ensemble E, et qu il n y a pas d ambiguïté possible, on note souvent A au lieu de E \ A. Si l on dispose d un ensemble A i pour chaque i I, on peut prendre l union des A i pour i I : «pour tout x», x i I A i i I, x A i De même pour l intersection des A i pour i I : «pour tout x», x i I A i i I, x A i On a défini plus haut le produit cartésien A B de deux ensembles. A B = {(x, y), x A et y B} Si A 1,..., A n sont des ensembles, on définit de même On notera A n pour A A. } {{ } n fois A 1 A 2 A n = {(x 1,..., x n ), i 1, n, x i A i } Lycée du Parc

16 Exemple 1.31 On a ]n, n + 1[= R \ Z et n Z [n, + [=. n N Proposition 1.27 Soient E un ensemble et A, B, C P(E). On a : A B = A B et A B = A B A = A A B A et A A B A B = B A et A B = B A A (B C) = (A B) C et A (B C) = (A B) C De Morgan double négation associativité Exercice 1.32 Soient E un ensemble et A, B, C P(E). 1. Montrer que A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 2. Montrer que A (B C) = (A B) (A C). 3. On suppose que B A. Montrer que A (B C) = B (A C) 4 Applications 4.1 Introduction Définition 1.28 Une application est définie par la donnée de : un ensemble A appelé ensemble de départ ; un ensemble B appelé ensemble d arrivée ; pour chaque élément x de A, un unique élément f(x) de B. On note alors f : A B s Dire que deux applications f : A B et g : C D sont égales, c est dire que : A = C (elles ont même ensemble de départ) ; B = D (elles ont même ensemble d arrivée) ; x A, f(x) = g(x) (on pourrait remplacer A par C ici puisqu ils sont égaux). Si f : A B et g : A B, on a donc f = g x A, f(x) = g(x) f g x A, f(x) g(x) On définira souvent une application en donnant explicitement une expression permettant de passer d un élément de l ensemble de départ à son image dans l ensemble d arrivé. Ainsi, f : [0, 1] R x 1 x2 désigne l application de [0, 1] dans R qui à tout x [0, 1] associe 1 x 2. Dans cette écriture, la variable x est muette. Pour vérifier qu un application f : E F x f(x) est bien définie, il faut vérifier que f(x) a un sens pour tout x de E et que f(x) F pour tout x de E. Exercice 1.33 Montrer que f : [2, 4] [ 5, 0[ x x+3 1 x est bien définie. Lycée du Parc

17 Définition 1.29 Si f, g : E R, on définit f g par f g x E, f(x) g(x) ; f + g par f + g : E R x f(x) + g(x) ; f g par f g : E R x f(x) g(x). On n utilise jamais la notation f < g, car son sens est a priori ambigu. Pourquoi? Définition 1.30 Soient f : E F et g : F G. La composée de f par g est l application g f : E G x g(f(x)). Attention, la composition n est pas commutative. Même si g f et f g existent toutes les deux (c est-à-dire si E = G), elles n ont aucune raison d être égales. Exercice 1.34 Dans chacun des cas suivants, déterminer si g f et f g existent, et, le cas échéant, déterminer si elles sont égales. f : R R x 1 x et g : R R x 1 x 2 f : R + R x x et g : R R + x x 2 f : R R x x 2 et g : R R x x + 1 Définition 1.31 Si E est un ensemble, on appelle identité de E l application Id E : E E x x. Id R est donc la fonction dont la courbe représentative est la première bissectrice (i.e. la droite d équation y = x). Proposition 1.32 Soit f : E F. On a Id F f = f Id E = f Proposition 1.33 Soient f : E F, g : F G, et h : G H. On a h (g f) = (h g) f. On dit que la composition est associative et l on écrira donc simplement h g f. Définition 1.34 Soit f : e F et A E. On appelle restriction de f à A l application f A : A F x f(x). Lycée du Parc

18 Exemple 1.35 Soit f : R R x x et g = Id R. On a f R+ coïncident sur R +. = g R+. Dans ce cas, on dit parfois que f et g 4.2 Image directe et réciproque Définition 1.35 Soit f : E F. Si A est une partie de E, l image directe de A par f est l ensemble f(a) = {y F, x A, y = f(x)} = {f(x), x A}. Si B est une partie de F, l image réciproque de B par f est l ensemble f 1 (B) = {x E, f(x) B}. Si f : E F et si y F, f 1 ({y}) est l ensemble des antécédents de y par f (qui peut être vide). Exercice 1.36 Soit f : R R x x 2. Déterminer f([ 2; 3[) et f 1 (] 1; 4]). Exercice 1.37 Soient f : E F, A et A des parties de E, B et B des parties de F. 1. Montrer que f 1 (B B ) = f 1 (B) f 1 (B ). 2. a. Montrer que f (A A ) f(a) f(a ). b. Montrer que l autre inclusion n est pas forcément vérifiée (on pourra prendre f : R R x x 2 et chercher A et A tels que A A = et f(a) f(a ) ). 4.3 Injections et surjections Définition 1.36 Soit f : E F. f est dite injective si x, y E, f(x) = f(y) x = y. s f est injective ssi x, x E, x x f(x) f(x ). f est injective ssi tout élément de F a au plus un antécédent par f. f est injective ssi, pour tout y F, l équation y = f(x) d inconnue x E a au plus une solution. Exemple 1.38 L application f : N N n n 2 n est pas injective, car f(4) = f(5) = 2. L application g : N { 1, 1} N n ( ( 1) n, n 2 ) est injective. Proposition 1.37 Si A R, toute application strictement monotone de A dans R est injective. Exercice 1.39 Soit f : R R x x 3 + 2x 2 + x + 1, g : R R x x 2 et ϕ : R R 2 x (f(x), g(x)). 1. f et g sont-elles injectives? 2. Trouver un α R tel que f + αg soit strictement croissante. Lycée du Parc

19 3. En déduire que ϕ est injective. Définition 1.38 Soit f : E F. f est dite surjective si y F x E, y = f(x). s f est surjective ssi f(e) = F. f est surjective ssi tout élément de F a au moins un antécédent par f. f est surjective ssi, pour tout y F, l équation y = f(x) d inconnue x E a au moins une solution. Exemple 1.40 L application : R R x x n est pas surjective car 2 n a aucun antécédent par cette application. 4.4 Bijections Définition 1.39 Soit f : E F. f est dite bijective si y F!x E, y = f(x). s f est bijective ssi elle est injective et surjective. f est bijective ssi tout élément de F a exactement un antécédent par f. f est bijective ssi, pour tout y F, l équation y = f(x) d inconnue x E a exactement une solution. Exercice 1.41 Soient f : R R + x x 2, g : R + R x x 2 et h : R + R + x x 2. Pour chacune de ces fonctions, déterminer si elle est injective, si elle est surjective et si elle est bijective. Définition 1.40 Soit f : E F bijective, on appelle application réciproque de f l application f 1 : F E y l unique antécédent de y par f Attention à ne pas confondre avec l image réciproque. Si f : E F et si y F, f 1 ({y}) existe toujours (c est l ensemble, éventuellement vide, des antécédents de y par f). En revanche, f 1 (y) n a aucun sens si f n est pas bijective. Proposition 1.41 Soit f : E F bijective. On a f f 1 = Id F et f 1 f = Id E. Proposition 1.42 Soient f : E F et g : F E. Si g f = Id E et f g = Id F, alors : Lycée du Parc

20 f et g sont bijectives. g = f 1 et f = g 1 Attention, il faut absolument les deux égalités. Exemple 1.42 Aucune des deux applications f : R R 2 x (x, x) et g : R 2 R (x, y) x n est bijective, et pourtant g f = Id R. Exemple 1.43 Exercice 1.44 Les applications R + R + x x 2 et R + R + x x sont réciproques l une de l autre. De même pour les applications R R + x e x et R + R x ln x. Soit f : ], 3] [1; + [ x x 2 6x Montrer que f est bien définie, qu elle est bijective, et déterminer son application réciproque. Proposition 1.43 Soient f : E F et g : F G. Si f et g sont injectives, alors g f est injective. Si f et g sont surjectives, alors g f est surjective. Si f et g sont bijectives, alors g f est bijective. Les implications réciproques sont fausses, comme le montre l exemple Se reporter à l exercice 1.61 pour voir ce qu il est possible d affirmer. Proposition 1.44 Soient E, F et G trois ensembles. Id E est bijective et Id 1 E = Id E. Si f : E F est bijective, alors f 1 aussi et ( f 1) 1 = f. Si f : E F et g : F G sont bijectives, alors (g f) 1 = f 1 g Fonctions indicatrices Définition 1.45 Soient E un ensemble et A une partie de E. La fonction indicatrice de A est l application 1 A : E R{ 1 si x A x 0 si x A On a donc 1 1 A ({1}) = A et 1 1 A ({0}) = E \ A. Lycée du Parc

21 Proposition 1.46 Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. On a 1 A = 1 B A = B Exemple 1.45 Soient f : R R x x 2, g : R R x 2x + 1 et ϕ : R R x On a ϕ = 1 ] ;3] f + 1 ]3;+ [ g. Exercice 1.46 Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. Exprimer 1 A, 1 A B et 1 A B en fonction de 1 A et de 1 B. { f(x) si x 3 g(x) si x > 3. Lycée du Parc

22 Travaux dirigés Logique Exercice 1.47 On considère une fonction f définie sur R. Exprimer à l aide de quantificateurs les propositions suivantes. 1. f est croissante sur R. 2. f est strictement décroissante sur R. 3. f admet sur R un maximum égal à 2 qui est atteint en f n est pas strictement décroissante sur R. 5. L image d un entier pair par f est un entier impair. Exercice 1.48 On considère une fonction f définie sur R et les propositions suivantes : x, y R, x y f(x) f(y) (1) x, y R, x y f(x) < f(y) (2) x, y R, x < y f(x) f(y) (3) x, y R, x < y f(x) < f(y) (4) x, y R, f(x) f(y) x y (5) 1. Lesquelles de ces propositions sont-elles nécessairement vraies si f est supposée croissante? On fournira suivant les cas une démonstration ou un contre-exemple. 2. Même question si f est supposée strictement croissante. Exercice 1.49 Épiménide 1. Un Crétois dit : «Tous les crétois sont des menteurs». Cette affirmation est-elle paradoxale? 2. Un apatride dit : «Cette phrase est fausse». Cette affirmation est-elle paradoxale? Suites et récurrence Exercice 1.50 Surcharge de l hypothèse de récurrence 1. On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u 2 n + u n 1. Montrer que la suite u est bien définie. 2. On considère la suite (v n ) n N définie par u 0 = 1 2 et n N, v n+1 = v n v 2 n. Montrer que la suite v est à termes positifs ( i.e. que n N, v n 0). Exercice 1.51 On va montrer par récurrence sur n que dans un pot contenant n crayons, si l un des crayons est vert, alors tous les crayons sont verts. Initialisation : la propriété est vraie pour n = 1. Hérédité : supposons la propriété vraie au rang n et montrons la au rang n + 1. On se donne un pot contenant n + 1 crayons et on suppose que l un d entre eux est vert. Alignons les crayons en mettant le vert en première position. En appliquant l hypothèse de récurrence aux n premiers crayons, on en déduit qu ils sont tous verts. En particulier, le n-ème crayon est vert et l on peut donc également appliquer l hypothèse de récurrence aux Lycée du Parc

23 crayons numérotés 2 à n + 1, et en déduire qu ils sont tous verts. Finalement, les n + 1 crayons sont verts, ce qui prouve l hérédité. Qu en pensez-vous? Sommes et produits Exercice 1.52 Calculer les sommes et produits suivants (lorsqu ils ont un sens). 1. a. 2. a. 3. a. k= 2 k=0 π b. 3 k( ) n k b. i + j b. 1 i n 1 j n (k k!) c. k=0 ( n k) k=2 1 i n 1 j n c. i j c. k=2 k=0 ln ( 1 1 k 2 ) k 2( ) n k pq 1 p<q n Exercice 1.53 Soit n N Trouver des réels a, b et c tels que pour tout x > 0, on ait : x(x+1)(x+2) = a x + b x+1 + c x En déduire la valeur de n Exercice k(k+1)(k+2). 1. Montrer que n N, n! n k! (n + 1)!. k=0 2. Montrer que n 2, n! n k! n! ( 1 + n) 2. k=0 Équations et inéquations Exercice 1.55 Résoudre les équations suivantes, d inconnue x R. 1. ln(x 2 ) 2 ln x = 0 2. x2 3x 1 + x = 0 3. e x/2 (1 e x ) = 3e x 4. x + 4 x + 2 = 1 Exercice 1.56 Discuter suivant les valeurs de m R le nombre de solutions de l équation e 2x 2(m+1)e x +1 = 0, d inconnue x R. Exercice 1.57 Résoudre les inéquations suivantes, d inconnue x R. 1. x + 1 2x + 5 < 0 2. x 4 3x Lycée du Parc

24 Ensembles et applications Exercice 1.58 Soit f : R 2 R (x, y) xy. 1. f est-elle injective? surjective? bijective? 2. Déterminer f(r + R ) et f 1 ({0}). Exercice 1.59 Pour chacune des applications suivantes, déterminer si elle est injective, surjective, bijective, et, le cas échéant, déterminer son application réciproque. 1. f : R 2 R 2 (x, y) (y, x) 2. g : R 2 R 2 (x, y) (2x + y, 5x + 2y) 3. h : R 2 R 2 (x, y) (x + y, xy) Exercice On considère l application f : R R x 1 x2 1+x 2. f est-elle injective? surjective? 2. On considère l application g : R + ] 1, 1] x 1 x2 1+x 2. Montrer que g est bijective, et déterminer sa bijection réciproque. Exercice 1.61 Soient f : E F et g : F G. Montrer que : 1. g f injective f injective ; 2. g f surjective g surjective ; 3. g f bijective f injective et g surjective. Lycée du Parc

25 Exercice 1.62 Études On se donne un réel a > 0 et on définit la suite (u n ) n N par : u 0 = a et n N, u n+1 = u n + 3 3u n + 1. On définit également les suites (v n ) n N et (w n ) n N par : { v n+1 = v n + 3w n v 0 = a et w 0 = 1 et n N, w n+1 = 3v n + w n 1. Montrer que pour tout n N, u n est bien défini et u n > Montrer que pour tout n N, on a v n > 0 et w n > Montrer que pour tout n N, u n = vn w n. 4. On pose pour tout n N, t n = v n + w n et z n = v n w n. Montrer que les suites (t n ) n N et (z n ) n N sont géométriques, et en donner la raison. 5. Exprimer, pour tout n N, u n en fonction de n. Exercice 1.63 Suite récurrente double On considère la suite u définie par u 0 = 1, u 1 = 2 et n N, u n+2 = u n u n Montrer par une récurrence double que la suite u est bien définie et à termes strictement positifs. 2. Pour tout n N, on pose v n = ln u n. Exercice 1.64 a. Pour n N, donner une relation liant v n+2, v n+1 et v n. b. En déduire par une récurrence double que c. Exprimer u n en fonction de n. Pour tous n, p N, on définit n N, v n = 2 ln 2 3 S n,p = k p ( ( 1 1 ) n ) 2 Sommes de Newton Le but de l exercice est de trouver une méthode permettant de calculer S n,p et l on n utilisera donc pas les résultats du cours sur les sommes de Newton (sauf pour vérifier les résultats obtenus). 1. En effectuant le changement d indice k = n+1 k, retrouver la valeur de S n,1 pour n N. 2. On veut calculer S n,2 grâce à la formule trouvée pour S n,1. a. À l aide d un changement d indice, exprimer n (k + 1) 3 en fonction de S n,3. b. En développant (k + 1) 3, exprimer n (k + 1) 3 en fonction de S n,3, S n,2 et S n,1. c. Conclure. Lycée du Parc

26 3. En utilisant la même méthode, montrer que ( n, p N, S n,p = 1 p 1 ( ) p + 1 (n + 1) p+1 1 )S n,i p + 1 i 4. En déduire S n,3. Exercice 1.65 On considère l application 1. f est-elle injective? i=0 f : R 2 R 2 (x, y) (x 2 + y 2, x 2 y 2 ) 2. On pose A = {(a, b) R 2, a b }. Montrer que f(r 2 ) A. 3. On considère l application g : R R + A (x, y) (x 2 + y 2, x 2 y 2 ) Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Lycée du Parc

27 Exercices supplémentaires Exercice 1.66 On définit (u n ) n N par u 0 = 4 et n N, u n+1 = u n + n Pour n N, exprimer u n en fonction de n (il n est pas nécessaire de factoriser le résultat). Exercice 1.67 Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que { A B A C A B A C B C Exercice 1.68 Soit n N. Montrer que 2 ( 1) k+1 k = 1 n + k Exercice 1.69 Soit n N. Montrer que n n (n + k) = 2 n (2k 1) Exercice 1.70 Soient E un ensemble et f : E E telle que f f f = f. Montrer que f est surjective si et seulement si elle est bijective. Exercice 1.71 On considère la fonction f est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 1.72 f : N Z{ n n 2 si n est pair n+1 2 si n impair On définit (u n ) n N par u 0 = a R et n N, u n+1 = u n Montrer que n N, u n Montrer que n N, 0 u n Soit n 0 tel que 0 u n0 1. Montrer que n n 0, u n+2 = u n. Exercice 1.73 Lycée du Parc

28 1. On définit (u n ) n N par u 0 = 10 et n N, u n+1 = u n + n. Déterminer l expression de u n pour n N. 2. On définit u par u 1 = a R et n N, u n+1 = 1 n u k. Déterminer l expression de u n pour n N. Exercice 1.74 Soit f : E F. 1. Montrer que f injective ssi A, A P(E), f(a) = f(a ) A = A. 2. Montrer que f bijective ssi B, B P(F ), f 1 (B) = f 1 (B ) B = B. Exercice 1.75 Soient f : E F, A E et B F. 1. Montrer que A f 1 (f(a)) et que f(f 1 (B)) B. 2. Montrer que les inclusions inverses ne sont pas nécessairement vérifiées. 3. Montrer que ( A P(E), f 1 (f(a)) A ) f injective. 4. Montrer que ( B P(F ), B f(f 1 (B)) ) f injective. Exercice 1.76 Pour tout entier naturel n, on pose S n = (n 1) n Démontrer que l on a S n = 1 n(n 1)(n + 1) 3 Exercice 1.77 Résoudre dans N l équation 2 n (n + 2) 2, d inconnue n. Exercice 1.78 Soit x > 1, x 0. Démontrer par récurrence sur n que n 2, (1 + x) n > 1 + nx. Exercice 1.79 Soient E un ensemble non vide, et A et B des parties de E. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que les applications suivantes soient injectives, puis surjectives : f A : P (E) P (E) X A X ; g A : P (E) P (E) X A X ; ϕ A,B : P (E) (P (E)) 2 X (A X, B X) ; ψ A,B : P (E) (P (E)) 2 X (A X, B X). Exercice Soient f : E F et g 1, g 2 : F G. On suppose g 1 f = g 2 f. a. On suppose f surjective. Montrer que g 1 = g 2. b. Donner un contre-exemple dans le cas où f n est pas surjective. Lycée du Parc

29 2. Soient f 1, f 2 : E F et g : F G. On suppose g f 1 = g f 2. a. On suppose g injective. Montrer que f 1 = f 2. b. Donner un contre-exemple dans le cas où g n est pas injective. Lycée du Parc