Fonctions linéaires, proportionnalité

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1 Fonctions linéaires, proportionnalité C H A P I T R E 11 Énigme du chapitre. On considère un repère d origine O et les points M (resp. N) de coordonnées (17; 11811) (resp (33; 30039)). Est-ce que les points M et N sont des points de la courbe représentative d une fonction linéaire? Si oui, quel est son coefficient directeur? Objectifs du chapitre. Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Déterminer l expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Construire et utiliser la relation y = ax entre les coordonnées d un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x 7! ax. Lire et interpréter graphiquement le coefficient d une fonction linéaire représentée par une droite.

2 I/ Fonction linéaire Activité A. Fonction linéaire 1. Sur un site de téléchargement, une minute de musique au format MP3 coûte 0;30 e. (a) Combien paie-t-on pour dix minutes? (b) Combien paie-t-on pour une heure? (c) Combien paie-t-on pour x minutes?. Déterminer la fonction f qui, à un nombre x de minutes, associe le prix à payer. 3. On appelle fonction linéaire une fonction de la forme f : x 7! ax, avec a un nombre donné. Le nombre a est le coefficient de la fonctin linéaire. f est-elle une fonction linéaire? Si oui, quel est son coefficient. 4. On donne trois fonctions : g : x 7! x h : x 7! 3x j : x 7! 1 x Quels sont celles qui sont linéaires? Si oui, en donner le coefficient. Définition a est un nombre donné. On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax. En notant f une telle fonction, on peut la schématiser de la manière suivante : x f ax et on note f : x 7! ax. Ainsi, pour déterminer l image de x par f, notée f (x), on multiplie x par a. On peut donc écrire f (x) = ax. Exemples f : x 7! 5x est une fonction linéaire de coefficient a = 5. g : x 7! x est une fonction linéaire de coefficient a = 1. h : x 7! 5x + n est pas une fonction linéaire. i : x 7! x n est pas une fonction linéaire. Faire les exercices 1 3 F

3 II/ Fonction linéaire et proportionnalité Activité B. Proportionnalité et fonction linéaire 1. Soit g la fonction linéaire définie par g : x 7! 3x. (a) Quel est le coefficient de la fonction g? (b) Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction g. x g(x) (c) Est-ce un tableau de proportionnalité? Si oui, donner un coefficient de proportionnalité de ce tableau.. On donne un tableau de valeurs d une fonction h. x h(x) 0;5 0;5 0 0;5 0;5 (a) Est-ce un tableau de proportionnalité? Si oui, donner un coefficient de proportionnalité de ce tableau. (b) La fonction h peut-elle être une fonction linéaire? Si oui, quel serait son coefficient? Propriété Un tableau de valeurs d une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de la fonction est un coefficient de proportionnalité de ce tableau. Exemple Soit f la fonction linéaire définie par f : x 7! 5x. Ce tableau de valeurs de la fonction f est un tableau de proportionnalité. x 4 3 ; ;5 3 4;1 f (x) ; ; ;5 Ce tableau a pour coefficient de proportionnalité 5, ce qui correspond au coefficient de la fonction f. Faire les exercices F 8 F 9 F

4 III/ Fonction linéaire et augmentation Activité C. De l eau qui gèle 1. Quand l eau gèle, son volume augmente de 8% environ. (a) Recopier et compléter le tableau suivant : Volume d eau (en cm 3 ) Augmentation de volume (en cm 3 ) 1;6 Volume de glace (en cm 3 ) 1;6 (b) Par quel nombre doit-on multiplier le volume d eau pour obtenir le volume de glace? (c) Soit f la fonction qui, à x cm 3 d eau, associe le volume f (x) de glace correspondant. Exprimer f (x) en fonction de x. La fonction f est-elle linéaire? Si oui, préciser son coefficient.. Une quantité x augmente de a%. Exprimer en fonction de a et de x la nouvelle quantité. La fonction qui associe, à une quantité x, la nouvelle quantité, est-elle linéaire? Si oui, préciser son coefficient. Propriétés Soit a un nombre positif. Une augmentation de a% est représentée par la fonction linéaire f : x 7! ( ) a x. Une diminution de a% est représentée par la fonction linéaire g : x 7! ( 1 Exemples Augmenter un prix P de 5%, c est le multiplier par ( ) Diminuer une masse M de 8%, c est la multiplier par ( 1 0;9M. Faire les exercices F a 100) x. = 1;05. Soit, f : P 7! 1;05P. ) = 0;9. Soit, g : M 7! 8 100

5 IV/ Représentation graphique d une fonction linéaire Activité D. Représentation graphique d une fonction linéaire 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction linéaire h, définie par h : x 7! 1;5x. x h(x). (a) Recopier sur votre cahier, le repère suivant : (b) Dans le repère, placer les points de coordonnées (x; h(x)) du tableau précédent. 4 (c) Comment semble être la représentation graphique de la fonction h? Était-ce prévisible? Expliquer. Propriété Dans un repère, la représentation graphique d une fonction linéaire f : x 7! ax est une droite passant par l origine du repère. Définition Le nombre a est appelé le coefficient directeur de cette droite. Exemples On considère la représentation graphiques des deux fonctions f et g :

6 4 (d g ) (d f ) La droite (d f ) est la représentation graphique de la fonction f : x 7! x. La droite (d f ) 1 passe par l origine du repère et son coefficient directeur est. La droite (d g ) est la représentation graphique de la fonction g : x 7! x. La droite (d g ) passe par l origine du repère et son coefficient directeur est. Faire les exercices F 18 F 19 F Problèmes : Faire les exercices 0 F 1 F F 3 F