Propagation d un signal

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1 Propagation d un signal Eerie 1 : Relation entre fréquene et longueur d onde 1) Caluler la longueur d onde de l onde életromagnétique qui eiste dans un four miro- onde sahant que sa fréquene est 𝑓 2,45 GHz et que la élérité des ondes életromagnétiques est 3, 1 m s Justifier alors l appellation de four miro- onde 2) La vitesse du son dans l air dépend de la température de l air selon la formule : 𝛾𝑅𝑇 𝑀" où 𝑅 8,314 J K mol est la onstante des gaz parfaits, 𝛾 1,4 est un fateur aratéristique de l air et 𝑀" 29 g mol est la masse molaire de l air Caluler la fréquene d un son de longueur d onde 𝜆 78 m lorsque la température de l air vaut 𝑇 29 K, puis lorsqu elle vaut 𝑇 3 K 3) Le rayon laser utilisé à l observatoire du CERGA à Grasse pour mesurer la distane Terre- Lune est obtenu par doublage de fréquene à partir d un laser de longueur d onde 𝜆 1,64 µμm Quelle est la longueur d onde 𝜆 de la lumière envoyée vers la lune? Quelle est sa ouleur? Corretion : 1) On utilise la relation liant la fréquene et la longueur d onde : 𝜆,122 𝑚 𝑓 Contrairement à e que l on pourrait penser, les fours miro- ondes n ont pas une longueur d onde de l ordre du miromètre 2) On utilise la relation liant la fréquene et la longueur d onde : 𝑓 𝜆 𝛾𝑅𝑇 𝑓 437 𝐻𝑧 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇 29 𝐾 𝑓 𝜆 𝑀" 445 𝐻𝑧 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇 3 𝐾 La variation relative de fréquene entre les deu températures est : 𝑓 𝑓 1,7% 𝑓 La variation de température entraîne don un hangement de hauteur de la note plus faible qu un demi- ton 3) On alule tout d abord la fréquene assoiée à 𝜆 : 𝑓 2,82 1" 𝐻𝑧 𝜆 Il y a ensuite doublage de fréquene, est- à- dire qu on multiplie par 2 la fréquene de sortie (proessus non linéaire) : 𝑓 2𝑓 5,64 1" 𝐻𝑧

2 On alule enfin la longueur d onde assoiée à ette fréquene : La ouleur résultante est verte λ f 532 nm Eerie 2 : Propagation d un ébranlement le long d une orde On onsidère une orde horizontale, parallèle à l ae (O), soumise à une onde progressive unidimensionnelle se propageant, à la élérité, selon l ae des roissants 1) Rappeler le modèle de l onde progressive unidimensionnelle Qu est e que e modèle suppose sur le milieu de propagation? On suppose qu à l instant initial, on applique une perturbation en A l instant t 5 s, le profil de la orde à l allure suivante : s(,t ) 2) Sahant que 1 m, déterminer la élérité de l onde 3) Représenter, en le justifiant, le profil de la orde à l instant t 25 s 4) Représenter, en le justifiant, l évolution temporelle de l altitude du point d absisse 4 m Corretion : 1) Une onde progressive unidimensionnelle est une onde qui se propage sans atténuation, ni déformation, à la vitesse onstante, appelée vitesse de propagation ou élérité de l onde, dans une unique diretion de l espae Ce modèle suppose don que le milieu de propagation est non dispersif et non absorbant 2) La élérité de l onde vaut : àl instant t t,2 m s 3) Le profil de la orde sera le même que elui de l énoné, mais ave un maimum situé en : t 5 m 4) Le profil de la orde sera le même que elui de l énoné, mais ave un maimum situé en : t 2 s

3 Eerie 3 : Ondes progressives sinusoïdales On onsidère l onde progressive sinusoïdale assoiée au signal : 𝑠, 𝑡 5 sin 2,4 1 𝜋𝑡 7,𝜋 +,7𝜋 où 𝑡 et sont respetivement eprimés en seondes et en mètres 1) Donner la période, la fréquene, la pulsation, la longueur d onde et le veteur d onde de ette onde 2) En déduire la élérité de l onde Une onde progressive sinusoïdale se propage dans la diretion de l ae (𝑂) dans le sens des roissants ave la élérité L epression du signal de l onde au point d absisse est : P ROPAGATION D UN SIGNAL ondes 𝑠, 𝑡 𝐴 os 𝜔𝑡 3) Déterminer l epression de 𝑠, 𝑡 4) Représenter 𝑠, en fontion de ur d onde est la distane entre deu rêtes onséutives le long de l ae (O), entres de deu zones laires On mesure sur la figure 2,1 m pour 7λ, l éhelle Corretion : 2, 1 ongueur d onde1)eston λ i 5 1,5 m dentifie l7 epression donnée à ette d une onde progressive harmonique se propageant dans la e l ae dans m s le s1 ens : de l onde est λdiretion f 1, 5d2 18(𝑂),27 des roissants "" 𝜋 l onde se propage dans le sens𝑠de, (O) s(,t) 2πsinf 2𝜋𝑓𝑡 t 𝑘; + 𝜑 + 𝑡 𝐴don os 𝜔𝑡 𝑘+A𝜑os 𝐴 2 "" e se propage dans le sens inverse de l ae (O) : s(,t) 𝑓 Aos 2π 𝐻𝑧 f t+ 1,2 1 𝑠 mer les deu epressions en : 𝑇 8,3 1 𝑘 22 𝑚 $$ 𝜆,29 𝑚 s(,t) A os 2π f t 2) Pour déterminer la élérité, on utilise la relation liant la fréquene et la longueur d onde : 𝜆 sur 𝜆𝑓 es,27 𝑚 e n est pas onstante pare que l énergie de l onde se 𝑓répartit erles𝑠 de en plus grand Des en dehors programme permettent 3) onsidérations L onde se propageant dans ldu e sens des roissants ave ld établir a élérité, on a : tante 𝑠, 𝑡 𝑠, 𝑡 rogressive sinusoïdale 𝑠, 𝑡 𝐴: os 𝑘 3 Hz Lon 8,314 s, pulsation : ω 7, 5E3rads1, fréquene f 𝜔𝑡 1, 2,1 4) On td onde rae 𝑠,: k : 22radm1, nombre d onde : σ 3,5 m1 : λ,29 m, veteur 𝑠, 𝐴 os 𝑘 propagation est : λ f 348 m s1 𝑠, 𝑡 𝐴 os 𝜔𝑡 𝜔 propageant ave la élérité dans le sens ), on a : (1,t s1 (, ) 1 ) A os (ω t k + k1), ω Pour traer s(,t ) on remarque est maimal en 1 à t propageant ave la élérité dans le sens ), on a : ) s2 (,t + ) A sin(ω t + k) t en quadrature avane sur s2 (,t) et 1 s2 λ,t 2 $ s2 λ,t 4 $ t

4 Eerie 4 : Train d ondes Une onde se propage dans la diretion de l ae 𝑂, dans le sens des roissants ave la élérité La soure, située en, émet un train d onde, est- à- dire une osillation de durée limitée 𝜏 : si 𝑡 < 2𝜋𝑡 𝑠, 𝑡 sin si 𝑡 < 𝜏 𝑇 si 𝑡 𝜏 1) Eprimer 𝑠, 𝑡 pour positif quelonque 2) Représenter 𝑠, 𝑡 𝜏/2 et 𝑠, 𝑡 3𝜏/2 en fontion de pour > On prendra 𝜏 4𝑇 pour le dessin Quelle est la longueur du train d ondes dans l espae? Corretion : 1) On sait que : si > 𝑡 2𝜋𝑡 2𝜋 si 𝑡 𝜏 < 𝑡 𝑠, 𝑡 sin 𝑇 𝑇 si 𝑡 𝜏 A PPROFONDIR 2) On a alors les allures de ourbes suivantes : 6 Trains d ondes s(,t) s(,t) s(,t /), don : si > t % 2π t 2π & (,t) sin si (t τ ) < t T T si (t τ ) longueur du train d onde dans l espae est : L τ Corrigés Eeries 𝑠, 𝑡 𝑠, 𝑡 t τ /2 τ /2 L t 3τ /2 τ /2 3τ /2 Sur le graphe de s(,t) onstatedque les'osillations ne sont plus visibles en gros à partir La on longueur u train d onde t ( dans l espae est : 3 t 6τ Plus préisément, pour t > 6τ, ep < ep(6) 2, 51 don l amplitude τ 𝐿 𝜏 1 osillation est inférieure à de sa valeur initiale Cei justifie le fait de onsidérer que la 4 rée du train d onde est 6τ Dans e as la longueur du train d onde dans l espae est 6τ, mme on peut Eerie le voir sur la 5 partie droited deoppler la figure i-dessous : Effet s(,t) s(, 6τ ) Un émetteur se déplae à une vitesse onstante 𝑣 selon la diretion 𝑂 et émet une onde sonore qui se déplae ave une élérité 34 m s Cette onde est reçue par un réepteur immobile 1) En imaginant que l émetteur émet un bip à intervalle 𝑇 régulier, quel est l intervalle 𝑇 entre deu bips reçus par l émetteur? t 2) Si l on onsidère que le signal émis est un signal sinusoïdal à 44 Hz, émis par un amion de 6τ T 6τ 7 Propagation d un signal périodique

5 pompier se déplaçant à 7 km/h, quelle est la fréquene reçue? Ce résultat dépend- il du sens dans lequel le amion se déplae? 3) Que se passe- t- il si v >? Corretion : 1) Deu émissions de bips sont séparées d un intervalle de temps T Entre les deu émissions, l émetteur aura parouru une distane supplémentaire d vt que l onde sonore devra parourir à la vitesse Cela lui prendra don un temps supplémentaire (en admettant que l émetteur se déplae en sens inverse de l émission) d/ Ainsi, l intervalle de temps T qui sépare deu réeptions sera : T T + d T T + vt T 1 + v T 2) On se sert de la relation entre période et fréquene : f 1 T 1 f f 1 + v 1 + v T 416 Hz si v > 467 Hz si v < 3) Si v >, on se déplae plus vite que l onde que l on émet : on franhit le mur du son