PC - Cinématique des fluides

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1 PC - Cinématique des fluides Les lois de la mécanique des fluides sont complexes. Une analyse aérodynamique d un système mécanique réel (voiture, aile d avion...) donne souvent lieu à des simulations numériques et nécessite souvent des séries de mesures en soufflerie. Figure 1 Simulation :Champ de pression et lignes de courant simulés sur une voiture en mouvement Objectif du chapitre : Décrire le mouvement d un fluide, sans s intéresser aux causes du mouvement. 1 Descriptions d un fluide en mouvement 1.1 Particule fluide 1

2 PC - Cinématique des fluides 2 On associe à une particule fluide un vecteur vitesse afin de caractériser son évolution. Il existe deux manières de décrire l ensemble du fluide : 1.2 Description lagrangienne A t=0, on découpe le fluide en un ensemble de particules fluides et on suit l évolution des vecteurs vitesses de chacune des particules fluides au cours du temps. (on dit qu on suit l évolution du champ lagrangien de vitesse) Le système étudié (la particule fluide) étant un système fermé, on peut lui appliquer les lois de la dynamique. 1.3 Description eulerienne A chaque instant t, on découpe le fluide en particules fluides En chaque point M du fluide on définit le vecteur vitesse correspondant à la particule fluide qui passe en M à l instant t. On obtient ainsi un champ eulerien de vecteurs vitesses v (M,t). On définit alors à chaque instant des lignes de courants correspondant aux lignes de champ de vitesse. Les lignes de courants sont tangentes en chaque point M au vecteur v (M,t) La description eulerienne est donc plus adaptée à l étude d une fluide en mouvement (dans un référentiel d étude donné). On pourra de la même manière décrire le fluide par des champs euleriens de pression p(m,t) ou de masse volumique µ(m,t). Néanmoins, la particule fluide présente en M change à chaque instant. Le vecteur v (M,t) en un point M quelconque ne décrit donc pas le mouvement d une unique particule fluide. Cela implique quelques difficultés si on souhaite appliquer les lois de la dynamique pour étudier l écoulement du fluide. 2 Premiers écoulements remarquables 2.1 Ecoulement stationnaire Un écoulement est stationnaire si tous les champs euleriens qui décriventle fluide sont Dans le cas d un écoulement stationnaire Le caractère stationnaire dépend Ecoulement incompressible Définition Soit dm la masse d une particule fluide occupant un volume dτ. La masse volumique de la particule fluide est définie par : µ(m,t) = dm dτ

3 PC - Cinématique des fluides 3 Attention : écoulement incompressible fluide incompressible fluide incompressible = coefficient de compressibilité isotherme nul (χ T = 0) Un liquide est généralement un bon fluide incompressible. L écoulement d un liquide peut généralement être modélisé par un écoulement incompressible. De l air qui s écoule dans une conduite cylindrique en régime stationnaire. Les particules fluides ont un volume constant au cours du temps. L écoulement est incompressible alors que le fluide (air) est un fluide compressible Dérivée particulaire de la masse volumique Dans le cas d un écoulement compressible une particule fluide peut avoir sa masse volumique qui varie au cours du temps. On considère une particule fluide située en M à l instant puis en M +dm à l instant t+dt. Pour exprimer la variation de la masse volumique de la particule fluide on considère la grandeur : Expression intrinsèque de la dérivée particulaire de la masse volumique : le terme µ rend compte de la variation temporelle en M du champ eulerien de masse volumique. Il traduit t localement l influence du temps. On l appelle le terme v ó gradµ rend compte de l influence du déplacement de la particule fluide sur le champ eulerien de masse volumique. On l appelle Un écoulement est incompressible si

4 3 Conservation de la masse et courants 3.1 Débit volumique et débit massique PC - Cinématique des fluides 4 On considère un fluide de masse volumique µ(m,t) décrit localement par un champ de vitesse v (M,t) traversant une section élémentaire caractérisée par ds = ds n. Figure 2 Débit à travers une surface Le débit volumique à travers la section S correspond au volume qui traverse la section S par unité de temps. Le volume de fluide qui traverse un élément de section ds entre t et t+dt s exprime : Le débit volumique à travers une section macroscopique S s exprime donc comme le flux de v : Les particules fluides ayant un volume à priori variable au cours de leur mouvement au sein du fluide on s intéresse plus souvent au débit massique qui correspond à la masse qui traverse la section S par unité de temps. On note j m (M,t) = µ(m,t) v (M,t) le vecteur Le débit volumique à travers une section macroscopique S s exprime donc comme le flux de j m : 3.2 Equation locale de conservation de la masse On considère le cas particulier de l écoulement unidirectionnel d un fluide de masse volumique µ(x, t) dans une conduite cylindrique d axe Ox et de section ds. La vitesse de l écoulement vaut v (x,t) = v(x,t) e x. On réalise le bilan de matière traversant un élément de volume dτ situé entre les abscisses x et x+dx durant dt.

5 PC - Cinématique des fluides 5 Figure 3 Bilan de matière On reconnait un cas particulier d une équation locale de conservation de la forme : 3.3 Cas des écoulements stationnaires Que devient l équation locale de conservation de la masse dans le cas d un écoulement stationnaire? A l aide du théorème de Green Ostrogradski, justifier que dans ces conditions j m est à flux conservatif.

6 PC - Cinématique des fluides 6 En régime stationnaire, Figure 4 Conservation du débit massique en régime stationnaire 3.4 Cas des écoulements incompressibles Or par définition d un écoulement incompressible,... donc : Interprétation intégrale de div v A l aide du théorème de Green Ostrogradski, justifier que dans ces conditions v est à flux conservatif. En régime stationnaire,

7 Interprétation locale de div v PC - Cinématique des fluides 7 On considère une particule fluide cubique de coté a se déplaçant dans avec une vitesse M,t = v 0 L x e x On observe d évolution de la particule entre deux instant t et t+dt infiniment proches. Figure 5 Coupe de la particule fluide selon le plan xoy Exprimer div v. L écoulement est-il compressible? Représenter la coupe de particule fluide dans le plan xoy en t+dt et exprimer dv la variation de volume de la particule durant dt En déduire une relation entre div v et dv. Commenter. 4 Accélération d une particule fluide 4.1 Expression Dans l objectif de pouvoir appliquer les lois de la dynamique à une particule fluide, on souhaite exprimer l accélération d une particule au cours du temps. A nouveau, comme pour la masse volumique, le champ de vecteurs vitesse utilisé pour décrire le fluide est un champ eulerien, hors l accélération d une particule correspond à une description lagrangienne du fluide. Afin d exprimer l accélération d une particule de fluide, à l aide d un champ de vecteurs eulerien, on utilise à nouveau la notion de dérivée particulaire.

8 PC - Cinématique des fluides 8 Le champ considéré est cette fois-ci un champ vectoriel. On considère alors une base cartésienne (0,x,y,z) telle que ( M,t) = vx (M,t) e x +v y (M,t) e y +v z (M,t) e z Les vecteurs unitaires étant constant, on a alors : Pour chaque composante on peut reprendre le résultat obtenu avec la masse volumique : Expression intrinsèque de la dérivée particulaire du champ de vecteurs vitesse : L accélération d une particule fluide est donc la somme de deux termes : 4.2 Ecoulment rotationnel, vecteur trourbillon La seconde expression de la dévirée convective fait apparaitre l opérateur rotationnel. Quel phénomène physique traduit cet opérateur? Onconsidèreànouveauuneparticulefluidecubiquedecotéasedéplaçantdansavecunevitesse M,t = αy e x αx e y On observe d évolution de la particule entre deux instant t et t+dt infiniment proches.

9 PC - Cinématique des fluides 9 Figure 6 Coupe de la particule fluide selon le plan xoy Exprimer div v. L écoulement est-il compressible? Représenter la coupe de particule fluide dans le plan xoy en t+dt. On définit le vecteur tourbillon par : Justifier ce choix de définition 1 Ω = rot v Ecoulements irrotationnels et potentiel des vitesses A l aide du théorème de Stokes, montrer que pour un écoulement irrotationnel en tout point, le champ de vecteurs vitesse est à circulation conservative. Montrer que pour un écoulement irrotationnel, le champ de vecteurs vitesse s exprime comme le gradient d un potentiel des vitesses.