DÉTERMINANTS I. Déterminant d une matrice carrée

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1 DÉTERMINANTS I Déterminant d une matrice carrée a Définition Proposition admise) et définition Il existe une unique application f : M n IK) IK vérifiant les trois propriétés suivantes : 1): fi n ) = 1 ; 2): f est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable ; 3): f est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable Cette application f est appelée déterminant, et on note deta) = fa) La propriété 3) signifie que, si une matrice A M n IK) est obtenue à partir d une matrice A M n IK) par un échange de deux colonnes codage C i C j avec i j), alors deta ) = deta) La propriété 2) signifie que, si la j-ème colonne C j de A M n IK) se décompose en C j = αc j + βc j avec α et β scalaires et C j M n,1 IK), C j M n,1 IK), alors deta) = α deta ) + β deta ), où A et A sont les matrices de M n IK) obtenues à partir de A en remplaçant la j-ème colonne respectivement par le vecteur-colonne C j et par le vecteur-colonne C j Exemple Voici une illustration de cette propriété de multilinéarité, ici plus précisément de la linéarité du déterminant par rapport à la première colonne de la matrice: αu + βv y z αu + βv y z αu + βv y z = α u y z u y z u y z + β v y z v y z v y z a 1,1 a 1,n a 1,1 a 1,n Le déterminant d une matrice A = est noté deta) = a n,1 a n,n a n,1 a n,n ) a1,1 a Pour n = 2, si A = 1,2 M a 2,1 a 2 IK), on a deta) = a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 2,2 Pour n = 3, si A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3, on a la formule a 3,1 a 3,2 a 3,3 deta) = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 3,1 a 2,2 a 1,3 a 3,2 a 2,3 a 1,1 a 3,3 a 2,1 a 1,2, que l on peut retrouver par la disposition suivante : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,1 a 1,2 deta) = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,1 a 3,2 que l on appelle règle de Sarrus Attention! La règle de Sarrus est la pire des méthodes de calcul de déterminants dans la mesure où: - elle conduit à une expression du déterminant sous forme développée et non factorisée ; - elle ne se généralise pas aux dimensions supérieures à 3 On l utilisera donc le moins possible!!

2 b Déterminant et opérations de pivot Proposition Le déterminant d une matrice carrée ayant deux colonnes égales est nul Proposition Soient A M n IK) et λ IK, alors detλa) = λ n deta) Attention! Il n y a rien de particulier à dire sur deta + B)!! Des propriétés de définition, on déduit l effet des opérations de pivot en colonnes sur un déterminant: - l opération C i C j avec i j échange de deux colonnes) change le déterminant en son opposé, c est la propriété 3) de la définition ; - l opération C j λc j multiplication d une colonne par un scalaire) multiplie la valeur du déterminant par le scalaire λ, c est la linéarité par rapport à la j-ème colonne ; - l opération C i C i + λc j avec i j ajout à une colonne d un multiple d une autre) ne modifie pas la valeur du déterminant On en déduit notamment que, si A M n IK) n est pas inversible, alors deta) = 0 Proposition Le déterminant d une matrice triangulaire supérieure ou inférieure) est le produit de ses coefficients diagonaux D abord, si un des coefficients diagonaux est nul, alors les colonnes de la matrice sont liées et il est possible d annuler une colonne par des opérations élémentaires sur les colonnes, donc le déterminant est nul Si les coefficients diagonaux sont tous non nuls, on peut tranformer A en la matrice-unité I n par des opérations élémentaires sur les colonnes ; il suffit alors, à chaque opération effectuée, de regarder l effet produit sur le déterminant Proposition Une matrice et sa transposée ont le même déterminant : si A M n IK), on a deta T ) = deta) On en déduit que le déterminant d une matrice carrée est aussi linéaire par rapport à chaque ligne de la matrice, il est antisymétrique par rapport aux lignes de la matrice Enfin, les opérations élémentaires sur les lignes produisent les mêmes effets sur le déterminant que les opérations élémentaires sur les colonnes Ces opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes) permettent de mener à bien le calcul de nombreux déterminants classiques On aura toujours à l esprit le fait qu il est beaucoup plus intéressant de donner un résultat sous forme factorisée que sous forme développée! On privilégiera donc les opérations qui conduisent à des factorisations a b) Exemple 1 Calculer le déterminant D n =, en commençant par b) a n) remarquer que la somme des coefficients est la même sur chaque ligne ou colonne)

3 a + b b + c c + a Exemple 2 Démontrer l égalité a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 a 3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 = 2abc a b c a 2 b 2 c 2 Exemple 3 Calculer le déterminant de la matrice A = a i,j ) M n IR), avec a i,j = i j On pourra commencer par effectuer les opérations C j C j C j 1 pour j de 2 à n c Propriétés fondamentales du déterminant Proposition Une matrice carrée A M n IK) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul Proposition Si A et B sont deux matrices carrées d ordre n, on a la relation fondamentale detab) = det A) det B) Conséquence Si A GL n IK), alors deta 1 1 ) = deta) Conséquence Deux matrices semblables ont le même déterminant : A M n IK) P GL n IK) detp 1 AP ) = deta) Le déterminant est donc un invariant de similitude d Développement par rapport à une ligne ou une colonne Définition Soit A = a i,j ) une matrice carrée d ordre n Pour tout couple i, j) [[1, n]] 2, on appelle cofacteur d indices i, j) de la matrice A le scalaire c i,j = 1) i+j deta i,j), où A i,j est la matrice carrée d ordre n 1 obtenue à partir de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne Remarque On dit parfois que A i,j est une matrice extraite de la matrice A, et que son déterminant deta i,j) est le mineur d indices i, j) de la matrice A On a alors les relations suivantes : Formule du développement par rapport à la i-ème ligne : si on fixe un indice de ligne i [[1, n]], on a deta) = a i,j c i,j De la même façon: j=1 Formule du développement par rapport à la j-ème colonne : si on fixe un indice de colonne j [[1, n]], on a deta) = a i,j c i,j i=1 Conseil pratique Avant de développer un déterminant par rapport à une ligne ou colonne), on commencera par faire des opérations élémentaires pour annuler beaucoup de coefficients de cette ligne ou colonne) Comme il est souhaitable de présenter un résultat

4 final sous une forme factorisée, la situation idéale est de développer par rapport à une ligne ou colonne) dont tous les coefficients sauf un sont nuls 1 n n n 2 Exemple 1 Calculer D n = en commençant par les opérations n 1 n n n n n) C j C j C j 1 pour j de 2 à n Exemple 2 En admettant ou en démontrant) la formule k 2 nn + 1)2n + 1) =, 6 k=1 calculer le déterminant 1 n 1 1 0) n 2 D n = 0) n 1 n Exemple 3 La formule du développement par rapport à une ligne ou une colonne permet des calculs de déterminants par récurrence sur la taille du tableau Calculer par exemple le déterminant tridiagonal 5 2 0) D n = 2 2 0) 2 5 Exercice Soient n 2 fonctions a i,j : IR IR, avec 1 i n et 1 j n Pour tout réel x, a 1,1 x) a 1,n x) posons fx) = det Ax) = a n,1 x) a n,n x) a On suppose que chaque fonction a i,j est polynomiale, montrer alors que la fonction f est polynomiale b On suppose que chaque fonction a i,j est continue sur IR, montrer alors que la fonction f est continue sur IR n) n)

5 II Déterminant d une famille de vecteurs dans une base Définitions et notations Soit E un IK-espace vectoriel de dimension n, soit B = e 1,, e n ) une base de E Soit X = x 1,, x n ) une famille de n vecteurs de E, on peut noter X E n Soit A = a i,j ) M n IK) la matrice de la famille de vecteurs X relativement à la base B, on note parfois A = Mat B X ), elle est construite en disposant sur la j-ème colonne les coordonnées du vecteur x j dans la base B, autrement dit C j A) = Mat B x j ) pour tout j [[1, n]], soit encore x j = a i,j e i pour tout j Le déterminant de cette matrice carrée A i=1 est alors appelé déterminant de la famille de vecteurs X relativement à la base B On le note det B X ) Ainsi, det B X ) = det B x 1,, x n ) = deta) = det Mat B X ) ) = det Mat B x 1,, x n ) ) Remarque Comme Mat B B) = I n, on a det B B) = 1 Attention! Dans un ev de dimension n, on ne pourra parler de déterminant que pour une famille de n vecteurs : en effet, la notion de déterminant d une matrice est limitée aux matrices carrées On prendra garde aussi au fait que la valeur du déterminant dépend de la base choisie dans E En prenant les choses dans l autre sens, si A est une matrice carrée d ordre n, on peut dire que son déterminant est le déterminant de la famille de ses vecteurs-colonnes relativement à la base canonique B 0 de IK n Comme deta) = deta T ), c est aussi le déterminant de la famille de ses vecteurs-lignes relativement à la base canonique : A M n IK) deta) = det B0 C1 A),, C n A) ) = det B0 L1 A),, L n A) ) Des propriétés des déterminants de matrices carrées, on déduit les résultats suivants : Proposition Soit B une base d un IK-espace vectoriel E de dimension n, alors l application det B : E n IK ; x 1,, x n ) det B x 1,, x n ) est multilinéaire c est-à-dire linéaire par rapport à chaque variable) et antisymétrique l échange de deux vecteurs change le résultat en son opposé) Proposition Le déterminant d une famille de vecteurs X = x 1,, x n ) : - est changé en son opposé si l on échange deux vecteurs x i et x j i j) ; - est inchangé si l on ajoute à l un des vecteurs x j un multiple d un autre x i avec i j), ou plus généralement une combinaison linéaire des autres ; - est multiplié par λ si l on multiplie l un des vecteurs x i par le scalaire λ Caractérisation des bases Soit E un ev de dimension n rapporté à une base B, soit X = x 1,, x n ) une famille de n vecteurs de E Alors la famille X est une base de E si et seulement si det B X ) 0 Calculs d aires et de volumes Dans un espace vectoriel sur IR de dimension deux, le déterminant d une famille libre de deux vecteurs x 1 et x 2 relativement à une base

6 B = e 1, e 2 ) représente l aire algébrique du parallélogramme construit sur les vecteurs x 1 et x 2, l aire unité étant celle du parallélogramme construit sur e 1 et e 2, et le signe étant positif ou négatif suivant que les bases e 1, e 2 ) et x 1, x 2 ) soient de même sens ou non Dans un espace vectoriel réel de dimension trois, le déterminant d une famille libre de trois vecteurs x 1, x 2 et x 3 relativement à une base B = e 1, e 2, e 3 ) représente le volume algébrique du parallélépipède ou pavé) construit sur les vecteurs x 1, x 2 et x 3, le volume unité étant celui du pavé construit sur e 1, e 2 et e 3, et le signe étant positif ou négatif suivant que les bases e 1, e 2, e 3 ) et x 1, x 2, x 3 ) aient la même orientation ou non III Déterminant d un endomorphisme Définitions et notations Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension finie Les matrices carrées d ordre n représentant l endomorphisme u dans une base de E sont toutes semblables entre elles, et ont donc le même déterminant, que l on appelle alors déterminant de l endomorphisme u, et que l on note detu) On a ainsi detu) = det Mat B u) ), où B est une quelconque base de E Proposition Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B, soit u un endomorphisme de E, soit X = x 1,, x n ) E n une famille de n vecteurs de E On a alors la relation det B ux1 ),, ux n ) ) = det u) det B x 1,, x n ), que l on peut écrire det B ux ) ) = det u) detb X ) Interprétation Le déterminant d un endomorphisme u est donc le coefficient multiplicateur qui s applique au déterminant d une famille de n vecteurs lorsqu on leur applique u Ainsi, dans un plan vectoriel sur IR, si un endomorphisme u a pour déterminant le réel D, alors u multiplie les aires algébriques) par le coefficient D Dans un IR-espace vectoriel de dimension trois, un endomorphisme u de déterminant D multiplie les volumes algébriques par D Propriétés fondamentales Des propriétés des déterminants de matrices carrées, on déduit que : - si u et v sont deux endomorphismes d un IK-espace vectoriel de dimension finie, on a detu v) = det u) det v) - un endomorphisme u d un ev E de dimension finie est bijectif ie est un automorphisme) si et seulement si detu) 0, et dans ce cas on a detu 1 ) = 1 detu) On pourra noter aussi que detλu) = λ n detu), avec n = dime)