Traitement du Signal

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1 Traitement du Signal Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.fr Cours Traitement du Signal, p. 1/94

2 Bibliographie J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de traitement du signal, Dunod, 5 me édition, Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability, Random Variable and Stochastic Processes, McGraw Hill Higher Education, 4th edition, Cours Traitement du Signal, p. 2/94

3 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de R x (τ) et de s x (f) Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 3/94

4 Transformée de Fourier Définitions Formule directe X(f) = R x(t)exp( j2πft)dt Formule inverse Hypothèses TF sur L 1 ou L 2 x(t) = R X(f)exp(j2πft)df Cours Traitement du Signal, p. 4/94

5 Propriétés Linéarité TF[ax(t)+by(t)] = ax(f)+by(f) Parité x(t) réelle paire X(f) réelle paire Translation et Modulation TF[x(t t 0 )] = exp( j2πft 0 )X(f) TF[x(t)exp(j2πf 0 t)] = X(f f 0 ) Similitude TF[x(at)] = 1 a X ( ) f a Cours Traitement du Signal, p. 5/94

6 Propriétés Produits de Convolution TF[x(t) y(t)] = X(f)Y(f) TF[x(t)y(t)] = X(f) Y(f) Égalite de Parseval x(t)y (t)dt = R R X(f)Y (f)df Conjugaison TF[x (t)] = X ( f) Cours Traitement du Signal, p. 6/94

7 Distributions Localisation x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ) Produit de Convolution x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ) Transformées de Fourier TF[δ(t)] = 1, TF[1] = δ(f) TF[δ(t t 0 )] = exp( j2πft 0 ), TF[exp(j2πf 0 t)] = δ(f f 0 ) Cours Traitement du Signal, p. 7/94

8 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de R x (τ) et de s x (f) Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 8/94

9 Classes de signaux déterministes et aléatoires Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie Classe 2 : signaux déterministes périodiques à puissance finie Classe 3 : signaux déterministes non périodiques à puissance finie Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires Cours Traitement du Signal, p. 9/94

10 Signaux déterministes à énergie finie Définition E = R x(t) 2 dt = R X(f) 2 df < Fonction d autocorrélation R x (τ) = x(t)x (t τ)dt = x(t),x(t τ) R Fonction d intercorrélation R xy (τ) = x(t)y (t τ)dt = x(t),y(t τ) R Produit scalaire x(t),y(t) = R x(t)y (t)dt Cours Traitement du Signal, p. 10/94

11 Densité spectrale d énergie Définition Propriété Preuve s x (f) = R = = s x (f) = TF[R x (τ)] s x (f) = X(f) 2 [ ] x(t)x (t τ)dt exp( j2πf τ)dτ R R R [ [ R R = X (f)x(f) ] x (t τ)exp( j2πfτ)dτ x(t)dt ] x (u)exp[j2πf(u t)]du x(t)dt Cours Traitement du Signal, p. 11/94

12 Exemple Fenêtre rectangulaire x(t) = Π T (t) = { 1 si T 2 < t < T 2 0 sinon Fonction d autocorrélation R x (τ) = TΛ T (τ) Densité spectrale d énergie s x (f) = T 2 sinc 2 (πtf) = X(f) 2 Cours Traitement du Signal, p. 12/94

13 Signaux déterministes périodiques Définition P = 1 T 0 T0 /2 T 0 /2 x(t) 2 dt < Fonction d autocorrélation R x (τ) = 1 T 0 T0 /2 T 0 /2 x(t)x (t τ)dt = x(t),x(t τ) Fonction d intercorrélation R xy (τ) = 1 T 0 T0 /2 T 0 /2 x(t)y (t τ)dt = x(t),y(t τ) Produit scalaire x(t),y(t) = 1 T 0 T0 /2 T 0 /2 x(t)y (t)dt Cours Traitement du Signal, p. 13/94

14 Densité spectrale de puissance Définition Propriété s x (f) = TF[R x (τ)] s x (f) = k Z c k 2 δ(f kf 0 ) avec x(t) = k Z c kexp(j2πkf 0 t). Preuve R x (τ) = k,l c k c l exp(j2πlf 0τ) [ 1 T 0 T0 /2 T 0 /2 exp[j2π(k l)f 0 t]dt ] = k c k 2 exp(j2πkf 0 τ) Cours Traitement du Signal, p. 14/94

15 Exemple Sinusoïde Fonction d autocorrélation x(t) = Acos(2πf 0 t) R x (τ) = A2 2 cos(2πf 0τ) Densité spectrale de puissance s x (f) = A2 4 [δ(f f 0)+δ(f +f 0 )] Cours Traitement du Signal, p. 15/94

16 Signaux déterministes à puissance finie Définition P = lim T 1 T Fonction d autocorrélation T/2 T/2 x(t) 2 dt < 1 R x (τ) = lim T T T/2 T/2 x(t)x (t τ)dt = x(t),x(t τ) Fonction d intercorrélation 1 R xy (τ) = lim T T T/2 T/2 x(t)y (t τ)dt = x(t),y(t τ) Produit scalaire 1 x(t),y(t) = lim T T T/2 T/2 x(t)y (t)dt Cours Traitement du Signal, p. 16/94

17 Densité spectrale de puissance Définition Propriété avec Exemple X T (f) = s x (f) = TF[R x (τ)] 1 s x (f) = lim T T X T(f) 2 T/2 T/2 x(t) exp( j2πf t)dt x(t) = A 1 cos(2πf 1 t)+a 2 cos(2πf 2 t) avec f 1 et f 2 non commensurables. Cours Traitement du Signal, p. 17/94

18 Signaux aléatoires stationnaires Définition Moyenne : E[x(t)] indépendant de t Moment d ordre 2 : E[x(t)x (t τ)] indépendant de t Fonction d autocorrélation R x (τ) = E[x(t)x (t τ)] = x(t),x(t τ) Fonction d intercorrélation E[x(t)y (t τ)] = x(t),y(t τ) Produit scalaire x(t),y(t) = E[x(t)y (t)] Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l ordre deux, tests de stationnarité. Cours Traitement du Signal, p. 18/94

19 Densité spectrale de puissance Puissance moyenne P = R x (0) = E [ x(t) 2] = R s x (f)df Densité spectrale de puissance Définition s x (f) = TF[R x (τ)] Propriété 1 [ s x (f) = lim T T E X T (f) 2] mais en général X(f) n existe pas! Cours Traitement du Signal, p. 19/94

20 Exemples Exemple 1 : Sinusoïde x(t) = Acos(2πf 0 t+θ) θ va uniforme sur [0,2π]. Fonction d autocorrélation R x (τ) = A2 2 cos(2πf 0τ) Densité spectrale de puissance s x (f) = A2 4 [δ(f f 0)+δ(f +f 0 )] Cours Traitement du Signal, p. 20/94

21 Exemples Exemple 2 : Bruit blanc Fonction d autocorrélation R x (τ) = N 0 2 δ(τ) Densité spectrale de puissance s x (f) = N 0 2 Cours Traitement du Signal, p. 21/94

22 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de R x (τ) et de s x (f) Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 22/94

23 Propriétés de R x (τ) Symétrie Hermitienne : R x( τ) = R x (τ) Valeur maximale : R x (τ) R x (0) Distance entre x(t) et x(t τ) : si x(t) est un signal réel d 2 [x(t),x(t τ)] = 2[R x (0) R x (τ)] Donc R x (τ) mesure le lien entre x(t) et x(t τ). Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des applications, on a R x (τ) = R 1 (τ)+r 2 (τ) où R 1 (τ) est une somme de fonctions périodiques et R 2 (τ) tend vers 0 lorsque τ. Cours Traitement du Signal, p. 23/94

24 Propriétés de s x (f) DSP réelle s x (f) R De plus, si x(t) signal réel, s x (f) réelle paire Positivité : s x (f) 0 Lien entre DSP et puissance/énergie P ou E = R x (0) = s x (f)df Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité des applications, on a s x (f) = s 1 (f)+s 2 (f), où s 1 (f) est un spectre de raies et s 2 (f) un spectre continu (cas général : partie singulière). R Cours Traitement du Signal, p. 24/94

25 Que faut-il savoir? Reconnaître si un signal est à énergie finie, à puissance finie périodique, à puissance finie non périodique ou aléatoire. Les différentes définitions d une fonction d autocorrélation R x (τ) La définition unifiée d une densité spectrale : s x (f) =? Les différentes définitions d une densité spectrale Ce qu est un bruit blanc Ce qu est un bruit gaussien Propriétés de R x (τ) Propriétés de s x (f) Cours Traitement du Signal, p. 25/94

26 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences Exemples Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 26/94

27 Introduction On cherche une opération avec les propriétés suivantes Linéarité : T [a 1 x 1 (t)+a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)]+a 2 T [x 2 (t)] Invariance dans le temps Si y(t) = T [x(t)] alors T [x(t t 0 )] = y(t t 0 ) Stabilité BIBO Si x(t) M x alors il existe M y tel que y(t) = T [x(t)] M y Limitation du spectre d un signal Convolution y(t) = x(t) h(t) = R x(u)h(t u)du = h(t) x(t) Cours Traitement du Signal, p. 27/94

28 Commentaires La linéarité ne suffit pas. Contre-exemple y(t) = m(t)x(t) CNS de Stabilité BIBO h(t) dt <,i.e.,h L 1 R Réponse impulsionnelle et Transmittance H(f) = TF[h(t)] = h(t) exp( j2πf t)dt Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d obtenir la seule réponse impulsionnelle possible. R Cours Traitement du Signal, p. 28/94

29 Réalisabilité d un filtre Domaine temporel (1) h(t) réelle (2) h(t) L 1 (stabilité) (3) h(t) causale (filtre sans mémoire) Domaine spectral (1) Symétrie hermitienne : H ( f) = H(f) (2) ne peut se traduire (3) H(f) = j H(f), où H(f) = H(f) 1 πf est la transformée de Hilbert de H (preuve dans le cours manuscrit). Cours Traitement du Signal, p. 29/94

30 Écriture équivalente En écrivant H(f) = H r (f)+jh i (f), on obtient H r (f) =H i (f) 1 πf H i (f) = H r (f) 1 πf Cours Traitement du Signal, p. 30/94

31 Identifier une relation de filtrage linéaire Signaux déterministes y(t) = x(t) h(t) Y(f) = X(f)H(f) Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale Si x(t) I e j2πft, alors y(t) I e j2πft H(f) Exemples y(t) = n k=1 a kx(t t k ) y(t) = x (t) y(t) = x(t)m(t) Cours Traitement du Signal, p. 31/94

32 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences Exemples Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 32/94

33 Relations de Wiener Lee Densité spectrale de puissance s y (f) = s x (f) H(f) 2 Intercorrélation R yx (τ) = R x (τ) h(τ) Autocorrélation R y (τ) = R x (τ) h(τ) h ( τ) Cours Traitement du Signal, p. 33/94

34 Preuves (signaux à énergie finie) Densité spectrale de puissance s y (f) = Y(f) 2 = X(f)H(f) 2 = s x (f) H(f) 2 Intercorrélation R yx (τ) = y(u)x (u τ)du R = Y(f) [ e j2πfτ X(f) ] df R = X(f)H(f) [ e j2πfτ X (f) ] df R = s x (f)h(f)e j2πfτ df = TF 1 [s x (f)h(f)] CQFD R Cours Traitement du Signal, p. 34/94

35 Preuve (signaux à puissance finie) Intercorrélation R yx (τ) = 1 T0 /2 T 0 etc... T 0 /2 = 1 T 0 T0 /2 = = R R T 0 /2 h(v) [ y(t)x (t τ)dt [ ] h(v)x(t v)dv x (t τ)dt 1 R T0 /2 T 0 T 0 /2 h(v)r x (τ v)dv CQFD ] x(t v)x (t τ)dt dv Cours Traitement du Signal, p. 35/94

36 Preuves (signaux aléatoires) Intercorrélation R yx (τ) =E[y(t)x (t τ)] = y(t),x(t τ) = e j2πft H(f),e j2πf(t τ) = e j2πft H(f)e j2πf(t τ) s X (f)df R = H(f)e j2πfτ s X (f)df R = h(τ) R x (τ) CQFD Cours Traitement du Signal, p. 36/94

37 Preuves (signaux aléatoires) Autocorrélation R y (τ) =E[y(t)y (t τ)] = y(t),y(t τ) = e j2πft H(f),e j2πf(t τ) H(f) = e j2πft H(f)e j2πf(t τ) H (f)s x (f)df R = H(f) 2 s x (f)e j2πfτ df R =TF 1 {s x (f) H(f) 2 } = h(τ) h ( τ) R x (τ) CQFD Cours Traitement du Signal, p. 37/94

38 Preuves (signaux aléatoires) Autocorrélation R y (τ) = TF 1 {s x (f) H(f) 2 } Densité Spectrale de Puissance s y (f) = s x (f) H(f) 2 CQFD Cours Traitement du Signal, p. 38/94

39 Valeur moyenne Propriété E[Y(t)] = E[X(t)]H(0) Preuve [ ] E[Y(t)] =E X(t u)h(u)du R = E[X(t u)]h(u)du R =E[X(t)] R =E[X(t)]H(0) CQFD h(u)du (signal stationnaire) Cours Traitement du Signal, p. 39/94

40 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences Exemples Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 40/94

41 Formule des interférences Hypothèses y 1 (t) = x(t) h 1 (t) et y 2 (t) = x(t) h 2 (t) Conclusion Preuve R y1 y 2 (τ) = R s x (f)h 1 (f)h 2(f)e j2πfτ df R y1 y 2 (τ) = E[y 1 (t)y2(t τ)] = e j2πft H 1 (f)e j2πf(t τ) H2(f)s x (f)df R = H 1 (f)h2(f)e j2πfτ s x (f)df CQFD R Cours Traitement du Signal, p. 41/94

42 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences Exemples Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 42/94

43 Exemples Filtre Passe-bas Transmittance Réponse impulsionnelle H(f) = Π F (f) h(t) = F sinc(πft) non causale et / L 1 troncature + décalage Filtres liaisons montante et descendante d une chaîne de transmission Cours Traitement du Signal, p. 43/94

44 Que faut-il savoir? Reconnaître une relation de filtrage linéaire Densité spectrale de puissance de la sortie d un filtre Intercorrélation entre l entrée et la sortie d un filtre Moyenne de la sortie d un filtre Formule des interférences Réponse impulsionnelle causale et L 1, sinon... Cours Traitement du Signal, p. 44/94

45 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitution Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 45/94

46 Échantillonnage idéal Signaux à énergie finie Domaine temporel x e (t) = k Z x(kt e )δ(t kt e ) = x(t) k Zδ(t kt e ) Domaine Fréquentiel X e (f) = X(f) F e k Z δ(f kf e ) = F e k Z X(f kf e ) Périodisation du spectre Cours Traitement du Signal, p. 46/94

47 Commentaires Théorème de Shannon F e > 2f max Restitution X r (f) = 1 F e X e (f)π Fe (f) Interpolateur de Shannon x r (t) = k Zx(kT e )sinc[πf e (t kt e )] Généralisation x r (t) = k Zx(kT e )h(t kt e ) Cours Traitement du Signal, p. 47/94

48 Commentaires Fréquences normalisées F e > 2f max f = f F e 1 2 Repliement et filtre anti-repliement Généralisation : signaux déterministes à puissance finie Cours Traitement du Signal, p. 48/94

49 Échantillonnage d une sinusoïde Signal et spectre x(t) = Acos(2πf 0 t) X(f) = A 2 [δ(f f 0)+δ(f +f 0 )] Cas particulier Repliement F e = 2f 0 Filtre de restitution Π Fe (f) f 0 = 5kHz et F e = 100kHz f 0 = 5kHz et F e = 8kHz Cours Traitement du Signal, p. 49/94

50 Signaux aléatoires stationnaires Theorème de Shannon Si x(t) est un signal aléatoire stationnaire à bande limitée, i.e., s x (f) = 0 f > f max et que F e > 2f max alors x N (t) = N k= N x(kt e )sinc[πf e (t kt e )] MQ N x(t) Preuve voir livre de Papoulis page 378. Cours Traitement du Signal, p. 50/94

51 Signaux aléatoires stationnaires Autocorrélation R x (τ) = k ZR x (kt e )sinc[πf e (τ kt e )] Interpolateur de Shannon pour R x (τ) = TF 1 [s x (f)]. Densité spectrale de puissance Si on pose y(n) = x(nt e ) alors s y ( f ) = k Z R y (k)e j2πk f = F e k Z s x ( f k T e Périodisation de la densité spectrale de puissance ) Cours Traitement du Signal, p. 51/94

52 Preuve s y ( f ) = k Z R y (k)e j2πk f = y (k) k ZR = R e j2π ft [ R e j2π ft δ(t k)dt [ ] R x (kt e )δ(t k) k Z ] dt =TF R x (tt e ) k Zδ(t k) ( ) = 1 f s x T e T e k Zδ ( f k ) CQFD Cours Traitement du Signal, p. 52/94

53 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitution Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 53/94

54 Échantillonnage bloqueur Domaine temporel x b (t) = k Z x(kt e )π τ (t τ 2 kt e ) ( = x e (t) π τ t τ ) 2 Domaine spectral X b (f) = τ T e e jπτf sinc(πτf) k ZX(f kf e ) Spectre d ordre 0 X 0 (f) = τ e jπτf sinc(πτf)x(f) T e Conditions de restitution Cours Traitement du Signal, p. 54/94

55 Échantillonnage réel Échantillonnage moyenneur voir TD Échantillonnage à porte analogique... Exemples Téléphone f max = 3400Hz et F e = 8kHz Audio f max = 15kHz et F e = 44.1kHz Cours Traitement du Signal, p. 55/94

56 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitution Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 56/94

57 Restitution Filtrage passe bas Interpolation linéaire Filtre non causal H(f) = Π Fe (f) Bloqueur d ordre 0 Utilisé dans la quasi-totalité des applications Cours Traitement du Signal, p. 57/94

58 Que faut-il savoir? Echantillonnage = périodisation du spectre Théorème de Shannon pour les signaux déterministes et aléatoires Interpolateur de Shannon Filtre anti-repliement Fréquences normalisées Effets du repliement spectral Cours Traitement du Signal, p. 58/94

59 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur Quantification Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 59/94

60 Introduction Transformation sans mémoire y(t) = g[x(t)] Exemples Quadrateur Quantification y(t) = x 2 (t) y(t) = x Q (t) Cours Traitement du Signal, p. 60/94

61 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur Quantification Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 61/94

62 Quadrateur Signaux déterministes Y(f) = X(f) X(f) Exemples Sinusoïde : x(t) = Acos(2πf 0 t) Y(f) = A2 2 δ(f)+ A2 4 [δ(f 2f 0)+δ(f +2f 0 )] Disparition de la fréquence f 0 et apparition de la fréquence 2f 0 Somme de sinusoïdes : Termes d intermodulation Sinus cardinal : doublement de la largeur de bande Cours Traitement du Signal, p. 62/94

63 Quadrateur pour signaux aléatoires Théorème de Price Hypothèses (X 1,X 2 ) vecteur Gaussien de moyenne nulle Y 1 = g(x 1 ) et Y 2 = g(x 2 ) Conclusion E(Y 1 Y 2 ) E(X 1 X 2 ) = E Application au quadrateur ( ) Y1 Y 2 X 1 X 2 R Y (τ) = 2R 2 X (τ)+k Cours Traitement du Signal, p. 63/94

64 Remarques Loi Gaussienne bivariée p(x 1,x 2 ) = 1 2π Σ exp ( 1 2 xt Σ 1 x ) Stationnarité E[Y(t)Y(t τ)] = g(x 1 )g(x 2 )p(x 1,x 2 )dx 1 dx 2 avec x 1 = X(t), x 2 = X(t τ) et ( R X (0) R X (τ) Σ = R X (τ) R X (0) ) Cours Traitement du Signal, p. 64/94

65 Détermination de K Moments d une loi Gaussienne centrée E ( X 2n+1) = 0, E ( X 2n) = [(2n 1) (2n 3) ]σ 2n τ = 0 E [ Y 2 (t) ] = E [ X 4 (t) ] = 3RX 2 (0) = 2R2 X (0)+K Autocorrélation R Y (τ) = 2RX 2 (τ)+r2 X (0) Densité spectrale de puissance s Y (f) = 2s X (f) s X (f)+rx 2 (0)δ(f) Cours Traitement du Signal, p. 65/94

66 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur Quantification Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 66/94

67 Quantification Principe x Q (t) = i q i = x i et x i q i 2 x(t) x i + q i 2 Définitions Pas de quantification q i Quantification uniforme q i = q = 2A max N Niveaux de quantification: x i Nombre de bits de quantification N = 2 n Cours Traitement du Signal, p. 67/94

68 Erreur de quantification Hypothèse ǫ(t) suit la loi uniforme sur [ ] q 2, q 2, i.e., N 2 8 Rapport signal sur bruit de quantification ( ) σ 2 SNR db = 10log x 10 σǫ 2 Variance du bruit : σ 2 ǫ = ( q)2 12 Sinusoïde : σ 2 x = A2 2 Conclusion SNR db = 6n+1.76 Cours Traitement du Signal, p. 68/94

69 Remarques Généralisation à un signal Gaussien 2Sσ = N q SNR db = 6n+... Quantification non uniforme Cours Traitement du Signal, p. 69/94

70 Que faut-il savoir? Traitement non-linéaire = possibilité de créer de nouvelles fréquences Savoir appliquer le théorème de Price. Intérêt? Définition et propriétés de la quantification Savoir calculer le rapport signal sur bruit de quantification Cours Traitement du Signal, p. 70/94

71 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux files d attente Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 71/94

72 Processus de Poisson homogène Notations Instants : {t j } j Z Nombre d instants dans [t,t+τ[ : N(t,τ) Hypothèses Stationnarité (régime établi) : P n (τ) = P[N(t,τ) = n] est indépendante de t. Indépendance du passé et de l avenir (non embouteillage) : si [t,t+τ[ et [t,t +τ [ sont des intervalles disjoints, alors N(t,τ) et N(t,τ ) sont des va indépendantes. Non accumulation (non simultanéité des instants t i ) : si φ(τ) = P[N(t,τ) 2], alors φ(τ) τ 0 τ 0 Cours Traitement du Signal, p. 72/94

73 Conclusions Loi de N(t,τ) N(t,τ) suit une loi de Poisson de paramètre λ τ, où λ est le nombre moyen d instants dans un intervalle de largeur τ = 1. Loi des largeurs d intervalles : Si L n = t n+1 t n, alors {L n } n Z est une suite de va indépendantes de lois exponentielles de paramètre λ (utile pour la simulation) Loi des instants Si l intervalle [0,t[ contient n instants t 1,...,t n, alors chaque instant t i suit une loi uniforme sur [0,t[. Cours Traitement du Signal, p. 73/94

74 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux files d attente Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 74/94

75 Signal des télégraphistes Définition X(t) = A si t = 0 A si N(0,t) pair A si N(0,t) impair où A est uniforme sur { 1,+1}. Stationnarité Moyenne E[X(t)] = 2P [X(t) = 1] 1 = 0 Fonction d autocorrélation E[X(t)X(t τ)] = e 2λ τ, τ R Cours Traitement du Signal, p. 75/94

76 Signal des télégraphistes Densité spectrale de puissance s X (f) = λ λ 2 +π 2 f 2 Application Imagerie radar à synthèse d ouverture (Imagerie SAR) Cours Traitement du Signal, p. 76/94

77 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux Files d attente Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 77/94

78 Introduction aux Files d attente Hypothèses Un guichet Une file d attente Arrivée des clients décrite par un processus de Poisson de paramètre λ Temps de service T s E(µ) avec E(T s ) = 1/µ Conclusion (admise) Probabilité d avoir n clients dans le système à l instant t avec Q = λ/µ < 1. P [X(t) = n] = (1 Q)Q n, n N Cours Traitement du Signal, p. 78/94

79 Nombres moyens de clients Dans le système Dans la file d attente Résultat utile L = E[X(t)] = Q 1 Q L Q = E [ X Q (t) ] = Q2 1 Q n=1 nx n = x (1 x) 2, x < 1 Cours Traitement du Signal, p. 79/94

80 Temps de séjour moyen d un client C Dans le système W = E(T) = E[E(T A n )] = 1 µ(1 Q) où A n est l événement il y a n clients dans le système lorsque C y rentre. Dans la file d attente Formules de Little W Q = E ( T Q ) = E(T) 1 µ = Q µ(1 Q) L W = L Q W Q = λ Cours Traitement du Signal, p. 80/94

81 Que faut-il savoir? Signification de N(t,τ) pour un processus de Poisson homogène Loi de N(t,τ) pour un processus de Poisson homogène Comment déterminer la moyenne et la fonction d autocorrélation du signal des télégraphistes Cours Traitement du Signal, p. 81/94

82 Plan du cours Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, p. 82/94

83 Signaux des télécommunications Chaîne de transmission Échantillonnage et Quantification Codage Mise en forme modulation... Le signal NRZ : soit {A n } n Z une suite de va binaires indépendantes avec P[A n = 1] = 1 P[A n = 0] = p. Modèle 1 X(t) = A t Modèle 2 Y(t) = X(t+φ) = A t+φ Cours Traitement du Signal, p. 83/94

84 Signal NRZ (modèle 1) Moyenne E[X(t)] = E[A t ] = p Fonction d autocorrélation E[X(t)X(t τ)] dépend de t Exemple : t = 1 4,τ = 1 2 et t = 3 4,τ = 1 2. Cours Traitement du Signal, p. 84/94

85 Signal NRZ (modèle 2) Moyenne E[Y(t)] = p. Fonction d autocorrélation E[Y(t)Y(t τ)] = p 2 +(p p 2 )Λ 1 (τ) Cours Traitement du Signal, p. 85/94

86 Preuves Moyenne E[Y(t)] = E[A t+φ ] = E[ φ E[A t+φ φ]] = E[p] = p. CQFD Cours Traitement du Signal, p. 86/94

87 Preuves Fonction d autocorrélation E[Y(t)Y(t τ)] = E[A t+φ A t τ+φ ] = E[ φ E[A t+φ A t τ+φ φ]] = = = 1 0 t+1 t 1 0 E[A t+φ A t τ+φ ]dφ E[A u A u τ ]du E[A 0 A u τ ]du. Cours Traitement du Signal, p. 87/94

88 Preuves τ E[A 0 A u τ ]du = 1 0 = p 2. E[A 0 ]E[A u τ ]du 0 τ E[A 0 A u τ ]du = 1+τ 0 pdu+ 1 = p(1+τ) p 2 τ. 1+τ p 2 du Cours Traitement du Signal, p. 88/94

89 Signal NRZ (modèle 2) Moyenne E[Y(t)] = p. Fonction d autocorrélation E[Y(t)Y(t τ)] = p 2 +(p p 2 )Λ 1 (τ) Cours Traitement du Signal, p. 89/94

90 Généralisation X(t) = A t/t, Y(t) = X(t+φ) Moyenne E[Y(t)] = p. Fonction d autocorrélation E[Y(t)Y(t τ)] = p 2 +(p p 2 )Λ T (τ). Densité spectrale de puissance s Y (f) = p 2 δ(f)+(p p 2 )T sinc 2 (πtf) Bande passante : B = 2 T (si T ց, le débit ր et B ր) Cours Traitement du Signal, p. 90/94

91 Signal Biphase Formes d onde ( m 1 (t) = 2Π T/2 t T 4 ) 1, m 0 (t) = m 1 (t) Moyenne : E[X(t)] = 0 Fonction d autocorrélation E[X(t)X(t τ)] = R 1 (τ)+r 2 (τ) avec R 1 (τ) = k Z m(τ kt) périodique, R 2(τ) de support [ T,+T], et m(t) = 2(2p 1) 2 Λ T/2 (τ) (2p 1) 2 Π T (τ) Cours Traitement du Signal, p. 91/94

92 Signal Biphase Densité spectrale de puissance s X (f) = s 1 (f)+s 2 (f) avec s 1 (f) spectre de raies ( ) k s 1 (f) = T k ZM δ ( f k T ) et s 2 (f) spectre continu sin 4( ) πtf s 2 (f) = [1 (2p 1) 2 2 ] ( πtf 2 ) 2 Cours Traitement du Signal, p. 92/94

93 Remarques Fonction M M ( ) 2k M = 0 T ( ) 2k +1 = 4π (2p 1) 2 T 2 (2k +1) 2 pour k Z. récupération de l horloge Cours Traitement du Signal, p. 93/94

94 Remarques Fonction M M ( ) 2k M = 0 T ( ) 2k +1 = 4π (2p 1) 2 T 2 (2k +1) 2 pour k Z. récupération de l horloge Cours Traitement du Signal, p. 94/94