CHAPITRE 7 COUPLAGE DE DEGRES DE LIBERTE - SYMETRIE 1 COUPLAGE DE DEGRES DE LIBERTE. 1.1 Introduction.

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1 CHITRE 7 COULGE DE DEGRES DE LIERTE - SYMETRIE COULGE DE DEGRES DE LIERTE. Introduction. Il eiste de nombreu cas où on est amené à introduire, pour les besoins de la modélisation, des relations linéaires entre les déplacements nodau, relations qui viennent s ajouter ou se substituer au relations conventionnelles du sstème de base K q = F. Voici quelques cas classiques : - Lorsqu on souhaite modéliser grossièrement une liaison mécanique qui libère un déplacement entre deu parties d une même structure, on est amené à créer des nœuds coïncidents et à coupler certains de leurs degrés de liberté. u rticulation en v u 3 θ v 3 3 θ 3 D C Encastrement en et C Figure u v θ e 4 5 e e 3 u 5 v 5 θ 5 Dans l eemple de la figure, on considère une structure composée de deu poutres qui sont encastrées dans le bâti (en et C) et articulées entre elles en. La structure est globalement hperstatique, mais la rotation d une poutre par rapport à l autre en est cinématiquement possible et peut donc s opérer sans qu il ait apparition d un moment résistant. Dans le cadre d une modélisation simple, les poutres seront modélisées par des éléments poutres (D). Un raccordement direct de deu éléments e et e par un noeud associé au point serait équivalent à une liaison complète (poutres soudées) et ne représenterait pas correctement l articulation souhaitée. our modéliser l articulation, on devra créer deu nœuds coïncidents (qui occupent la même position dans l espace, celle du point, voir les nœuds et 3 sur la figure ). Le nœud sera connecté à l élément e alors que le nœud 3 sera connecté à l élément e. On déclarera ensuite que le nœud 3 est dépendant du nœud en ajoutant au modèle les deu relations de couplage suivantes : u3 = u et v3 = v Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age

2 Les deu nœuds seront contraints d avoir les mêmes translations et resteront donc coïncidents après déformation. ar contre les rotations θ et θ 3, qui n auront pas été couplées, se comporteront comme des variables indépendantes. Elles pourront prendre des valeurs différentes à l issue du calcul. Le fait que la section terminale de l élément e soit laissée libre de tourner par rapport à la section terminale de l élément e représentera bien la présence d une articulation. - Epression des conditions au limites dans une base différente de la base globale rête rête Figure Dans l eemple de la figure la smétrie du problème permet de ne considérer que le /8 de la structure (plaque carrée percée). La manière la plus simple d eprimer les conditions au limites qui doivent être mises en place pour obtenir un sous problème compatible avec le problème global initial (celui de la structure complète) est la suivante : v = 0 pour les nœuds de l arête, où v est le déplacement selon dans la base globale v = 0 pour les nœuds de l arête, où v est le déplacement selon dans la base locale que l on associe naturellement à l arête. près changement de base, cette dernière relation deviendra : u = v pour les nœuds de l arête, où u et v sont les déplacements selon et dans la base globale Mais il aura aussi une relation équivalente entre les composantes des réactions au appuis : Y= - X pour les nœuds de l arête, où X et Y sont les composantes d effort selon et dans la base globale. - Modélisation d éléments rigides (indéformables) Figure 3 Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age

3 Dans l eemple de la figure 3 on souhaite modéliser un fond de clindre supportant une charge dans l ae, cette partie de la structure étant considérée comme très rigide par rapport au autres parties (dont le maillage n est pas représenté sur la figure). our ce faire, l utilisation d éléments D (tpe poutre) auquels on confèrerait des raideurs très importantes par rapport à celles des autres parties conduirait à un mauvais conditionnement de la matrice de raideur de la structure complète et provoquerait des problèmes numériques au moment de la résolution (inversion de la matrice K). On préfèrera mettre en place des éléments dits «éléments rigides» implicitement considérés comme des éléments indéformables. u moment de la construction du sstème d équations à résoudre, chaque élément rigide donnera lieu à la mise en place de relations linéaires spécifiques eprimant que les déplacements des deu nœuds d etrémité de l élément sont ceu d un corps rigide. Les méthodes numériques mises en œuvre pour la résolution des problèmes au éléments finis doivent savoir tenir compte de la présence éventuelle de ces relations additionnelles. De plus, dans le cas où les relations proviennent des conditions au limites, il n est plus possible d etraire directement du sstème total obtenu un sous-sstème ne mettant en jeu que les inconnues de déplacement car le couplage des déplacements introduit aussi un couplage des inconnues d efforts (réactions au appuis). Différentes techniques ont été développées pour faire face à ces cas. Nous n aborderons ici que la méthode dite «d élimination des degrés de liberté dépendants». Elle présente l avantage, par rapport à d autres, de réduire la taille du sstème à résoudre.. Méthode par élimination des degrés de liberté dépendants. On eploite les m relations mises en place entre les degrés de liberté pour passer du vecteur q de rang n à un vecteur q de rang n-m. q = R q' () où q est appelé le vecteur des déplacements nodau indépendants et R la matrice de réduction. On a alors : n q q q n = n R n-m q' q' n-m n-m () T T T q = q' R (3) T T V = q K q q F (4) T T T T V = q' R K R q' q' R F (5) Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 3

4 avec : T T V = q' K' q' q' F' (6) T K' = R K R matrice (n-m)*(n-m) (7) T F' = R F vecteur (n-m) (8) Le vecteur q qui minimise V est le vecteur tel que : K' q' = F' (9) Le sstème (9) à résoudre est du même tpe que le sstème conventionnel, mais la matrice et les vecteurs à considérer sont différents. près résolution, connaissant le vecteur q des déplacements nodau indépendants, on peut calculer le vecteur q à l aide de la relation (3). SYMETRIE / NTISYMETRIE Il est très courant en mécanique qu une structure possède un plan de smétrie, voire même plusieurs. Considérons par eemple la structure de la figure 4 dont la géométrie admet le plan de smétrie = (O). O Figure 4. Cas d un chargement smétrique. Supposons que cette structure est soumise à un chargement qui, lui aussi, est smétrique par rapport à : voir figure 5. Le problème est alors complètement smétrique par rapport à. Il peut être remplacé par un problème ne portant que sur la moitié de la structure, moennant la mise en place de conditions au limites adaptées au niveau du plan de smétrie pour reproduire l effet de la smétrie : voir figure 6. Il est toujours intéressant d eploiter ce tpe de propriété. Lorsque les structures étudiées sont complees et occasionnent la mise en œuvre d un modèle de taille importante (nombre de degré de liberté très élevé), c est très avantageu de diviser par deu la taille du problème en traitant le cas de la demi-structure. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 4

5 - Conditions au limites (pour les points dans ) : w = 0 θ = 0 θ = 0 O O Figure 5 Structure et chargement smétriques Figure 6 ½ problème pour cas smétrique. Cas d un chargement quelconque. Supposons maintenant que cette structure dont la géométrie est smétrique par rapport à est soumise à un chargement quelconque (qui, lui, n est pas smétrique par rapport à ) : voir figure 7. F F O F Figure 7 Considérons de plus que les déplacements restent petits et les déformations restent dans le domaine élastique sous l effet de ce chargement. Dans ces conditions, le comportement de la structure peut être considéré comme linéaire (proportionnalité entre forces et déplacements) et, si on décompose le chargement en une somme de chargements élémentaires, on obtient les déplacements globau en additionnant les déplacements dus au différents chargements élémentaires (principe de superposition). Le chargement quelconque peut être décomposé en deu chargements dont la somme est égale au chargement initial : - un chargement smétrique par rapport à : voir figure 8 - un chargement antismétrique par rapport à (une composante antismétrique est l opposée de ce que serait une composante smétrique) : voir figure 9. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 5

6 -F / F / F / F / -F / F / F / O F / F / -F / O F / F / Figure 8 Chargement smétrique Figure 9 Chargement antismétrique Les déplacements du problème initial peuvent donc être obtenus en sommant les déplacements qui résultent de la résolution de deu problèmes : - un problème smétrique (géométrie et chargement smétrique par rapport à ) : voir figure 0 - un problème antismétrique (géométrie smétrique et chargement antismétrique par rapport à ) : voir figure. Figure 0 roblème smétrique Figure roblème antismétrique Chacun de ces problèmes peut être remplacé par un problème ne portant que sur la moitié de la structure, moennant la mise en place de conditions au limites adaptées au niveau du plan de smétrie pour reproduire l effet de la smétrie ou de l antismétrie : voir figures et 3. On notera que seules les conditions au limites changent d un demi problème à l autre. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 6

7 Conditions au limites (pour les points dans ) : w = 0 θ = 0 θ = 0 F / Conditions au limites (pour les points dans ) : u = 0 v = 0 θ = 0 F / O F / F / O F / F / Figure ½ problème pour cas smétrique Figure 3 ½ problème pour cas antismétrique L intérêt de cette approche réside dans le fait que le problème initial peut être divisé en deu sous problèmes de tailles deu fois plus petites. Cela peut s avérer très intéressant dans le cas de modèles très lourds. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 7

8 Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 8

9 3 - EXERCICES Eercice 7. outre montée sur glissière Soit une poutre - de longueur L et de direction - encastrée à l'origine - liée au bâti par une glissière à 45 à l etrémité - chargée par une force dans la direction au point / 4 La base globale est la base = (, ). Eprimer les conditions au limites dans les bases naturelles, puis dans la base globale. Etraire du sstème K q = F de départ le sous-sstème limité au déplacements non nuls. On utilisera comme base globale, voir figure. Donner le vecteur q et la matrice de réduction R à considérer pour mettre en œuvre la méthode par élimination des degrés de liberté dépendants. Calculer K et F, mettre en place le sstème réduit : K q = F. Déterminer les déplacements de l'etrémité et les efforts dans la glissière. On pose : ES EI a = et b = 3 L L Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 9

10 Eercice 7. Cadre carré On considère le cadre carré schématisé ci-après. Caractéristiques : - ligne moenne = carré de côté L - section droite = carré plein de côté h Le chargement est constitué de 4 forces de même intensité, voir figure. On pose : ES EI a = et b = 3 L L - En eploitant les smétries, montrer que ce problème est voisin de celui de l eercice Déterminer les déplacements des points caractéristiques. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 0

11 Eercice 7.3 outres articulées n Dans les deu cas ci-dessous, - proposer une modélisation (maillage, nature des éléments considérés en prenant chaque fois les éléments les plus simples mais permettant de bien représenter les phénomènes) - Indiquer la forme des vecteurs q et F qui apparaîtront dans le sous-sstème K q = F que l on pourra etraire du sstème complet de départ en se limitant au déplacements non nuls. On utilisera comme base globale, voir figure. - Donner le vecteur q et la matrice de réduction R à considérer pour mettre en œuvre la méthode par élimination des degrés de liberté dépendants. Donner l epression du vecteur F à considérer dans le sstème réduit K q = F. On ne demande pas d établir la matrice K. ) Cas D E C La structure est formée de 3 poutres équivalentes, C et CD de longueur L. Les liaisons sont : encastrement en, articulation en, C et D. Le chargement est une force appliquée au point E, milieu de la poutre CD. ) Cas D p C Même structure. Le chargement est une charge uniformément répartie sur la poutre CD et d intensité linéique p (N/m). Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age

12 Eercice 7.4 outres articulées n Soit la structure définie ci-dessous, constituée de poutres et C identiques articulées entre elles en et encastrées dans le bâti. La poutre C est soumise à une charge répartie uniforme d'intensité linéique p (N/m). p C e e ère artie On propose sur la figure un modèle s appuant sur éléments e et e ne tenant pas compte de la smétrie de la structure : - Donner les nœuds qu il convient d associer au éléments, le vecteur q des déplacements inconnus - Etraire du sstème K q = F de départ le sous-sstème limité au déplacements non nuls. 3 - Donner le vecteur q et la matrice de réduction R à considérer pour mettre en œuvre la méthode par élimination des degrés de liberté dépendants. Calculer K et F, mettre en place le sstème réduit : K q = F. Calculer les déplacements q. ème artie 4 - roposer un modèle qui permet de résoudre le problème en tenant compte de la smétrie de la structure. 5 - Epliquer avec précision la démarche à suivre pour résoudre le problème par cette voie, mais ne pas effectuer les calculs. Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age

13 Eercice 7.5 Treillis smétrique On considère le treillis défini par la figure ci-après Cas a Cas b On donne les résultats suivants (déplacements eprimés en mm) pour les cas de charge a et b en fonction de l effort (eprimé en Newton) : v = v = 0 Cas a u 3 = Cas b u 3 = 0 v 3 = v 3 = Donner les valeurs de u 4 et v 4 pour chacun des cas a et b Déduire des résultats précédents les déplacements du cas de charge c défini ci-après en fonction de Cas c Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 3

14 Eercice 7.6 outre encastrée sur appui élastique On considère une poutre (L, E, I) qui est encastrée de part et d'autre dans le bâti et qui repose en son milieu sur un appui élastique de raideur k. e On se propose d'utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser la poutre et on retient le maillage à un seul élément défini sur la figure ci-contre. - Dans les deu cas de charge définis ci-dessous, calculer les déplacements au nœud. C Cas a Cas b - Calculer les déplacements au nœud dans le cas de charge défini ci-dessous. On transformera le chargement en une somme d un chargement smétrique et d un chargement antismétrique, puis on eploitera les résultats de la question précédente. p Cas c Eléments finis Notes de cours Marc Sartor Ch. 7 age 4