11. Calcul vectoriel dans l espace

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1 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Calcul vectoriel dans l espace Expliciter les savoirs et les procédures 1 Vecteurs dans un parallélépipède a A + DH + EH = A + F + FG = AG b A + D + F = D + A + F = DA + AE = DE Or DE = FC ; ces deux vecteurs sont parallèles car ils sont multiples l un de l autre Points alignés? Points coplanaires? a Les points A, et C sont alignés car AC = A A = ( 1 ; 1 ; 4 3) = ( 1; 3;1) AC = 3 1; 4 ;5 3 = ; 6; ( ) ( ) b 1/ Hypothèses A,, C et D coplanaires ; A, et C non alignés Thèse AD = r A + s AC Démonstration Soit π = AC ; D π AD π Donc le vecteur AD peut être décomposé en une somme de vecteurs parallèles aux vecteurs A et AC (calcul vectoriel dans un plan), ce qui se traduit par AD = r A + s AC / Hypothèses A, et C non alignés ; AD = r A + s AC Thèse A,, C et D coplanaires Démonstration Soit le point E tel que AE = r A et le point F tel que AF = s AC On a alors AD = AE + AF, ce qui signifie que AEDF est un parallélogramme et donc que les quatre points A, E, D et F sont coplanaires Le point, situé sur la droite AE, et le point C, situé sur la droite AF, appartiennent à deux droites du plan ADE et donc à ce plan Les quatre points A,, C et D sont donc bien coplanaires Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 1

2 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 c 1/ Les points A, et C ne sont pas alignés car les composantes des vecteurs A et AC ne sont pas proportionnelles ; en effet A = ( 1;3;3), AC = ( ;4;1) et / D AC r, s R : AD = r A + s AC En remplaçant les vecteurs par leurs composantes, on a r s = 1 1; 1; m = r 1;3;3 + s ; 4;1 3r + 4s = 1 3r + s = m ( ) ( ) ( ) Les deux premières équations donnent r = 1 et s = 1 On en déduit m = Le point D( ; 3; m) appartient au plan AC si m = 3 Coordonnées des points particuliers a On désigne par ( x, y, z) les coordonnées du point M Le point M est milieu du segment [ ] A donc AM = M En remplaçant les vecteurs par leurs composantes, on a c est-à-dire On en déduit ( x x ; y y ; z z ) = ( x x; y y; z z) A A A x xa = x x y ya = y y z za = z z x = xa + x y = ya + y z = za + z xa + x ya + y za + z Les coordonnées du point M sont ; ; G x y z le centre de gravité du triangle AC ; on a donc AG + G + CG = 0 b Soit ( ; ; ) G G G En traduisant cette relation en termes de composantes, on obtient ( xg xa ; yg ya ; zg za ) + ( xg x ; yg y ; zg z ) + ( xg xc ; yg yc ; zg zc ) = ( 0;0;0) ( 3 xg xa x xc ;3 yg ya y yc ;3zG za z zc ) = ( 0;0;0) ( 3 x ;3 y ;3 z ) = ( x + x + x ; y + y + y ; z + z + z ) G G G A C A C A C xa + x + xc ya + y + yc za + z + zc ; ; = ; ; ( x y z ) G G G Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace

3 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Vecteurs dans un cube a 1) CD + CG = CH ) AE + FG = AH 3) EF + F = AF 4) AC + HD = EC ; le point M est situé au milieu du segment [ ] 1 1 b 1) AM = CG + FG = AE + EH ) EP = A + AC = EF + EG 1 1 3) AN = F + C = AE + AD EH ; le point P est situé au milieu du segment [ ] ; le point N est situé au milieu du segment [ ] DH FG 5 Vecteurs orthogonaux a Le produit scalaire des vecteurs donnés est ui v = ( 5) 1 = 0 Les vecteurs sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul b 1/ Hypothèse Vecteurs u et v orthogonaux Thèse u + v = u + v Démonstration - Si un des vecteurs est le vecteur nul, la thèse est immédiate - Si les deux vecteurs sont non nuls, on a u + v = ( u + v ) ( u + v ) = u + u v + v i i = u + v / Soient les vecteurs u et v tels que u + v = u + v u + v = u + v ( u + v ) i( u + v ) = u + ui v + v = u + v On a donc u + v = u + v u iv = 0 u i v = 0 u v, La réciproque est donc vraie : si les vecteurs u et v vérifient 0 u + v = u + v, alors ils sont orthogonaux (soit qu au moins un des vecteurs est nul, et donc orthogonal à l autre, soit que les vecteurs non nuls sont orthogonaux) Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 3

4 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Appliquer une procédure 6 Placer des points a Voir figure ci-contre Les coordonnées de C sont ; ; = ; ; b Distance à l origine OA = = 6 O = = OC = = 4 4 x A z y 7 Calculer des composantes de vecteurs a 1) u = A ) v = CD 3) u + v : u ( 1; 1;1) : v ( ; 1;8) et u = 3 et v = 69 : composantes ( 1; ;9) : composantes ( ) 4) u 3v 5) ; u + v = 86 8;1; ; u 3v = u + v : composantes ; ; ; u + v = 3 b Soient ( x; y; z) les coordonnées du point M En remplaçant les vecteurs par leurs composantes dans la relation donnée, on a Les coordonnées du point M sont ( 3;1; 3) 1 ( x ; y 1; z) = ( 3 1; ; 7 + 1) ( x; y ; z ) = ( ;1;0) + ( 1;0; 3) = ( 3;1; 3) Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 4

5 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Points alignés? coplanaires? A D a On choisit un repère d origine A (voir figure) et d axes A, AC et AA Dans ce repère ( 0;0;0 ), ( 1;0;0 ), ( 1;1;0 ), ( 0;1;0 ), ( 0;0;1 ), ( 1; 0;1 ), ( 1;1;1 ), ( 0;1;1) A C D A C D En utilisant la relation établie dans l exercice 3, on peut déterminer les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle A C ; on a 1 G ; ; C Il faut vérifier que les composantes des vecteurs D et G sont proportionnelles On a D( 1;1; 1) et G ; ; 1 ; donc G = D Les composantes sont proportionnelles, donc les trois points, D et G sont alignés b La relation AE + E = 0 signifie que les points A, et E sont alignés car AE = E La relation CE + 3DE = 0 signifie que les points C, D et E sont alignés car CE = 3DE Les droites A et CD dont des droites sécantes en E ; elles définissent un plan et les points A,, C et D sont coplanaires 9 Calculer un produit scalaire a ui v = ( 1) 1+ 3 ( 5) + 0 = b 1) A ( 1;; 4) et CD 3; ; 5 3 Ai CD = 1 ( 3) + + ( 4) = = 8 ) Soit ( x; y; z ) les coordonnées du point E E A ( c'est-à-dire k : AE = k A) 4 k AiA = k ( ) = 4, donc k = AEiA = Or AE ( x + 1; y ; z 3) ; donc ( x + 1; y ; z 3) = ( 1; ; 4 ) = ; ; Les coordonnées de E sont ; ; c Si u + v + w = 0, alors ( u + v + w ) i ( u + v + w ) = 0 Mais alors ( u + v + w) i( u + v + w) = u + v + w + uiv + viw + wiu = 0 ( u + v + w) i( u + v + w) = ( uiv + viw + wiu ) = 0 u iv + v iw + w i u = 30 ou u iv + v iw + w i u = 15 Donc ( ) A G C D Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 5

6 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Angles entre deux vecteurs a b cos θ = = = 0, cos θ = = = 0, ; θ = 43,33 ; θ = 144,6 11 Vecteurs orthogonaux et paramètres a Erratum (tirage 013) : voici les composantes des vecteurs u et v non notées : u ( 1;;5) ( 3;1;1) v Si w u, alors w i u = 3 + a + b = 0 Si w v, alors w i v = 1 + a 5 b = 0 et On résout le système 3+ a + b = 0 Ses solutions sont 1 + a 5b = 0 Les composantes du vecteur w 16 5 sont 1,, 7 7 u i v = 0 k 3k k k = 0 b ( ) ( ) 3 6k + k + 6k + = 0 ( k )( k ) = 0 Les vecteurs u et v 1 sont orthogonaux si k = 3 = 0 ssi = 0 c u i v ab ( a )( b ) ( a)( b) La dernière égalité est encore successivement équivalente à ab + a + 4 b a + b = 0 ( )( ) ( )( ) 16 5 a = et b = 7 7 a + 9b + ab + = 0 Les vecteurs u et v sont orthogonaux ssi a et b vérifient la relation a + 9b + ab + = 0 En tel cas on a nécessairement a 9 ou b 1, car cette égalité n est pas vérifiée lorsque a = 9 et b = 1 La condition peut dès lors s écrire en exprimant a en fonction de b ou vice-versa : a + 9b b = ( a 9) ou a = ( b 1) a b 1 Parallèles? Orthogonaux? Les composantes de A a A// CD si A = kcd sont ( 4; m ;) et celles de CD sont ( ;3;1), càd si ( 4; m ;) k ( ;3;1) = On obtient k = et donc m = 6 c est-à-dire m = 8 b A CD si A i CD, càd si ( 4) ( ) + ( m ) 3+ 1 = 0 On obtient 4 m = 3 Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 6

7 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Produit scalaire et cube a Ai GH = ( ) = 4 c ACi AG = 8 8 = 8 e AFi HC = 0 b AEi FG = 0 d ADi D = = 4 14 Produit scalaire et tétraèdre Les faces du tétraèdre sont des triangles équilatéraux, donc dans chaque face, hauteur et médiane sont confondues On peut utiliser la définition du produit scalaire (définition 101, manuel p 98) ou le théorème 101 (manuel p 99) a Ai C = cos 60 = ACi S = A + Ci S = Ai S + Ci S = + = MCi MS = M + C i M + S b ( ) ( ) cos 60 cos 60 0 c ( ) ( ) MCi MS = M + Mi S + Ci M + Ci S = = 1 MNi A = MA + AS + SN ia = MAiA + ASiA + SNi A MNi A = MAiA + ASiA + NCi AC + C d ( ) = + + = 0 MNi SC = MA + AS + SN i SC e ( ) = = 0 ( ) MNiSC = MAiSC + ASiSC + SNiSC = MAi( SA + AC ) + ASiSC + SNiSC = MAiSA + MAi AC + ASiSC + SNiSC Énoncés des propriétés 1) Dans un tétraèdre régulier, les arêtes opposées sont orthogonales ) Dans un tétraèdre régulier, la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées est la perpendiculaire commune à ces deux arêtes Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 7

8 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Résoudre un problème 15 Section d un cube a Coordonnées des sommets A( 4;0;0 ), ( 4;4;0 ), C ( 0;4;0 ), D ( 0;0;0) ( 4;0;4 ), ( 4;4;4 ), ( 0;4;4 ), ( 0;0;4) E F G H b On considère le vecteur HI = HE + EI Dans le cube donné, on a HE = C et EI = JC On peut donc écrire HI = C + JC = J Puisque les vecteurs HI et J sont égaux, les droites HI et J sont parallèles et déterminent un plan Les quatre points H, I, J et appartiennent à ce plan et sont donc coplanaires c Le quadrilatère HIJ est un parallélogramme ; on peut montrer le parallélisme de HJ et I comme on a démontré ci-dessus celui de HI et J De plus, les quatre côtés du parallélogramme sont égaux, car ils sont tous hypoténuses de triangles rectangles égaux, de côtés et 4 Le quadrilatère HIJ est donc un losange Il faut déterminer les longueurs des diagonales de ce losange Les coordonnées du point I sont ( 4;0; ) et celles de J sont ( 0;4; ), ce qui permet de calculer la distance entre ces deux points IJ = (0 4) + (4 0) + ( ) = 4 Connaissant les coordonnées des points H et, on peut calculer la distance entre ces deux points H = (4 0) + (4 0) + (0 4) = 4 3 L aire du losange HIJ est = 8 6 (unités d aire) 16 Molécule de méthane a Les arêtes du tétraèdre sont de longueurs égales car elles sont toutes quatre diagonales de carrés égaux, les faces du cube Les quatre faces du tétraèdre sont donc des triangles équilatéraux Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 8

9 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 b On peut considérer que le cube est dessiné dans un repère orthonormé et que les arêtes du cube sont de longueur Dans ce cas, les coordonnées du point C, centre du cube, sont ( 1;1;1 ) Les coordonnées des points A,, D et E sont : A D ( 0;0; ), ( ;0;0) ( 0;;0 ), E ( ;;) Soit θ l angle entre les vecteurs C et CA On a C( 1; 1; 1) et CA( 1; 1;1) CiCA cos θ = = = ; on en déduit θ = 109, 47 C CA On obtient le même résultat pour les autres liaisons A C E D 17 Problèmes de cubes a Dans le repère orthonormé d origine D et d axes Dx, Dy et Dz (voir figure), on a : ( 0;0;0 ); ( 4;0;0 ); ( 4;3;0 ); ( 0;4;3 ); ( 4;0;4 ); ( 4;4;4 ); ( 0;0;4 ) sont ( 4;4; 1) D A I J E F H Les composantes du vecteur EJ On sait qu une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan ; il faut vérifier que le vecteur EJ est perpendiculaire à tout vecteur du plan IFH Tout vecteur du plan IFH est combinaison linéaire de deux vecteurs non parallèles de ce plan, par exemple des vecteurs IF ( 0;1;4) HF ( 4;4;0) On a λ IF + µ HFiEJ = 4 µ ; λ + 4 µ ;4λi 4;4; 1 ( ) ( ) ( ) = 16µ + 4λ + 16µ 4λ = 0 Le vecteur EJ est perpendiculaire à tout vecteur du plan IFH ; la droite EJ est donc perpendiculaire au plan IFH et Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 9

10 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 b On choisit un repère orthonormé d origine D, dans lequel les côtés du cube sont de longueur (pour éviter les fractions dans les coordonnées des points milieux des arêtes du cube) Dans ce repère, on a C ( 0;;0), ( ;1;) donc CP ( ; 1;) MN ( ;0;0) On a aussi NH 0; 1; et ( ) P ; 1) Pour démontrer CP// MNH, il faut vérifier que λ, µ R : CP = λ MN + µ NH ou, en d autres termes, que λ, µ R : ( ; 1; ) = λ( ;0;0) + µ ( 0; 1; ) ( ; 1;) = λ( ;0;0) + µ ( 0; 1; ) ( ; 1;) = ( λ; µ ;µ) qui est vérifié pour λ = 1 et µ = 1 ) Pour démontrer que les plans MNH et CP sont parallèles, on peut vérifier que deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre (une autre possibilité est de vérifier que l un d eux est perpendiculaire à une droite perpendiculaire à l autre [manuel p 89, exercice i]) Dans le plan MNH, on considère les deux droites sécantes MN et ME On a MN ( ;0;0) et ME ( 0; 1;) Dans le plan CP, les droites sécantes C et P sont respectivement parallèles aux droites MN et ME du plan MNH C = 0;;0 ;;0 = ;0;0 P = ;1; ;;0 = 0; 1; En effet ( ) ( ) ( ) et ( ) ( ) ( ) On a donc C// MN et P// ME Les deux plans MNH et CP sont donc parallèles 18 Un quadrilatère dans l espace À partir des données du problème, on peut écrire les relations vectorielles suivantes : MA = MN ; M = MQ ; PC = PQ ; ND = NP Pour montrer que ACD est un parallélogramme, il faut vérifier que A = DC ou AC = A + AD A = AM + M = MN + MQ = ( NM + MQ) = NQ DC = DN + NP + PC = NP + NP + PQ = ( NP + PQ) = NQ On a donc A = DC ; on en conclut que le quadrilatère ACD est un parallélogramme Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 10

11 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Des parallélépipèdes a On construit un repère (quelconque) d origine D sur les arêtes du parallélépipède et on choisit comme vecteur unité pour chacun des axes le vecteur qui joint D au point milieu de l arête On a donc ( ;0;0) D '( 0;0;) A, ( 0;;0) C et Dans ce repère, on a Q ( 1;0;0), ( ;;1) R ( 1;;1) P, Les coordonnées du milieu de [ AR ] sont x A A Q D D z P R C y C ; ; = ;1; Les coordonnées du milieu de [ PQ ] sont ; ; = ;1; Les deux segments ont le même milieu ; ils se coupent donc en leur milieu b Dans le repère d origine D construit sur les arêtes du parallélépipède, on choisit comme marque de l unité sur les axes les sommets du parallélépipède z S Dans ce repère, on a A ( 1;0;0), Q 0;1; 3, R( 1;1; 1) et ( 0;0;) S P 1 1;0; 3, Les coordonnées du milieu de [ PQ ] sont ; ; ; ; et celles du milieu de [ RS ] sont x A P A D D C y Q C On a obtenu deux fois les coordonnées d un même point, commun aux deux segments qui se coupent donc en leur milieu R Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 11

12 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, Ensemble de points a Dans le plan : on définit un repère orthonormé dont l origine est le milieu du segment [ A ], l axe Ox selon le segment [ A ], avec ( 1;0) et A( 1;0) Soit un point M ( x; y) dans ce repère tel que MAi M = 0 Les composantes des vecteurs MA et M MA 1 x; y MAiM = 0 1 x; y i 1 x; y = 0 ( ) ( ) sont ( ) et M( 1 x; y) x + y 1 = 0 L ensemble des points M vérifiant la relation MAiM = 0 est le cercle de centre O et de rayon 1, c est-à-dire le cercle dont le centre est le milieu du segment [ A ] et dont le rayon est la demi-longueur de ce segment b Dans l espace : on définit un repère orthonormé dont l origine O est le milieu du segment[ A ] d axe Oy selon O, les axes Ox et Oz étant perpendiculaires à l axe Oy On choisit comme unité la demi-longueur du segment [ A ] Dans ce repère, on a O( 0;0;0 ), A( 1;0;0 ), ( 0;1;0) Soit M ( x; y; z ) un point quelconque vérifiant MAi M = 0 Les composantes des vecteurs MA et M MA 1 x; y ; z MAiM = 0 1 x; y; z i 1 x; y; z = 0 ( ) ( ) sont ( ) et M ( 1 x; y; z) x + y + z 1 = 0 L ensemble des points M vérifiant la relation MAiM = 0 est la sphère de centre O et de rayon 1, c est-à-dire la sphère dont le centre est le milieu du segment [ A ] et dont le rayon est la demi-longueur de ce segment 1 Varier les outils pour démontrer a Chapitre 8, exercice 18 On représente le parallélépipède dans un repère défini par un des sommets et les tris arêtes concourantes en ce sommet (voir figure) Dans ce repère, soient ( 1;0;0) M ( 1;0;), N ( 1;1;), ( 1;1;0) P ( 0;1;) A, ( 1;1;0) R, ( 1;1;1), S et Pour démontrer que le plan RSP est parallèle à A x l arête MN, il faut démontrer que MN est parallèle à une droite du plan RSP ou, en termes de vecteurs, que λ, µ R :MN = λ RS + µ SP En passant aux composantes des vecteurs, on peut écrire ( ) ( ) ( ) λ, µ R : 0;1;0 = λ 0;1;0 + µ 1;0;1, ce qui est vérifié pour λ = 1 et µ = 0 R O M z S N y P Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 1

13 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 b Chapitre 8, exercice 19 On choisit un repère quelconque d origine S et dont les axes sont les arêtes de la pyramide concourantes en A (voir figure) S z Dans ce repère S ( 0;0;0), ( 1;0;0) ( 0;1;0) et ( 0;0;1) C A, On cherche les coordonnées de M, N et P dans ce repère ( ) ( ) ( ) M SA a R : M a;0;0 N S b R : N 0; b;0 P SC c R : P 0;0; c 1/ On détermine les coordonnées des points I, J et K s ils existent A M N x P C y { I} = MN A R :( I 1; I ; I ) ( 1;1;0) ou ( xi ; yi ; z I ) = ( 1 λ; λ ;0) R : ( ; ; ) ( ; ;0) ou ( x ; y ; z ) = ( a(1 µ ); µ b;0) I A λ x y z = λ I MN µ x a y z = µ a b I I I I I I Comparant les deux écritures des coordonnées du point I, on obtient ab a b ab ( xi ; yi ; zi ) = ; ;0 b a b a { J} = NP C R :( J ; J 1; J ) ( 0; 1;1) ou ( xj ; yj ; z J ) = ( 0;1 λ; λ ) R : ( ; ; ) ( 0; ; ) ou ( x ; y ; z ) = ( 0;(1 µ ) b; µ c) J C λ x y z = λ J NP µ x y b z = µ b c J J J J J J Comparant les deux écritures des coordonnées du point J, on obtient { K} = MP AC bc b c bc ; ; = 0; ; c b c b ( x y z ) J J J R :( K ; K ; K 1) ( 1;0;1) ou ( xk ; yk ; z K ) = ( 1 λ;0; λ ) R : ( ; ; ) ( ;0; ) ou ( x ; y ; z ) = ( a(1 µ );0; µ c) K AC λ x y z = λ K MP µ x a y z = µ a c K K K K K K Comparant les deux écritures des coordonnées du point K, on obtient ac a c ac ; ; = ;0; c a c a ( x y z ) K K K Les trois points existent si a b c / Pour démontrer que les points I, J et K sont alignés, il faut vérifier que les vecteurs IJ et IK sont multiples l un de de l autre On calcule les composantes de chacun de ces vecteurs Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 13

14 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Composantes de IJ : bc b c bc ab a b ab a(1 b) b( a c)(1 b) c(1 b) 0; ; ; ;0 = ; ; c b c b b a b a b a ( c b)( b a) c b Composantes de IK : ac a ( )( 1) ( 1) (1 ) ;0; c ac ab a ; b ab ;0 a b c a ; b a ; c a = c a c a b a b a ( c a)( b a) b a c a On utilise les 3 e composantes de ces vecteurs pour déterminer la valeur de k tel que c(1 a) c(1 b) (1 a)( c b) = k ; on obtient k = c a c b (1 b)( c a) On vérifie que k est bien le facteur de proportionnalité des autres composantes * Pour les premières composantes : a(1 b) (1 b) (1 a)( c b) a( a 1)( b c) k = a = (vérifié) b a ( b a) (1 b) ( c a) ( b a)( c a) * Pour les troisièmes composantes : c(1 b) (1 b) (1 a) ( c b) c(1 a) k = c = (vérifié) c b ( c b) (1 b) ( c a) c a Les trois points sont donc alignés puisque les composantes des vecteurs sont proportionnelles Ce qui si- 3/ Dans le cas où MP// AC, on a a = c et le point K n existe pas Les composantes de a(1 b) a(1 b) IJ sont ;0; ; celles de AC b a a b a(1 b) gnifie IJ = AC et donc IJ // MP // AC b a sont ( 1;0; 1) 4/ Si les points I, J et K n existent pas, cela signifie a = b = c ; le plan MNP est parallèle au plan AC c Chapitre 9, exercice 6 Hypothèses - cube de sommet A et d arêtes AC, AD et AE - plan α = CDE - diagonale A du cube Thèse A α Démonstration Choix du repère : repère orthonormé d origine A et d axes AC (Ox), AE (Oy) et AD (Oz) Dans ce repère, on a ( 0;0;0) D ( 0;0;1), E ( 0;1;0) et ( 1;1;1) A, ( 1;0;0) C, Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 14

15 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Il faut démontrer que la droite A est orthogonale à deux droites sécantes du plan α ou que le vecteur A est orthogonal à deux vecteurs non nuls du plan α On a CD ( 1; 0;1), DE ( 0;1; 1) et A( 1;1;1) CDiA = ( 1;0;1) i ( 1;1;1) = 0 DEiA = 0;1; 1i 1;1;1 = 0 ( ) ( ) La diagonale A est donc bien perpendiculaire au plan α = CDE d Chapitre 9, exercice 7 Hypothèse - tétraèdre MNPQ Thèse - MP = PN et MQ = NQ PQ MN Démonstration Pour vérifier PQ MN, on calcule le produit scalaire des vecteurs MN et PQ : PQiMN = ( PM + MQ) imn = PMiMN + MQiMN Le triangle MPN est isocèle en P, donc la hauteur issue de P est confondue avec la 1 1 médiane issue du même sommet ; on a donc PMiMN = MNi MN = MN Le triangle MQN est isocèle en Q ; pour la même raison que ci-dessus, on a 1 1 MQiMN = MNi MN = MN 1 1 On a donc PQi MN = MN + MN = 0 Le produit scalaire des vecteurs (non nuls) MN et PQ est nul ; ils sont donc orthogonaux ; on en conclut que les droites PQ et MN sont orthogonales e Chapitre 9, exercice 8 1/ voir figure ci-contre / Le point D est commun aux deux plans ; montrer que O appartient aux deux plans revient à vérifier que le vecteur OD est combinaison linéaire de vecteurs de chacun des plans : Dans le plan DEG, O est le milieu de [ EG ], donc 1 DO = DE + EO = DE + EG P M N Q Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 15

16 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Le point F appartient au plan HD car F // DH (si par un point d un plan, on mène une parallèle à une droite de ce plan, elle est toute entière contenue dans le plan) Dans le plan DFH, le point O est milieu de [ FH ], donc 1 DO = DH + HO = DH + HF Les points D et O appartiennent aux deux plans distincts et donc à leur intersection La droite DO est donc l intersection des plans DEG et DH Remarque : la démonstration est beaucoup plus rapide en géométrie synthétique 3/ Les dimensions du rectangle DFH sont 4 cm (arêtes du cube) et 4 cm (diagonales d une face du cube) Le point O est situé au milieu de [ ] HF DOi H = ( DH + HO) i( HD + D) = DHi HD + DHi D + HOi HD + HOi D Le = = 0 D produit scalaire de vecteurs DO et H est nul ; les droites DO et H sont donc perpendiculaires 4/ Pour démontrer que H DEG, on démontre que le vecteur H est orthogonal à deux vecteurs non parallèles du plan DEG Hi EG = HF + F i EG = HFi EG + Fi EG = + =, car HF et FG sont les diago- ( ) nales d un carré, donc perpendiculaires entre elles et F, arête du cube perpendiculaire à la face EFGH est donc perpendiculaire à toutes les droites du plan EFG, en particulier à EG Hi DG = HD + D i DG = HDi DG + DC + C i DG = + + = ( ) ( ) La droite H est donc perpendiculaire aux droites sécantes EG et DG du plan DEG ; on en conclut que la droite H est perpendiculaire au plan DEG H O F f Chapitre 9, exercice 9 Rappel : pyramide à base carrée régulière : pyramide dont les 4 faces latérales sont des triangles isocèles identiques ADi SM = 0 car dans le triangle isocèle SAD, la médiane SM est aussi la hauteur issue de S ADiOM = ADi( OS + SM ) = ADiOS + ADi SM = = 0 En effet, la pyramide étant régulière, OS ACD et donc à toutes les droites du plan ACD, en particulier AD ; et SM AD (voir ci-dessus) La droite AD est orthogonale à deux droites sécantes du plan SOM, elle est donc perpendiculaire à ce plan Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 16

17 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 g Chapitre 9, exercice 11 Dans la figure ci-contre, la diagonale verticale (non dessinée) est la droite H, H étant le sommet supérieur du cube et le sommet le plus bas 1/ Il faut montrer que les points D, E et G sont situés dans un plan horizontal, c est-à-dire dans un plan perpendiculaire à la droite H Il faut donc vérifier que le vecteur H est orthogonal à deux vecteurs non parallèles du plan DEG Hi EG = 0 car H est située dans le plan diagonal HF et EG est perpendiculaire à HF (diagonales d un carré) et à F (F, arête du cube, est perpendiculaire à la face EFGH et donc à EG) Hi DG = ( HF + F) i( DH + HG) = HFi DH + HFi HG + Fi DH + Fi HG 0 0 = HG DH = 0 La droite H est orthogonale à deux droites sécantes du plan DEG ; elle est donc perpendiculaire à ce plan Puisque la droite H est verticale, le plan DEG est horizontal / Le cube est observé sous un autre angle afin de mieux visualiser le problème Soient M le milieu de [ EF ], N le milieu de[ FG ], P le milieu de [ GC ], Q le milieu de [ ] CD, R le milieu de DA et S le milieu de[ AE ] MSQP est un parallélogramme car MS = PQ ; en effet 1 1 MS = MF + FS = EF + FG 1 1 = DC + AD = DQ + PD = PQ Il reste à vérifier que les points R et N sont aussi situés dans ce plan : RN // SM, en effet : RN = RS + SM + MN = CG + GF + SM + FE + EA = SF + SM + FM = SM E A H D F G C Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 17

18 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De oeck Education sa, 014 Le centre O du cube est centre de symétrie ; il est situé au milieu des segments[ ] et [ MQ ] C est donc un point commun au segment [ ] RN, [ PS] RN et au plan MSQ Par ce point O, on ne peut mener, dans le plan MSQ, qu une seule parallèle à la droite MS du plan Cette parallèle est RN qui est donc située dans le plan MSQ Les six points milieux considérés sont donc coplanaires Transposée à l Atomium, la thèse, à présent démontrée, revient à dire que les milieux des tubes dont il est question dans l énoncé se trouvent dans un même plan Remarques - On aurait pu aussi travailler avec les coordonnées des points milieux en choisissant un repère d origine C et d axes Cx (sur CD), Cy (sur C) et Cz (sur CG), en prenant, par exemple, des arêtes de longueur pour le cube - On peut aussi démontrer que le polygone obtenu est un hexagone régulier Chapitre 11 Calcul vectoriel dans l espace 18