EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES

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1 Chapitre 7 EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 7.1 Equation linéaire à deux inconnues L équation de la forme ax + by + c = 0, avec a, b, c IR est une équation linéaire à deux inconnues. L ensemble des solutions d une telle équation à deux inconnues réelles est une partie de IR IR, c està-dire un ensemble de couples de nombres réels. Le graphique de cet ensemble est donc une partie du plan cartésien Rechercher des solutions d une équation linéaire à deux inconnues Exemple 7.1 Soit à résoudre l équation linéaire 2x y + 6 = 0. Donnons à x une valeur quelconque : 5. On obtient alors y = 16. Le couple de réels (5; 16) est une solution de l équation Donnons à y une valeur quelconque : 2. On obtient alors x = 6. Le couple ( 6; 2) est une solution de l équation. Il apparaît ainsi que l ensemble des solutions de cette équation est infini Graphique cartésien d une équation linéaire à deux inconnues Dans l exemple ci-dessus, nous avons déterminé l ensemble S des solutions d une équation du type ax + by + c = 0 Selon les valeurs réelles données aux coefficients a, b, c différents cas peuvent se présenter. Premier cas: les coefficients a et b ne sont pas nuls simultanément. 1. a 0, b 0, c 0 ax + by + c = 0 y = a b x c b L année passée nous avons vu que la représentation graphique d une telle équation était une droite d: a b étant le coefficient de direction, c b étant l ordonnée à l origine. 81

2 CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 82 Pour déterminer cette droite, il suffit d en connaître deux points. On dit que la droite d a pour équation ax + by + c = 0 et on écrit : d ax + by + c = 0 Exemple 7.2 Soit l équation 2x y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à y = 2 x + 2 dont la représentation graphique est la droite d de coefficient de direction 2, qui passe par les points (0; 2) et ( ; 0). 2. a 0, b 0, c = 0 ax + by + 0 = 0 y = a b x Nous reconnaissons l équation cartésienne d une droite qui passe par l origine (0, 0) Pour déterminer cette droite, il suffit d en connaître un deuxième point. On écrit d ax + by = 0 Exemple 7. Soit l équation 2x y = 0. Celle-ci est équivalente à y = 2 x dont la représentation graphique est une droite de coefficient de direction 2, qui passe par les points (0; 0) et (1; 2).. a = 0, b 0, c 0 Celle-ci est équivalente à y = c b l axe Ox qui passe par (0; c b ) 0x + by + c = 0 dont la représentation graphique est une droite parallèle à

3 CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 8 Exemple 7.4 Soit l équation 0x y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à y = 2 dont le graphique cartésien est la droite d parallèle à l axe Ox qui comprend le point (0; 2). Cas particulier a = 0, b 0, c = 0 Le graphique est l axe Ox. 4. a 0, b = 0, c 0 0.x + by + 0 = 0 y = 0 ax + 0y + c = 0 Celle-ci est équivalente à x = c a dont lee graphique est l ensemble des points dont l abscisse est c a, c est-à-dire la droite parallèle à l axe Oy, qui passe par le point ( c a ; 0). ATTENTION : la droite obtenue n est pas le graphique d une fonction. Exemple 7.5 Soit l équation 2x 0y + 6 = 0. Celle-ci est équivalente à x =. On obtient l ensemble des couples qui ont pour origine. Ces couples sont les coordonnées des points d une droite parallèle à l axe Oy qui comprennent le point ( ; 0). Cas particulier: a 0, b = 0, c = 0 Le graphique est l axe Oy. ax + 0.y + 0 = 0 x = 0 Deuxième cas: a = 0 et b = 0 1. c 0 0x + 0y + c = 0 Aucun couple de réels n est solution de l équation : S = Φ. Le graphique est l ensemble vide.

4 CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES 84 Exemple 7.6 0x + 0y + 6 = 0 L équation se ramène à 6 = 0 qui est une égalité toujours fausse. Il n y a donc aucun couple de réels qui est solution de cette équation. 2. c = 0 L équation devient 0x + 0y + 0 = 0. Tout couple de réels est solution de l équation : S = IR IR. Le graphique est le plan. Conclusion 7.8 Exemple 7.7 0x + 0y + 0 = 0 L équation se ramène à 0 = 0 qui est une égalité toujours vraie. Tout couple de réels est solution de cette équation. L équation ax + by + c = 0 (a, b, c IR) a une infinité de solutions qui sont des couples de réels et son graphique est une droite si a et b ne sont pas simultanément nuls. Exercice 7.9 Dans chaque cas, représente graphiquement l ensemble de solutions des équations suivantes. a (x 1) + 2(y + 7) = 0 b x 2 + y 5 8 = 0 c 2x 7 12 d 7(x 2) x 4y = 2y (2y + 1) 6 5y 8 = 2x y Exercice 7.10 Représenter graphiquement dans un repère orthonormé les ensembles de solutions de A x.y = 0 B x 2 9y 2 = 0 C (x 2y + )( 2x + y 6) = 0 Dans ce qui précède, on a vu que toute équation linéaire ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0 a pour graphique une droite. En géométrie, on a vu que toute droite du plan cartésien est définie par une équation linéaire de la forme ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0. Conclusion 7.11 Remarque 7.12 Le graphique cartésien d une équation est une droite si et seulement si cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec a 0 ou b 0 On a 1 ax + by + c = 0 (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0 avec r IR Donc si d ax + by + c = 0 alors d (r.a)x + (r.b)y + (r.c) = 0 et une droite du plan peut être déterminée par une infinité d équations équivalentes. Exercice 7.1 Voici une équation linéaire : 4x 5y + 10 = 0. Donner deux autres équations équivalentes. Calculer le coefficient de direction des graphiques de chaque équation. 1 En vertu des principes d équivalences des équations

5 CHAPITRE 7. EQUATIONS ET INEQUATIONS A DEUX INCONNUES Régions du plan déterminées par la droite d équation ax + by + c = 0 Exemple 7.14 Soit l équation 2x y + 6 = 0. Cette équation a comme graphique une droite d du plan cartésien. Cette droite détermine deux demi-plans 1 et 2. Oy d Ox Exercice 7.15 Déterminer la valeur que prend cette équation lorsque l on remplace le couple d inconnues (x, y) respectivement par En différents points de d (0; 2) ( ; 0) (; 4) En différents points de 1 (0; ) ( ; 1) ( 2; ) En différents points de 2 (0; 0) ( 1; 2) (2; 1) Quelles constatations peut-on faire au sujet du signe des valeurs obtenues selon les demi-plans auxquels le point (x; y) appartient? Dans l exercice ci-dessus, le demi-plan 1 est déterminé par l inéquation 2x y + 6 < 0 le demi-plan 2 est déterminé par l inéquation 2x y + 6 > Résoudre graphiquement l inéquation ax + by + c < 0 L inéquation de la forme ax + by + c < 0, avec a, b, c IR est une inéquation du premier degré à deux inconnues. Dans le cas où a et b ne sont pas nuls simultanément, l ensemble des solutions d une telle inéquation à deux inconnues réelles est une partie de IR IR, c est-à-dire un ensemble de couples de nombres réels. Le graphique de cet inéquation est une des parties du plan déterminées par la droite d ax+by+c = 0. Exercice 7.16 Représenter graphiquement les inéquations suivantes : 1. 5x + y > 0 2. x 2 1 < y +. 2x 6 0 5x 7 4. > 4y x.y > 0 6. (x 1)(y + ) 0