Cours de Géométrie Pour BCPST 1

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1 Cours de Géométrie Pour BCPST 1 Année scolaire : 2004/ juin 2005 Mohamed TARQI

2 Table des matières 1 Géométrie Repère. Changement de repère Bases et repères Formule du changement de repère Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan La droite dans le plan La droite et le plan dans l'espace Produit scalaire, norme euclidienne Produit scalaire dans le plan Norme euclidienne Produit scalaire et la norme dans l'espace Applications Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace Orientation de l'espace Denitions et propriétés Barycentre Dénitions et propriétés Applications

3 Chapitre 1 Géométrie Contents 1.1 Repère. Changement de repère Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan Produit scalaire, norme euclidienne Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace Barycentre Dans ce chapitre, nous allons étudier la géomètrie des espaces affines géomètrie dans le plan et dans l'espace R 2 et R 3 ( la Un élément (x, y de R 2 ( resp. (x, y, z de R 3 est représenté graphiquement par un point, noté par exemple M, dont les coordonnées sont x et y ( resp. x, y et z. Ainsi un élément (x, y de R 2 sera considéré, selon le contexte, comme un point ou un vecteur. Si les éléments de R 2 (resp. R 3 sont considérés comme des points, on dit que R 2 ( resp. R 3 est un plan ( resp. espace affine, on le note E 2 (resp. E 3 et s'ils sont considérés comme des vecteurs on dit que R 2 (resp. R 3 est un espace vectoriel. 1.1 Repère. Changement de repère Bases et repères Dénition On appelle base du plan tout couple ( i, j de vecteurs du plan linéairement indépendants. On appelle base de l'espace tout triplet ( i, j, k de vecteurs de l'espace linéairement indépendants. Dénition On appelle repère du plan ane E 2 tout triplet (O, i, j où ( i, j est une base du plan et O un point du plan. On appelle repère de l'espace ane E 3 tout quadruplet (O, i, j, k où ( i, j, k est une base de l'espace et O un point de l'espace. 2

4 1.1.2 Formule du changement de repère Proposition Soient R = (O, i, j, R = (O, i, j deux repères, (x 0, y 0 les coordonnées de O dans le repère R. P la matrice de passage de la base ( i, j à la base ( i, j. Pour tout point M de E 2, on a, en notant (x, y les coordonnées de M dans R et (x, y les coordonnées de M dans R ( x y = ( x0 y 0 ( x + P y Cas particulier Soit ( i, j une base de R 2 et O (a, b un point quelconque du plan. Alors { x = a + x y = b + y avec (x, y les coordonnées de M dans (O, i, j et (x, y les coordonnées de M dans (O, i, j. ( Ici P = I 2 Démonstration : Pour tout point M de E 2, on a : OM = OO + O M d'où : avec ( x y = ( x0 y 0 ( α + β O M = α i + β j(1 Soit ( p11 p P = 21 p 12 p 22 la matrice de passage de la base ( i, j à la base ( i, j. On a : D'autre part, on a : i = p 11 i + p 12 j et i = p 21 i + p 22 j O M = x i + y j = x (p 11 i + p 12 j + y (p 21 i + p 22 j = (p 11 x + p 21 y i + (p 12 x + p 22 y j (2 (1 et (2 entraînent : ( α β ( p11 p = 21 p 12 p 22 ( x y 3

5 et ( x y = ( x0 y 0 ( p11 p + 21 p 12 p 22 ( x y De même on a la proposition suivante : Proposition Soient R = (O, i, j, k, R = (O, i, j, k deux repères, (x 0, y 0, z 0 les cordonnées de O dans le repère R. P la matrice de passage de la base ( i, j, k à la base ( i, j, k. Pour tout M de E 3, on a, en notant (x, y, z les coordonnées de M dans R et (x, y, z les coordonnées de M dans R Exercice : x y z = x 0 y 0 z 0 + P Soit ( i, j, k la base canonique de R 3 et O = O(0, 0, 0. Déterminer les coordonnées des points A(1, 2, 0 et B(0, 1, 3 dans le repère R = (O, i, j, k avec O (1, 1, 1, i = i, j = i + j et k = i + j + k. De même déterminer les coordonnées des vecteurs U(1, 2, 3 et V (4, 2, 3 dans la base ( i, j, k. x y z 1.2 Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan La droite dans le plan Soit u un vecteur non nul et A un point quelconque du plan. L'ensemble {M P / AM = t u / t R} est la droite passant par A, dirigée par le vecteur u. Dénition (Proposition Soit (a, b (0, 0, c R. L'ensemble des points M(x, y de R ( 2 vériant l'équation (E : ax + by + c = 0 est la droite (D dirigée par b le vecteur u passant par ( c a a, 0 (si a 0 (E est dite équation cartésienne (E.C de la droite (D. Toute droite du plan admet une E.C Dénition (Proposition Soit (a, { b (0, 0, (x 0, y 0 R 2. L'ensemble des points x = M(x, y de R 2 x0 + at vériant le système (S : (t R est la droite (D qui passe y = y 0 + bt ( ( x0 a par A dirigée par le vecteur u (S est une représentation paramétrique de la y 0 b droite (D. Exercice : Considérons les deux repères du plan R = (O, i, j et R = (O, i, j avec ( i, j la base canonique, i = i + j, j = j et O(0, 0. Déterminer une E.C de la droite D(A, u, avec A(1, 2 ( donné dans R et u = i + 3 j dans les deux repères. 4

6 1.2.2 La droite et le plan dans l'espace Soit A et B deux points distincts de l'espace E 3. La droite (AB est l'ensemble des points M tels que AM = t AB (t R Soit A et B deux points distincts de l'espace de coordonnées respectives (x 0, y 0, z 0 et (x 1, y 1, z 1 dans un repère donné la droite (AB a pour représentation paramétrique x = x 0 + t(x 1 x 0 (S : y = y 0 + t(y 1 y 0 (t R z = z 0 + t(z 1 z 0 Le plan passant par A de vecteurs directeurs u et v ( u et v sont linéairement indépendants est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = λ u + µ v λ R, µ R donc il a pour représentation paramétrique le système x = x 0 + λα + µα (S : y = y 0 + λβ + µβ (λ R,µ R z = z 0 + λγ + µγ 1.3 Produit scalaire, norme euclidienne Produit scalaire dans le plan Dénition Soit u et v deux vecteurs non nuls ; O un point quelconque du plan, U et V les points dénis par OU = u et OV = v et H la projection orthogonale de V sur la droite (OU ; on pose u. v = OU.OH ou encore u. v = OU.OV cos( u, v Et si u = 0 ou v = 0, on pose u. v = 0 u. v est appelé le produit scalaire de u et v. Propriété fondamentale Propriétés du produit scalaire u v u. v = 0 Quels que soient les vecteurs considérés et le nombres α considéré on a : 1 u. v = v. u 2 u.(α v = α( u. v 3 ( u + v. w = u. w + v. w 5

7 Démonstration : O, A, S, C tels que : w = OC, u = OA, v = AS. Soit K la projection orthogonale de A sur (OC et H la projection orthogonale de S sur (OC. On a : ( u + v. w = OS. OC = OH.OC(1 et u. w + v. w = OA. OC + AS. OC = OK.OC + KH.OC = OH.OC (2 Donc (1 et (2 = ( u + v. w = u. w + v. w Corollaire (Expression analytique dans une base orthonormale Si u et v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y et (x, y, on a : u. v = xx + yy Démonstration : En eet, soit ( i, j une base orthonormele. u. v = (x i + y j.(x i + y j = xx i. i + (xy yx i. j + yy j. j = xx + yy Norme euclidienne Soit u un vecteur non nul ; O un point quelconque du plan, U le point déni par la relation OU = u On a : u. u = OU 2 donc u. u 0 et u. u = 0 u = 0 Dénition La norme euclidienne du vecteur u c'est le réel positif u = u. u = x 2 + y 2 Géomètriquement, dans un plan muni d'un repère orthonormé, u représente la distance OU. Propriété ( Relation de Pythagore u. v = 0 u + v 2 = u 2 + v 2 6

8 Exercice : Montrer que quels que soit u et v et le réel λ, on a : λ u = λ u et u + v u + v (Inégalité triangulaire Produit scalaire et la norme dans l'espace Expression analytique dans une base orthonormale Dénition Si u et v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y, z et (x, y, z, on dénit le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u. v par : et la norme euclidienne par u. v = xx + yy + zz u = u 2 = x 2 + y 2 + z 2 Dénition Un vecteur non nul n est dit normal au plan (P si sa direction est orhtogonale à (P. Proposition L'ensemble des points M de l'espace qui vérient k. AM = 0 où k est un vecteur non nul et A un point donné est le plan passant par A admettant k pour vecteur normal. Équation cartésienne d'un plan Soit (P le plan passant par le point A(x 0, y 0, z 0 et admettant n(a, b, c comme vecteur normal ; on a : M(x, y, z (P n. AM = 0 par suite, une équation cartésienne de (P est a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0 ax + by + cz ax 0 by 0 cz 0 = 0 Réciproquement : L'ensemble (Q des points de l'espace dont les coordonnées vérient ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c (0, 0, 0 est un plan admettant le vecteur n(a, b, c comme vecteur normal. De plus si a, par exemple, n'est pas nul, on peut écrire ax + by + cz + d = 0 x = b a y c a z d a y = y z = z et l'on voit alors que (Q admet comme vecteurs directeurs les vecteurs de coordonnées ( b c a, 1, 0 et ( a, 0, 1. 7

9 1.3.4 Applications 1. Condition analytique d'orthogonalité de deux droites. Si les deux droites (D et (D de vecteurs directeurs respectifs u(a, b, c et u (a, b, c. On a : (D (D u. u = 0 aa + bb + cc = 0 2. Condition analytique d'orthogonalité d'une droite et d'un plan. Soit (D une droite de vecteur directeur u(α, β, γ et (P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0. La droite (D est orthogonale au plan (P si, et seulement si, les vecteur u(α, β, γ et n(a, b, c sont liés. 3. Condition analytique de parallélisme et de perpondicularité de deux plans Soit (P et (P les plans d'équations respectives (P : ax + by + cz + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0 On a donc (P : a x + b y + c z + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0 (P (P n(a, b, c et n (a, b, c sont liés 4. Distance d'un point à un plan (P (P aa + bb + cc = 0 Soit A(x 0, y 0, z 0 un point de l'espace et (P un plan d'équation : ax+by+cz +d = 0. La distance du point A au plan (P c'est la distance du point A à sa projection orthogonal H sur (P. Or, soit n(a, b, c un vecteur normal à (P et (x 1, y 1, z 1 les coordonnées de H ; on a : n. HA = a(x 0 x 1 + b(y 0 y 1 + c(z 0 z 1 = ax 0 + by 0 + cz 0 ax 1 by 1 cz 1 soit enn puisque n. HA = ax 0 + by 0 + cz 0 + d H (P ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 par ailleurs, si l'on oriente la droite (AH dans le sens du vecteur n, on a 8

10 n. HA = n.ha = a 2 + b 2 + c 2.HA et d(a, (P = HA = ax 0+by 0 +cz 0 +d a 2 +b 2 +c 2 Remarque : Dans un plan rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, la distance du point A(x 0, y 0 à la droite (D d'équation ax + by + c = 0 est : d(a, (D = ax 0 + by 0 + c a 2 + b Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace Orientation de l'espace Soit (O, i, j, k un repère de l'espace et les points I, J et K dénis par OI = i, OJ = j, OK = k. L'observateur d'ampère est un personnage dont la tête est en K, les pieds en O et qui regarde le point I. Deux cas sont possibles : 1 Le point J est à gauche de l'observateur. 2 Le point J est à droite de l'observateur. Orienter l'espace, c'est choisir l'un de ces deux repères. Les repères du type choisi sont dites directs, traditionnellement, ce sont du cas n 1. Lorsque le repère (O, i, j, k est direct ( resp. indirect, on dit que la base ( i, j, k est directe ( resp. indirecte Permuter deux vecteurs d'un repère change l'orientation : si (O, i, j, k est direct alors (O, j, i, k est indirect. Une permutation circulaire sur les vecteurs d'une base ne change pas l'orientation : si (O, i, j, k est direct, (O, j, k, i et (O, k, i, j sont également des repères directs Denitions et propriétés Dénition Soient u et v deux vecteurs de l'éspace orienté ; A, B et C trois points tels que : AB = u et AC = v Le produit vectoriel de u et v est le vecteur noté u v déni par : Si u et v sont colinéaires, alors u v = 0 Si u et v ne sont pas colinéaires : u v est orthognal aux vecteurs u et v ; (u, v, u v est une base directe ; u v = u v sin BAC 9

11 Propriétés u, v et w trois vecteurs, α réel, A, B et C des points de l'espace. u v = 0 u et v colinéaires ; AB AC = 0 A, B, C alignés ; u v = v u; (α u v = u (α v = α( u v; u ( v + w = u v + u w; ( u + v w = u w + v w. Si ( i, j, k est une base orthonormée directe : i j = k, j k = i, k i = j. Interprétation géométrique du produit vectoriel Si u et v sont indépendants, avec u = AB et v = AC, on a : u v = AB.AC sin BAC = 2Air(ABC donc u v est l'aire du parallélogramme construit à partir de [OA] et [OB] et aussi le double de l'aire du triangle ABC. Aire du triangle ABC = 1 2 AB AC Expression analytique dans une base orthonormée directe ( i, j, k Si u(x, y, z et v(x, y, z alors : u v = (yz zy, zx xz, xy x y En eet : u v = (x i + y j + z k x i + y j + z k = (xx i i + xy i j + xz i k + yx j i + yy j j + yz j k + zx k i + zy k j + zz k k = (yz zy i + (zx xz j + (xy x y k Alors le produit vectoriel u v se calcule en écrivant : x y z x y z = yz zy zx xz xy x y Exercice : Montrer quels que soient les vecteurs de l'espace orienté, on a : u v 2 + ( u. v 2 = u 2 v 2 En particulier u v u. v ( avec égalité si et seulement si ( u. v = 0 Proposition et w, on a : Formule du double produit vectoriel : Pour tout vecteurs u, v, u ( v w = ( u. w. v ( u. v. w Applications du produit vectoriel 10

12 1. Équation cartésienne d unplan A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si : AB AC 0 AB AC est un vecteur normal au plan (ABC M est un point du plan (ABC si et seulement si AM. AB AC = 0( La traduction analytique de cette égalité donne une équation cartésienne du plan (ABC 2. Distance d un point M à un plan(abc La distance d'un point M à un plan (ABC est donnée par : AM. AB AC AB AC. En eet : On a d(m, (ABC = ax M +by M +cz M +d a, avec n(a, b, c vecteur normal au plan (ABC, 2 +b 2 +c 2 ici on prend n = AB AC et N (ABC AN. AB AC = 0, donc AM. AB AC d(m, (ABC = AB AC Exercice : Dans E 3 on se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de A sont AB,AC et AD. Montrer que son volume est ( AB AC. AD. Solution : Ici la base ( AB AC. AD. est directe, donc ( AB AC. AD > 0 ( ( AB AC et AD. ont le même sens. Il existe une base orthonormale ( i, j, k directe telle que AB = b i, AC = c i + c j et AD = d i + d j + d k, alors ( AB AC. AD = (bc k.d k = bcd : c'est bien le volume du parallélépipède. 1.5 Barycentre Dénitions et propriétés Dans la suite du chapitre, (E désignera soit un plan soit l'espace. Soit A 1, A 2,..., A n une famille de points de (E (confondus ou non, et une famille de réels. Soit O un point xé de (E. On a pour tout M de (E : α 1, α 2,..., α n Dénition Proposition Si MA i = ( MO + OAi 0, il existe un unique point G de (E tel que : GAi = 0 11

13 ce point G est déni par : OG = 1 P de points pondérés (A i,, i = 1, 2,..., n. OAi. On l'appelle barycentre de la famille Remarques 1. Si = 0, le vecteur MA i est constant. 2. Soit (O, i, j, k un repère de (E, ( si (E est l'espace, et si (x i, y i, z i les coordonnées de A i. Le point G a alors pour coordonnées : x G = 1 x i, y G = 1 y i, z G = 1 z i P 3. Si 0, on a pour tout M de (E Porpriétés : On a les propriétés suivantes : P MA i = ( MG P 1. le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on multiplie tous les coecients par un même réel non nul. 2. le barycentre de (A, α, (B, β appartient à la droite (AB ( si A B et α + β 0 3. le barycentre de (A, α, (B, β, (C, γ appartient au plan (ABC,( si A, B, C ne sont pas alignés et si α + β + γ 0 4. le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on remplace plusieurs points par leur barycentre partiel (quand il existe aecté d'un coecient égal à la somme de leurs coecients. Dénition On appelle isobarycentre de n points A 1, A 2,..., A n le barycentre de ces points aectés de leur coecients tous égaux. Remarque L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu de segment [A, B], celui de trois points A, B, C est le point de concours des médianes du triangle ABC.( centre de gravité du triangle ABC Applications Transformation de tout M de E : MA 2 i : Soit O un point arbitrairement xé de E, on a, pour 12

14 MA 2 i = = 2 MA i = ( Par suite deux cas se présentent : Premier cas : on obtient Remarque ( MO + OA i 2 MO MO.( OAi + OAi 2 0. Notons G le barycentre du système de points pondérés (A i, ; GAi = 0, MA 2 i = ( MG 2 + GA 2 i (1 Dans le cas particulier où n = 2 et où α 1 = α 2 = 1, la relation (1 s'écrit, en notant I le milieu de [A 1, A 2 ], Soit ( C'est la formule de la médiane MA MA 2 2 = 2MI 2 + IA IA 2 2 MA MA2 2 = 2MI2 + A 1A Deuxième cas : V ; on obtient alors = 0 Dans ce cas, le vecteur MA i est constant ; notons-le MA 2 i = 2 MO. V + OA 2 i O est un point arbitrairement xé de (E. L'étude de l'ensemble C a = {M E : On pose ϕ(m = MA 2 i. MA 2 i = a} 13

15 Premier cas : 0. P ϕ(m = a GM 2 = a ϕ(g par conséquent Si a ϕ(g P 0, C a est le cercle( ou la sphère de centre G a ϕ(g et de rayon P. P Si a ϕ(g < 0, C a = Deuxième cas : par conséquent { Si V = O = 0 ϕ(m = a OM. V = ϕ(o a 2 C ϕ(o = E C a =, pour tout a distinct de ϕ(o Si V O, C a est alors la droite (ou le plan orthogonale à la droite (O, V passant par le point H 0 de cette droite (O, V déni par OH 0 = ϕ(o a 2V L'étude de l'ensemble C a = {M E : MA MB = a} ( A B On voit immédiatement que : si a < 0, C a = si a = 0, C a = {A} Soit maintenant a > 0, on alors, puisque A B, si 1 a 2 0 MA MB = a MA = amb MA 2 a 2 MB 2 = 0 MA 2 a 2 MB 2 = 0 ( MA a MB.( MA + a MB = 0 considérons I le barycentre de système {(A, 1, (B, a} et J le barycentre de système {(A, 1, (B, a}, alors (1 a 2 IM. JM = 0, donc IM. JM = 0, par suite Ca est le cercle ( ou la sphère de diamètre [IJ]. si 1 a 2 = 0, c'est à dire a = 1, C a est la droite ( ou le plan orthogonale à (AB en son milieu. 14