PROTECTION D'UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D'INFLATION INTRODUCTION : ASSURANCE ET INFLATION 2 PRÉSENTATION DES COMMODITÉS

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1 PROTECTION D'UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D'INFLATION Fabrice BROSSART Actuaire IAF, Watson Wyatt Laurent FOESSEL Actuaire IAF, Cardif INTRODUCTION : ASSURANCE ET INFLATION 1.1 Lorsqu'un assureur détermine sa politique d'investissement, il se place le plus souvent dans un cadre d'analyse moyenne variance, soumis à la contrainte spécifique de respecter ses engagements envers les assurés. Les modèles de gestion actif-passif, dont l'emploi généralisé en assurance-vie s'étend de plus en plus en IARD, permettent de déterminer une telle politique. Toutefois, occupés à parfaire leurs modèles sur les actions, les obligations et les actifs immobiliers, les praticiens oublient à notre sens qu'ils pourraient avoir intérêt à considérer d'autres outils d'investissement. 1.2 Dans cet article, nous présentons des actifs méconnus, les commodités, qui possèdent la propriété originale de s'apprécier en période d'inflation et d'avoir un cycle déphasé par rapport aux actions et aux obligations, ce qui leur confère de bonnes propriétés de diversification. 1.3 Tout d'abord, nous nous attachons à décrire les commodités d un point de vue économique et à montrer leur utilité pour diversifier un portefeuille. Ensuite, nous proposons une méthode de prédiction des prix des commodités afin de prendre des positions d'arbitrage et de gérer activement notre portefeuille. Nous concluons sur l'apport des commodités dans une stratégie globale d'investissement. 1.4 Mots clés : Commodités, futures, Goldman Sachs Commodities Index, relation de cointégration, série non-stationnaire, tests de Dickey-Fuller. 2 PRÉSENTATION DES COMMODITÉS 2.1 Les commodités sont des contrats à terme sur matières premières, échangés sur des marchés comportant une chambre de compensation : il s agit donc de futures. A l origine, ces contrats étaient principalement utilisés pour se couvrir contre les BULLETIN FRANÇAIS D ACTUARIAT, Vol. 3, N 6, 1999, pp

2 16 F. BROSSART & L. FOESSEL risques de variation de prix, tant à la hausse qu à la baisse, mais ce sont des outils de plus en plus demandés dans le cadre de la diversification de portefeuille, voire dans un but spéculatif. 2.2 Sur les marchés dérivés de matières premières, on trouve, outre les commodités, des outils plus élaborés tels que des options d achat ou de vente, des collars et même des swaps. Remarquons que les commodités proposées par les banques à leurs clients sont souvent garanties au sens où elles sont adossées à des actifs sans risque, actifs du marché monétaire ou bons du Trésor américain. Dans la suite, nous nous intéressons uniquement à l'aspect commodité, et ignorons donc l'actif sans risque collatéral. 2.3 Théoriquement, le prix d une commodité peut se déduire du prix spot de la matière première sous-jacente par un raisonnement d absence d opportunité d arbitrage entre les marchés physiques et les marchés dérivés. Prenons l'exemple d'un négociant qui souhaite disposer d une tonne d'or dans six mois. Deux possibilités s'offrent à lui : Soit il achète un contrat futur et paiera le prix Prix future à la livraison dans 6 mois. Soit il achète aujourd'hui une tonne d'or et décide de la stocker. Il doit payer immédiatement le prix Prix spot et il supporte d'autres frais : d'une part il immobilise des fonds pendant six mois, ce qui se traduit par un coût d'opportunité r lié au taux d'intérêt et d'autre part il supporte le coût c de stockage du bien. En contrepartie, il retire de la possession anticipée du bien un bénéfice b. D'où la condition d'absence d'opportunité d'arbitrage : Prix future = Prixspot ( 1 + r b + c) (1.1) On dit qu il y a "normal backwardation" si le prix du future est inférieur au prix spot, "expectation hypothesis" s il est égal et "normal contango" s il est supérieur. 2.4 Le portefeuille que nous allons construire ici sera investi sur les 22 commodités qui composent l indice de référence GSCI, Goldmann Sachs Commodities Index. Ces

3 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION commodités sont elles-mêmes regroupées en 5 sous-indices sur lesquels nous effectuerons notre allocation tactique d'actifs : Energie, Métaux industriels, Métaux précieux, Agriculture, Bétail. Au sein de l indice GSCI, le poids de chaque commodité est proportionnel à la production mondiale de la matière première sous-jacente. Sous-indices Matière premières Poids dans l indice total en % Energie Pétrole brut 20,52 Essence 11,08 Fioul domestique 10,93 Gaz naturel 17,11 Total : 59,64 Métaux industriels Aluminium 2,90 Cuivre 1,93 Plomb 0,37 Nickel 0,50 Etain 0,12 Zinc 0,66 Total : 6,47 Métaux précieux Or 2,08 Platine 0,32 Argent 0,21 Total : 2,61 Agriculture Blé 6,85 Maïs 4,34 Graines de soja 2,39 Coton 2,66 Sucre 2,29 Café 1,57 Cacao 0,29 Total : 20,39 Bétail Boeuf sur pied 6,77 Cochon sur pied 4,11 Total : 10,89 Tableau 1 : Composition de l'indice GSCI au 11 juillet L idée d investir sur le marché des commodités traduit la préoccupation des investisseurs d incorporer des actifs réels dans leurs portefeuilles. Sur une très

4 18 F. BROSSART & L. FOESSEL longue période, on constate que les commodités sont aussi performantes que les actions et les obligations pour une volatilité comparable. Période du 31/12/69 au 31/12/94 Rendements annualisés Déviation standard Ratio de Sharpe du rendement marginal 1 GSCI S&P Obligations d Etat Or Liquidités Tableau 2 : Comparaison des rendements des commodités, des actions et des obligations 2.6 Mais surtout, le cycle des commodités est décalé par rapport à celui des actions et des obligations, cela se vérifie empiriquement par des corrélations négatives entre les rendements. En effet, les prix des actifs financiers traditionnels correspondent à des cash-flow futurs alors que les prix des commodités reflètent l activité économique à très court terme. Ainsi, en période d expansion économique et de hausse des taux d intérêt, les commodités sont les actifs financiers les plus performants. De plus, l adossement à des actifs sans risque rend les commodités plus performantes que les marchés spots de matières premières. PNB H a u s s e d e s obligations Hausse des a c tio n s Baisse des actions Baisse des obligations B a is s e d e s com m odities Taux d'intérêt Hausse des com m odities C roissance économ ique Rendem ent des bons du Trésor Récession Redressem ent Croissance Graphe 1 : Cycle économique et cycle financier En période de faible croissance économique ou de récession, les taux d'intérêt ont souvent tendance à baisser. Les actifs à revenus fixes, comme les obligations, s'apprécient alors que le cours des matières premières baisse. Lorsque la reprise économique approche, les marchés l'anticipent et les actions montent. Ensuite, en période d'expansion économique, les taux d'intérêt augmentent car l investissement

5 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 19 reprend. Comme la machine économique s'échauffe, la demande de crédit se fait plus forte, ce qui encourage encore la hausse des taux. Avec cette hausse, la valeur actuelle des cash-flows futurs baisse et les actifs à revenu fixe baissent. Le cours des matières premières monte car la demande augmente. Les commodités s apprécient donc. 2.8 Historiquement, dans les périodes d'expansion économique et de hausse des taux d'intérêt, les commodités se sont révélées plus performantes que les actions des sociétés opérant dans le secteur des matières premières : c est ce qu on constate sur le tableau 3 ci-dessous. En outre, les commodités, du fait qu'elles sont adossées à des actifs au rendement certain, sont plus performantes que les marchés spots de matières premières. A long terme, les rendements moyens des commodités et de ces actions sont équivalents même s'ils évoluent de façon inverse. Les volatilités respectives sont pratiquement égales Taux d intérêt américain (%) S&P Actions du secteur de l aluminium Indice JPMCI Aluminium S&P Actions Métaux divers Indice JPMCI Cuivre S&P Actions Pétrolières Indice JPMCI Pétrole brut Période de hausse des taux 0,4 15,6 4,1 19,9 8,2 34,4 Période de baisse des taux 18,2 6,1 15,1 1,7 12,6 3,3 Rendements moyens 10,1 10,5 10,1 9,9 10,6 17,4 Volatilité 26,5 22,5 30,7 20,0 21,6 30,8 Tableau 3 : Rendements annualisé des sous-indices actions S&P vs Indices de commodités JP Morgan 2.9 Bien sûr, le prix des commodités est volatil et très sensible à la spéculation. En période de faible croissance économique et de baisse des taux, les commodités sont moins performantes que les autres actifs financiers. D'autre part, les coûts de transaction sont plus élevés pour les commodités que pour les actions car il faut en permanence réactualiser sa position sur les marchés à terme alors que l'achat d'une action représente une transaction unique. Si l'on investit uniquement sur des indices, qui sont en eux-mêmes relativement diversifiés, on peut espérer avoir une volatilité modérée. 1 Rendement total moins rendement de l actif sans risque divisé par la déviation standard

6 20 F. BROSSART & L. FOESSEL 3 PRÉDICTION DU PRIX DES COMMODITÉS 3.1 Pour notre modélisation, nous disposons des séries des prix des 22 matières premières sous-jacentes aux commodités, de 1985 à Nous avons également des séries macro-économiques : le PNB de l OCDE, un indice d inflation de l OCDE, un indice de production industrielle, un indice de la production d acier. Par ailleurs, pour chaque matière première, nous disposons de séries de grandeurs réelles s y rapportant ; en général ce sont des productions mondiales, des importations et des exportations mondiales, les stocks mondiaux. La période pour laquelle nous disposons de toutes les données nécessaires s'étend de février 1986 à janvier 1992, soit 72 observations mensuelles. Série Moyenne Ecart-type Minimum Maximum Skewness Kurtosis Pétrole brut 5,97 0,097 5,8 6,19 0,42-0,82 Essence -0,57 0,24-1,15-0,013 0,27-0,43 Fioul -0,64 0,21-1,09 0,06 0,8 1,48 Gaz naturel 6,17 0,16 5,82 6,43-0,45-0,64 Aluminium 4,3 0,28 3,9 5,08 0,5-0,45 Cuivre 4,59 0,28 4,07 5,06-0,61-0,84 Plomb 3,3 0,23 2,8 3,87-0,45 0,13 Nickel 5,88 0,49 5,07 6,73-0,13-1,01 Etain 5,69 0,16 5,49 6,13 0,96 0,71 Zinc 3,93 0,31 3,31 4,48-0,11-1,2 Or 5,97 0,09 5,8 6,19 0,42-0,82 Platine 6,17 0,15 5,82 6,43-0,45-0,64 Argent 6,29 0,19 5,92 6,72 0,003-0,62 Blé 5,77 0,17 5,5 6,08 0,22-1,35 Maïs 5,41 0,19 4,99 5,79-0,59-0,58 Soja 6,39 0,15 6,17 6,89 1,02 0,57 Coton 4,18 0,18 3,47 4,5-1,39 3,85 Sucre 2,28 0,43 0,39 2,96-1,15 3,71 Café 4,52 0,42 3,77 5,45 0,42-0,36 Cacao 4,16 0,27 3,7 4,57-0,16-1,38 Boeufs 4,24 0,1 3,99 4,39-0,7-0,43 Cochons 3,88 0,13 3,63 4,18 0,14-0,69 Tableau 4 : Statistiques des logarithmes des prix Pour modéliser l'évolution des prix des commodités, nous avons recours à la théorie de la cointégration. L'idée centrale de cette théorie est d'effectuer des

7 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 21 combinaisons linéaires de séries non-stationnaires pour arriver à une série résiduelle stationnaire. C'est-à-dire que nous supposons qu'il existe un prix d équilibre ou "juste prix" autour duquel le prix de la commodité considérée varie sans toutefois trop s en écarter, une force de rappel intrinsèque assurant la stationnarité du système. Nous ne supposons donc pas que les marchés sont efficients à tout instant, même si nous croyons qu ils le sont en moyenne, mais au contraire qu il existe des périodes de sur ou sous-évaluation du prix de la commodité par rapport à son "juste prix". 3.3 Nous cherchons en effet à mettre en évidence des relations de causalité de long terme entre le prix de chacune des commodités et un certain nombre de déterminants macroéconomiques ou spécifiques à la commodité considérée. Seules les relations économiquement justifiables seront prises en compte. 3.4 Tout d abord, des tests de stationnarité ont été réalisés sur chacune des séries considérées. Il s agit essentiellement des tests simples et augmentés proposés par Dickey et Fuller. Des composantes déterministes ont été adjointes et la présence d une racine unitaire a été testée selon l approche séquentielle proposée par Jobert. Nous avons conclu à un ordre d'intégration égal à un pour chacune des commodités et à la stationnarité pour ce qui est des séries considérées en différences premières. 3.5 La présence d'une relation de cointégration a ensuite été testée. Des tests très similaires à ceux de Dickey et Fuller ont été réalisés sur les résidus issus de l'estimation de la relation de long terme. Grâce à cette relation de long terme et à des hypothèses sur les variations de court terme des variables macro-économiques, nous pouvons chaque mois prévoir un prix pour chaque commodité le mois suivant et en déduire une espérance de rendement. 3.6 L estimation directe de la série résiduelle à partir de l'équation de long terme est biaisée car, malgré la propriété de surperconvergence des estimateurs, il existe des biais en petits échantillons. Nous avons donc cherché à estimer la dynamique du système et nous avons adopté pour cela la modélisation proposée par Phillips et Loretan. L'estimation non-linéaire des paramètres nous a alors permis de reconstituer une série résiduelle de long terme. Pour la clarté de notre exposé, nous détaillons la démarche suivie pour la commodité argent.

8 22 F. BROSSART & L. FOESSEL EXEMPLE DE LA COMMODITÉ ARGENT 3.7 Nous nous proposons ici de décrire de manière empirique, à partir de l une de nos modélisations, la méthodologie que nous avons appliquée à chacune de nos séries. Nous prendrons pour exemple la modélisation de la série du prix de l argent (Silver en anglais) réalisée sur la période 84/12 à 94/01. La première étape consiste à déterminer les variables explicatives candidates, puis à réaliser des tests de stationnarité sur les séries retenues. Toutes nos variables sont exprimées en logarithme à l exception du taux d intérêt. Nous avons retenu essentiellement quatre variables explicatives : le logarithme du PNB, le logarithme de l indice du prix de l or, celui de la production d or ainsi que le taux d intérêt en niveau. 3.8 L étude graphique de la série tout comme celle de son corrélogramme simple et partiel peut permettre d appréhender de manière intuitive le caractère stationnaire ou non de la série étudiée. Des tests de stationnarité basés sur l approche proposée par Dickey-Fuller ont été réalisés pour chacune de nos cinq séries. Nous ne détaillerons l approche que pour la série représentative de l indice du prix de l argent. G rap h e 2.1 : S ilver, série en lo g arith m e 6,9 6,7 6,5 6,3 6,1 5,9 5,7 84:12:00 85:06:00 85:12:00 86:06:00 86:12:00 87:06:00 87:12:00 88:06:00 88:12:00 89:06:00 89:12:00 90:06:00 90:12:00 91:06:00 91:12:00 92:06:00 92:12:00 93:06:00 93:12:00

9 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 23 Graphe 2.2 : Autocorrélations de la série Silver 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, G raphe 2.3 : Autocorrélations partielles de la série Silver 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0, Les deux corrélogrammes figurant ci-dessus paraissent traduire une nonstationnarité (voire une non-linéarité) de la série considérée en logarithme (la décroissance du corrélogramme simple se fait en effet de manière hyperbolique et non pas exponentielle). L étude de la série différentiée à l ordre un peut permettre de déterminer la nature de la persistance (mémoire longue ou courte). Il convient néanmoins de remarquer que différentier la série conduit à perdre de l information. Graphe 2.4 : Silver, série différentiée à l'ordre un 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0,2 84:12:00 85:07:00 86:02:00 86:09:00 87:04:00 87:11:00 88:06:00 89:01:00 89:08:00 90:03:00 90:10:00 91:05:00 91:12:00 92:07:00 93:02:00 93:09:00

10 24 F. BROSSART & L. FOESSEL Graphe 2.5 : Autocorrélations de la série Silver différentiée à l'ordre un 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,

11 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 25 1,0 Graphe 2.6 : Autocorrélations partielles de la série Silver différentiée à l'ordre 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0, L étude graphique de la série ainsi que celle de son corrélogramme semble traduire une non-stationnarité qui ne se retrouve pas lorsque l on considère la série différentiée à l ordre un. Les tests de stationnarité réalisés sont séquentiels. Nous testons tout d abord le nombre de retards à introduire dans le cadre du modèle le plus général. Nous sommes conduits à en conserver un seul La procédure décrite ci-dessus résulte de la mise en oeuvre des modèles suivants, estimés de manière séquentielle, pour tester la stationnarité des séries : Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4 Modèle 5 y t = α1 + β1 t + ψ1 yt 1 + yt yt p + ut (2.1) y t = α2 + β2 t + yt yt p + ut (2.2) y t = α3 + ψ3yt 1 + yt yt p + ut (2.3) y t = α4 + yt yt p + ut (2.4) y t = ψ5 yt 1 + yt yt p + ut (2.5) 3.12 Nous estimons tout d abord l équation générale avec constante et trend. La statistique de Student du coefficient associé à la variable dépendante retardée y t-1, (l indice du prix de l argent retardé) est égale à La valeur critique fournie par les tables de Dickey-Fuller est Nous sommes donc ici conduits à accepter l hypothèse nulle de présence d une racine unitaire. La statistique de Fisher testant de manière conjointe la présence d une racine unitaire et l absence de trend est égale à 1.9. Nous sommes donc conduits à accepter cette hypothèse Nous estimons alors une régression intermédiaire dans laquelle nous ôtons la variable dépendante retardée. Il s agit ici de déterminer la significativité du trend. La statistique de Student obtenue pour 2 (0.524) nous conduit à en accepter la

12 26 F. BROSSART & L. FOESSEL nullité. Nous estimons alors le modèle général dans lequel le trend n'apparaît plus. Nous sommes conduits ici à accepter l hypothèse nulle de présence d une racine unitaire et de nullité de la constante que ce soit à partir du Fisher (1.34) ou à partir des statistiques de Student (respectivement ; 1.57) Nous testons donc finalement le modèle général sans constante et sans trend. La statistique de Student du coefficient associé à y t-1 nous amène à conclure à la nonstationnarité de la série. La procédure est alors réitérée pour la série considérée en différences premières qui se révèle stationnaire. Nous concluons finalement à une série intégrée d ordre 1 : la série du prix de l'argent est "difference stationary" L étape suivante repose sur l'estimation de la relation de long terme liant les séries. Ces estimations sont effectuées grâce au logiciel RATS. L'estimation statique nous fournit une première approximation du vecteur cointégrant (dans cette formule, toute les variables sont en logarithme sauf le taux d intérêt) : Période d estimation : décembre 1984 à décembre 1994 Silver = Pnb Taux.Int Or 4. 63Prod.Or (2.6) 3.16 La statistique de Durbin-Watson issue de cette première régression est égale à Le test CRDW conclurait donc ici à l'existence d'une relation de cointégration entre les séries. Le test de Dickey-Fuller augmenté réalisé sur les résidus de cette régression conduit à l'obtention d'une statistique de Student associée à la variable dépendante retardée égale à (il convient d'ajouter 3 retards pour blanchir les résidus issus du test). Compte-tenu du nombre de variables présentes dans la relation de cointégration, la valeur critique est ici égale à au seuil 95%. Nous concluons donc ici à l'absence de racine unitaire dans le processus générant les résidus et à l'existence d'une relation de cointégration entre les séries L'estimation de la relation dynamique est réalisée à partir de la modélisation préconisée par Phillips et Loretan. Une initialisation des paramètres est préalablement réalisée. Le modèle estimé de manière non linéaire semble converger rapidement : seules 5 itérations sont nécessaires. Nous obtenons la relation de court terme ou dynamique liant les variables introduites. Période d estimation : décembre 1984 à décembre 1994

13 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 27 Silver = Pnb Taux.Int Or 5.13 Prod.Or + t 0.76 Silvert Pnbt Taux.Intt (11.25) 0.58 Or Prod.Or 3.69 Pnb (3.09) ( 2.2) t (3.99) (2.56) t (3.06) t ( 4.15) t t (2.79) t ( 4.7) Or t t 1 (2.7) Prod.Or t 1 + SSE = 4.1% ² R = 96% DW = 1.74 Les t de Student figurent entre parenthèses. La force de rappel est relativement importante, 24 % de l'ajustement est réalisé dans le mois suivant la survenue d'un choc, et est par ailleurs très significative. L'erreur relative commise sur l'indice du prix de l'argent est faible : 4.1 %. 96 % de la variance de ce même indice sont explicités par la modélisation Les graphiques représentant les résidus de cette modélisation dynamique tout comme l'ajustement obtenu figurent ci-dessous : Graphe 2.7 : Série brute et ajustée, relation dynam ique 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6,2 6,1 6 5,9 5,8 Série brute Série ajustée 84:12:00 85:08:00 86:04:00 86:12:00 87:08:00 88:04:00 88:12:00 89:08:00 90:04:00 90:12:00 91:08:00 92:04:00 92:12:00 93:08:00

14 28 F. BROSSART & L. FOESSEL Graphe 2.8 : Résidus de la relation dynam ique 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15 85:01:00 85:07:00 86:01:00 86:07:00 87:01:00 87:07:00 88:01:00 88:07:00 89:01:00 89:07:00 90:01:00 90:07:00 91:01:00 91:07:00 92:01:00 92:07:00 93:01:00 93:07:00 94:01: Nous déduisons de l'équation précédente la valeur du vecteur cointégrant : Silvert = Pnbt Taux.Intt Ort Prod.Ort (2.8) Les signes des coefficients issus de cette modélisation sont conformes à l'intuition : le prix de l'argent est influencé de manière positive par celui de l'or, a contrario une relation décroissante le relie à la production d'or. Une hausse du taux d'intérêt à court terme conduit à une augmentation du prix de l'argent ce qui semble logique puisque l'argent peut être conçu comme une valeur refuge. De plus, une hausse du taux d'intérêt à court terme traduit généralement une accélération de l'activité économique, et comme nous l'avons signalé précédemment, les rendements des actions et des obligations tendent alors à diminuer alors que les cours des matières premières s'envolent Les graphiques représentant les résidus de la relation de long terme ainsi que l'ajustement obtenu figurent ci-dessous : Graphe 2.9 : Série brute et ajustée, relation de long term e 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6,2 6,1 6 5,9 5,8 Série brute Série ajustée 84:12:00 85:08:00 86:04:00 86:12:00 87:08:00 88:04:00 88:12:00 89:08:00 90:04:00 90:12:00 91:08:00 92:04:00 92:12:00 93:08:00

15 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 29 Graphe 2.10 : Résidus de la relation de long term e 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0,2-1 écart type + 1 écart type 85:01:00 85:07:00 86:01:00 86:07:00 87:01:00 87:07:00 88:01:00 88:07:00 89:01:00 89:07:00 90:01:00 90:07:00 91:01:00 91:07:00 92:01:00 92:07:00 93:01:00 93:07:00 94:01: Les relations de cointégration obtenues pour l'ensemble de nos indices (seuls deux ne se sont pas prêtés à ce type de modélisation) paraissent satisfaisantes au sens où les signes des coefficients apparaissant dans les relations de long terme sont conformes à l intuition économique. Soulignons que cette facilité d'interprétation économique est un des principaux atouts de la théorie de la cointégration, notamment face aux modèles APT qui introduisent des facteurs moins intuitifs et nécessitent des hypothèses plus fortes. 4 GÉRER DYNAMIQUEMENT UN PORTEFEUILLE DE COMMODITÉS 4.1 Dans cette partie, nous cherchons à gérer dynamiquement un portefeuille de commodités en mettant à profit la modélisation exposée dans la partie précédente pour prendre des positions d'arbitrage. Nous évaluons notre performance par rapport à un portefeuille fixe de référence, dont la composition est celle du tableau 1 (indice GSCI). 4.2 Notre problème d'optimisation d'un portefeuille de commodités revient à choisir un vecteur de pondération des 5 catégories de commodités, permettant de maximiser le rendement du portefeuille. Nous considérons que le rendement espéré de chacune des commodités est obtenu en comparant le prix actuel à l'espérance du prix pour le mois suivant issue de la partie précédente. Après avoir étudié la normalité des rendements, nous retenons comme critère d'optimisation la moyenne-variance. La première maximisation se fait sous une contrainte de volatilité en utilisant la matrice de variance-covariance historique des rendements des sous-catégories du GSCI. La résolution s'effectue sous SAS-IML en utilisant la méthode d'optimisation sous contrainte de Kuhn et Tucker.

16 30 F. BROSSART & L. FOESSEL 4.3 Nous pouvons alors comparer les performances de notre portefeuille avec celles du portefeuille fixe. Le rendement du portefeuille fixe est obtenu en multipliant les rendements historiques par un vecteur fixe. Notre portefeuille est construit en pondérant ces mêmes rendements historiques par le vecteur des pondérations des commodités retardé d une période, car les gains escomptés en t-1 sont constatés en t. Notre stratégie d'allocation active est gagnante car elle permet d'augmenter le rendement annuel de près de 50 % et de diminuer la volatilité de 6 %. Ce résultat est obtenu en considérant que notre investisseur a un comportement attentiste durant les premiers mois de la Guerre du Golfe et suit alors le benchmark. La performance de notre portefeuille reste tout aussi bonne lorsque nous supprimons l incidence de la hausse des prix des produits pétroliers sur l indice GSCI. La frontière efficiente, obtenue en faisant varier l'aversion au risque de notre investisseur, présente une forme satisfaisante. Graphe 3.1 : Evolution com parée des portefeuilles optim isés vs Benchm ark GSCI P o rte fe u ille m o d é lis é M odélisation sans effet G uerre du Golfe GSCI Graphe 3.2 : Frontière efficiente X GSCI Volatilité annuelle (% ) 4.4 Il est possible d'introduire une contrainte sur le terme de tracking error, qui mesure la distance au sens du risque relatif entre notre portefeuille et le benchmark. En

17 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 31 maintenant la tracking error en deçà de 8 %, l'augmentation de rendement annuel reste égale à 27 %. Il est possible pour notre investisseur de choisir un portefeuille de volatilité minimale et non plus de rendement maximal. Ceci revient à choisir une forte aversion au risque. Par rapport au benchmark, la volatilité chute alors de 27 % tandis que le rendement augmente de 12 %. 5 INTÉGRER LES COMMODITÉS DANS UNE STRATÉGIE GLOBALE D'ALLOCATIONS D'ACTIFS 5.1 Les excellentes propriétés de diversification des commodités apparaissent sans doute le plus nettement lorsque l'on considère le rendement d'un portefeuille classique, constitué à 60 % d'actions et à 40 % d'obligations dans une période hostile pour les marchés financiers, c'est à dire quand dans une économie forte, les opérateurs s'inquiètent de taux d'intérêt élevés et des pressions inflationnistes sur les prix et les salaires. Selon la banque Goldman Sachs, un tel portefeuille 60/40 investi entre décembre 1970 et mai 1995 aurait un rendement moyen de 9.6 % en période hostile, alors que l'introduction de 10 % de commodités dans ce portefeuille ramène le rendement moyen à 5.8 %. Les commodités peuvent donc avoir une fonction efficace pour limiter les pertes d'un portefeuille dans un contexte adverse. 5.2 Toujours sur une longue période, le tableau suivant montre le bénéfice que l'on peut retirer de l'introduction, même limitée, de l'introduction de commodités dans un portefeuille classique. % du portefeuille investi en GSCI Rendements annualisés Volatilité Ratio de Sharpe du rendement marginal

18 32 F. BROSSART & L. FOESSEL Tableau 5 : Impact de l'introduction des commodités dans un portefeuille investi à 60 % S&P 500/ 40% Bons du Trésor américain, de janvier 1970 à juin CONCLUSION 6.1 Cette étude a permis de décrire les propriétés caractéristiques des commodités et leur utilité pour diversifier un portefeuille. La théorie de la cointégration permet de modéliser l'évolution des prix d'équilibre de ces matières premières sur le long terme. Les résultats sont à ce titre très satisfaisants, puisque 20 relations de cointégration significatives et économiquement cohérentes ont été établies sur 22 commodités. 6.2 Ces relations mettent en évidence les écarts entre les prix observés et les prix d'équilibre qui permettent de déterminer des espérances de rendement exploitées dans le processus d'allocation tactique des commodités. Cela nous permet de constituer un nouveau panier de matières premières nettement plus performant que l'indice de référence. 6.3 Certaines améliorations peuvent être apportées à notre modélisation. Notamment, il serait possible d'affiner les relations de cointégration en prenant en compte non pas les variables macroéconomiques (production, consommation...) mondiales, mais celles des principaux pays producteurs ou consommateurs afin de mieux capter leur incidence sur les prix. Notons de plus que toutes nos optimisations ont été effectuées in-sample ; une suite envisageable à cette étude serait de poursuivre les prévisions out-of-sample afin de tester la pertinence des relations de cointégration obtenues sur de nouvelles données et de confirmer l'efficacité du programme d'optimisation. Enfin, on pourrait s'intéresser aux performances relatives des commodités par rapport aux actions et aux obligations pour allouer tactiquement nos actifs simultanément sur trois types de marchés. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES BARNHART, Scott W., "The effects of Macroeconomic Announcements on Commodity Prices". The American Journal of Agricultural Economy.

19 PROTECTION D UN PORTEFEUILLE CONTRE LE RISQUE D INFLATION 33 BARRETT, Brian W. and KOLB, Robert W., "Analysis of Spreads in Agricultural Futures". The Journal of Futures Markets. BECK, Stacie E., "Cointegration and Market Efficiency in Commodities Futures Markets". Applied Economics. BRESSON G. et PIROTTE A., "Econométrie des séries temporelles : théories et applications". P.U.F. BUTEL B. et CONORT X., "Sophistication des modèles d allocation d actifs financiers". Thèse d actuariat I.A.F. CHALMAIN Philippe, Cyclope 1996, les marchés mondiaux. Rapport sur les cycles et les orientations des produits et des échanges. DICKEY David A., HASZZA D.P. and FULLER Wayne A., "Testing for unit roots in seasonal time series". Journal of the american statistical association, vol. 79, DICKEY David A., PANTULA Sastry G., "Determining the order of differencing in autoregressive processes". Journal of economic statistics, 1987, vol. 5, n 4 (octobre). ENGLE R.F. and GRANGER C.W.J., "Cointegration and error correction : Representation, estimation and testing". Econometrica 55, FANCHON, Phillip and WENDEL Jeanne "Estimating VAR Models under Non- Stationarity and Cointegration : Alternative Approaches for Forecasting Cattle Prices". Applied Economics. FINK, Robert E., "Long Term Factors in the Cattle Price Outlook". GANGLOFF, JANTET et KOMARNI Marchés à terme des taux d intérêt. Thèse d actuariat I.A.F. GHOSH, Asim "Cointegration and Error Correction Models : Intertemporal Causality between Index and futures Prices". The Journal of Futures Markets. GOURIEROUX C., Chapitre 6 : les modèles à facteurs. Introduction à l'économétrie de la finance. Notes de cours, ENSAE HARTPENCE M.L., SIKORAV J., Mars "Allocation tactique d'actifs : à la recherche de la valeur". Quants, publication de la Direction de la Recherche et de l'innovation du C.C.F. IRWIN, Scott H., GERLOW Mary E. and LIU, Te-Ru "The Forecasting Performance of Livestock Futures Prices : a Comparison to USDA Expert Predictions". The Journal of Futures Markets.

20 34 F. BROSSART & L. FOESSEL JORDAN, KENRICK H. and VANSICKLE John J., "Integration and Behaviour in the US Winter Market for Fresh Tomatoes". The Journal of Agricultural and Applied Economy. JOBERT Thomas Tests de stationnarité, cointégration et modélisation multivariée in La persistance du chômage de Pierre Yves HENIN, Economica 1993, p KREHLIEL T, ADKINS Lee C., "Cointegration tests of the unbiased expectations hypothesis in Metal markets". The Journal of Futures Markets LIU, Shi-Miin, BRORSEN, B. WADE, OELLERMANN Charles M. and FARRIS, Paul, L., "Forecasting in the Near Basis of Live Cattle". The Journal of Futures Markets. PHILLIPS P.C.B. et LORETAN M., "Estimating long-run economic equilibria". Review of Economic Studies 58, REBOUL P., "Modèle de prévision d actions et applications à la gestion quantitative". Thèse d actuariat I.A.F. SEAMAN, DAVID A.,1996. Special Report : Commodity-Linked Investments. J.P. Morgan Securities Inc., Commodity Securities Research. SERLETIS A., "A cointegration analysis of petroleum futures prices". Energy Economics, Volume 16 number 2. SHARPE, WILLIAM F., ALEXANDER, GORDON J. and BAILEY, JEFFREY V., Investments. Fifth edition. STRONGIN, Steve "Commodity Investing : Long-Run Returns and the Function of Passive Capital". Goldman Sachs Commodities Research. TOMEK, WILLIAM G "Dependence in Commodity Prices : a Comment". The Journal of Futures Markets. Fabrice BROSSART Watson Wyatt 26, rue de la Pépinière Paris Tél. : Fabrice_Brossart@watsonwyatt.co.uk Laurent FOESSEL Actuariat Prévoyance CARDIF 4, rue des Frères Caudron Rueil Malmaison Cedex laurent.foessel@cardif.fr