Chap.0 Introduction à l enseignement de physique

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1 Chap.0 Introduction à l enseignement de physique Intro : Dans ce chapitre préliminaire, on introduit la notion d analyse dimensionnelle, ainsi que quelques outils mathématiques indispensables : les équations différentielles et les développements limités.. Analyse dimensionnelle.. Dimension et unité d une grandeur physique Un phénomène physique peut être appréhendé grâce à l existence de grandeurs observables et mesurables. La dimension d une grandeur physique spécifie en quelque sorte sa «nature». Une grandeur physique peut avoir pour dimension une longueur, un temps, une résistance électrique, une énergie, etc. On dit aussi que la grandeur est homogène à une longueur, un temps, etc. Une grandeur sans dimension est dite adimensionnée. Il est essentiel de distinguer les notions d unité et de dimension. Une grandeur homogène à une longueur peut être exprimée en mètres, en centimètres, en pouces, en miles, etc. Une unité permet d affecter une valeur numérique à une grandeur, en faisant référence à un étalon de mesure. Prenons un exemple pour bien distinguer les notions d unité et de dimension. Un angle est une grandeur adimensionnée, puisque défini par le rapport de deux longueurs. Vous connaissez pourtant deux unités pour exprimer la valeur d un angle : le degré et le radian. Remarque : Une grandeur physique peut être un scalaire, c est-à-dire être entièrement définie par la donnée d un seul nombre (masse, charge électrique, temps, longueur ). Elle peut être aussi vectorielle ; il est alors nécessaire de fournir trois nombres pour la définir (vecteur vitesse, force, champs électriques et magnétiques ). Les composantes d un vecteur ont toutes la même dimension... Système International (S.I.) En physique, on constate que l on ne peut pas avoir plus de sept grandeurs dimensionnellement indépendantes. Par exemple, les dimensions d une vitesse, d une longueur et d un temps ne sont pas indépendantes : la vitesse est une longueur rapportée à un temps. Il est donc possible de définir un groupe de sept grandeurs de base, à partir desquelles toute autre grandeur peut être ramenée. Le choix de ces grandeurs fondamentales n est pas unique. Celles retenues par les physiciens, et qui définissent du même coup le Système d unités International (S.I.), sont représentées dans le tableau ci-dessous. Grandeur Symbole dimensionnel Unité S.I. Symbole unité masse M kilogramme kg longueur L mètre m temps T seconde s intensité électrique I ampère A température kelvin K quantité de matière N mole mol intensité lumineuse J candela cd Pour exprimer de manière formelle la dimension d une grandeur, on utilise la notation suivante : Accélération a : a LT d unité m.s - Charge électrique q : q IT d unité A.s (définit le coulomb, C) Force F : Energie E : Constante gaz parfait R : F MLT d unité kg.m.s - (définit le newton, N) E ML T d unité kg.m.s - (définit le joule, J) R ML T N d unité J.K -.mol - Moreggia PCSI 0/0

2 De manière générale, la dimension d une grandeur G peut se décomposer de la manière suivante : a a a a4 a5 a6 a G M L T I N J 7 où les exposants a, a,, a7 sont des nombres réels. Pour une grandeur G adimensionnée, on a donc G. Pour les grandeurs physiques autres que celles présentées dans le tableau, on définit parfois des unités secondaires. L ohm, le joule, le coulomb, l henry, le farad en sont quelques exemples. On peut exprimer ces unités secondaires en fonction des unités S.I. en utilisant l analyse dimensionnelle présentée ci-dessus. Il est indispensable d avoir une bonne culture générale en physique pour utiliser efficacement l analyse dimensionnelle. Exercice d application : déterminer la dimension et l unité S.I. des grandeurs suivantes. Champ de pesanteur g. Pulsation, que l on trouve dans l expression, où est le temps. Masse volumique 4. Constante de gravitation G 5. Résistance multiplié par une capacité RC.. Homogénéité d une formule Une formule est homogène lorsque les deux membres de l égalité ont même dimension. Ecrire une formule non homogène est une erreur grave. Si une expression n est pas homogène, elle est nécessairement fausse, la réciproque étant fausse. L analyse dimensionnelle est un outil très puissant pour vérifier l homogénéité d une expression littérale. Cela permet de tester une formule, pour détecter efficacement une erreur de calcul. Régles de l analyse dimensionnelle o On ne peut additionner que des termes ayant la même dimension o La dimension d un produit est égale au produit des dimensions o La dimension de est égale à l inverse de la dimension de o L argument des fonctions suivantes doit être sans dimension (exp, ln, cos, sin, ch, sh) Pour vérifier l homogénéité d une formule, une méthode assez naturelle consisterait à déterminer la dimension de chaque terme en la ramenant aux sept dimensions fondamentales : on n utilisera pas cette méthode. Elle est généralement inefficace, car lourde en calculs. Il est nettement préférable de se ramener à des dimensions intermédiaires. Exercice d application : vérifier l homogénéité des formules suivantes. RC = L / R (résistance, capacité, inductance). P = RT / M gaz (pression, masse volumique, constante gaz parfait, température, masse molaire). LC (pulsation, inductance, capacité) 4. kx = mv (constante raideur ressort, position, masse, vitesse).4. «Deviner» la forme d une relation entre plusieurs grandeurs physiques Lors de l étude d un nouveau phénomène, l analyse dimensionnelle permet parfois de deviner la forme du résultat recherché avant de faire de longs calculs. Cette méthode est intéressante dans les problèmes à petit nombre de paramètres. Considérons un exemple, celui de la chute libre dans le vide d un corps lâché sans vitesse initiale. Quelle est l expression littérale de sa vitesse lors de son arrivée au sol? Moreggia PCSI 0/0

3 . Résolution d équations différentielles linéaires à coefficients constants.. Définition Une équation différentielle (ED), comme son nom l indique, est une équation où apparaissent explicitement les fonctions dérivées d une ou plusieurs fonctions. Les ED où apparaissent des fonctions à plusieurs variables se nomment équations aux dérivées partielles. On en étudiera en fin d année. Résoudre une ED consiste à trouver la ou les fonctions inconnues qui vérifient l équation. Les équations différentielles sont omniprésentes en physique. C est sous cette forme mathématique que l on trouve le plus souvent les lois fondamentales de la physique. De manière générale, très peu d équations différentielles sont solubles analytiquement (i.e. avec un papier et un crayon). C est une des raisons pour lesquelles les simulations numériques sont si souvent utilisées par les physiciens et les ingénieurs. On sait bien résoudre les ED linéaires à coefficients constants. Le terme «linéaire» signifie ici que ces ED ne contiennent pas entre autres de produit de fonctions, seulement des sommes de fonctions. Au programme de prépa, vous devez savoir résoudre les ED linéaires à coefficients constants du premier et du second ordre... ED du premier ordre «Premier ordre» signifie que l ordre de dérivation le plus élevé est égal à un. En notant y(t) la fonction recherchée, l écriture canonique (on peut toujours s y ramener) d une ED du premier ordre est la suivante : dy y f t dt La fonction f(t) est une fonction connue, et constitue ce qu on appelle le second membre de l équation. Méthode de résolution : En ce qui nous concerne, on se limitera aux ED dont le second membre est constant. Ce qui suit est un résultat mathématique qui peut être démontré. Nous l admettrons. La solution générale de l ED est la somme : o de la solution de l ED sans second membre, aussi appelée «équation homogène» o d une solution particulière de l ED (à deviner..) La constante d intégration est déterminée en appliquant les conditions initiales à la solution générale. Une seule condition est nécessaire pour déterminer la seule constante de la solution d une ED du premier ordre. Dans un circuit électrique, une tension vérifie l ED suivante, avec : Déterminer l expression littérale de pour tout instant, avec... ED du second ordre «Second ordre» signifie que l ordre de dérivation le plus élevé est égal à deux : d y dy a a y f t dt dt Moreggia PCSI 0/0

4 Méthode de résolution : En ce qui nous concerne, on se limitera aux ED dont le second membre est constant. La solution générale de l ED est la somme : o de la solution de l ED sans second membre, aussi appelée «équation homogène» o d une solution particulière de l ED (à deviner..) Les constantes d intégration sont déterminées en appliquant les conditions initiales à la solution générale. Deux conditions initiales sont nécessaires pour déterminer les deux constantes de la solution d une ED du second ordre. Solution de l équation homogène : Résolution du polynôme caractéristique r a r a 0, puis : o Si 0 o Si 0 o Si 0 y0t Aexp r t Bexp r t y0t A Bt exp rt y t AcosImr t exp Rer racines et racine double 0 t racines cpx conjuguées et Dans un circuit électrique, une tension vérifie l ED suivante, avec : Donner la dimension des paramètres et. Déterminer les expressions littérales de pour tout instant, selon les valeurs de. Déterminer les constantes d intégration dans le cas où le discriminant est positif, avec et.. Développements limités.. Principe Effectuer le développement limité d une fonction f(x) au voisinage d un point (x = a) consiste à approcher cette fonction par un polynôme autour de ce point. Selon les besoins, ce développement polynômial peut être limité au terme d ordre,, ou plus généralement à l ordre n : f x f a x a x a x a x a n n La figure ci-dessous illustre le rôle d un développement limité, dans le cas de la fonction voisinage de :, au Fonction exponentielle : DL DL ordre : DL ordre : EXP DL ordre : DL DL 4 Moreggia PCSI 0/0

5 Plus l ordre du DL est élevé, plus la courbe associée est proche de l exponentielle au voisinage de. Vous verrez plus de détails sur les conditions d application des DL en cours de mathématiques. En physique, on se limite généralement aux premiers termes du développement, l ordre au maximum. Effectuer un DL à l ordre un consiste à linéariser la fonction. Remarque : En physique, pour signifier qu une grandeur X est très petite, on écrit généralement «X <<». C est souvent dans ces conditions que l on est amené à utiliser les développements limités. Exemples de DL au voisinage de (développement stoppé au er ordre non nul) : sin x x tan x x cosx ln x x x mx exp x x x m.. Approximation linéaire en physique La plupart des phénomènes physiques sont difficiles à modéliser dans toute leur complexité. Heureusement, on peut souvent aspirer à une excellente compréhension des phénomènes, dans un domaine de validité prédéfini, en ayant recours à des expressions approchées des lois physiques. L approximation linéaire est l approche la plus simple, et souvent la première employée pour étudier un phénomène physique. Vous connaissez un exemple d application de cette approximation : l expression de la force exercée par un ressort est proportionnelle à son allongement, tant que celui reste «petit». On la retrouve aussi dans l étude du pendule simple, ou dans la modélisation simplifiée de la caractéristique d une diode. Cette approximation est tellement employée en physique que l on qualifie de phénomènes non-linéaires les phénomènes qui ne s y ramènent pas. Notions clefs Savoirs : Différence entre dimension et unité Ecriture d une ED linéaire du er (du nd ) ordre à coefficients constants o «ED homogène» o «second membre» Règles de l analyse dimensionnelle Un DL est une approximation d une fonction au voisinage d un point : facilite la vie du physicien! Savoirs faire : Vérifier l homogénéité d une formule Résoudre (sans être guidé) une ED linéaire à coefficients constants ( er et nd ordre seulement) 5 Moreggia PCSI 0/0