406 PUISSANCE Leçon 1

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1 406 PUISSANCE Leçon 1 I. PUISSANCE DE 10 a) Définition Activité 1 : Les grands nombres. Un million = Un milliard = Un billion = Un trillion = Quelques exemples concrets : 1. Ecrire un milliard dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre? Ecrire mille milliards dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre? Le diamètre de notre galaxie est de un milliard de milliards de kilomètres. Placer ce nombre dans le tableau. Combien de zéros possède-t-il? 4. La masse de la planète Neptune est de de tonnes. Placer ce nombre dans le tableau et l'écrire en Français: 5. Le Capitaine Haddock jurait "Mille milliards de mille sabords!". Ecrire ce nombre dans le tableau, puis reformuler le nombre de sabords avec moins de mots, de façon correcte. Question n milliards d'unités millions d'unités milliers d'unités unités c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u La manipulation de ces nombres "infiniment" grands n'est pas toujours commode (nombre de chiffres limités sur l'écran d'une calculatrice, problèmes de lectures,...) Pour cela on utilise les puissances de dix. Activité 2 : Les puissances de 10. Rappel : 10 2 = = 100 2zéros On dit que 10 2 est de 10 et que 2 est Compléter le tableau suivant sans calculatrice : Par convention

2 406 PUISSANCE Leçon 2 Conclusion : n désignant toujours un nombre entier positif non nul. On note 10 n le produit de n facteurs tous égaux à n = = n facteurs égaux à 10 n zeros Par convention : 10 0 = 1 et 10 1 = 10 On note 10 -n l inverse de 10 n. 10 n = 1 10 = 1 n n facteurs égaux à 10 1 = = 0, n zeros n décimales Exemples : 10 5 = 10 3 = 1 = b) Propriétés PRODUIT DE DEUX PUISSANCES Compléter le tableau suivant : Pour multiplier deux puissances de 10, il suffit donc. QUOTIENT DE DEUX PUISSANCES Compléter le tableau suivant : Pour diviser deux puissances de 10, il suffit donc.

3 406 PUISSANCE Leçon 3 PUISSANCE D UNE PUISSANCE Compléter le tableau suivant : ( 10 3 ) ( 10 5 ) 2 ( 10 4 ) 3 ( 10 5 ) 4 Pour prendre la puissance d une puissance de 10, il suffit donc CONCLUSION : n et m désignant des entiers relatifs, 10 n 10 m = 10n 10 m = ( 10 n ) m = c) Notation scientifique Activité : Multiplier par une puissance de 10. Compléter : a , = ,876 b , = c , = d , = e , = f , = g , = h , = i , = j , = a. 6, = b. -87, = c. 8, = d. 0, = e. 67, = f. -965, = g. -6, = h. 807, i = j = Règle :

4 406 PUISSANCE Leçon 4 Activité : plusieurs écritures pour un même nombre. Compléter : ,789 X ,12789 X X , X ,7 45,17 X 4,517 X 4517 X 0, X 7945,12 X 10 2 X 10 3 X 10-2 X ,031 0,31 X X ,1 X X ,12 12 X X X X 10 1 On dit qu un nombre est en ECRITURE SCIENTIFIQUE lorsqu il est de la forme «a 10 n» où a est un nombre compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10) éventuellement précédé du signe. Parmi tous les nombres apparaissant dans le tableau, entourer tous ceux qui sont en écriture scientifique. Par exemple, le nombre 1 234,5 peut s écrire : , , , , , Ecriture scientifique de 1234,5 Applications : Compléter le tableau : ÉCRITURE DECIMALE ÉCRITURE SCIENTIFIQUE a , b c. 0, d e. 0, f g. 673,185 h i. 4000,007 j. 0, Compléter le tableau : ÉCRITURE «a 10 n» ÉCRITURE SCIENTIFIQUE a , b c. 0, d e. 0, f. 0, g. 0, h i j Méthode : 6300 x 10 4 = 6,3 x 10 3 x 10 4 = 6,3 x 10 7

5 406 PUISSANCE Leçon 5 Comparer des nombres en écriture scientifique : Classer du plus petit au plus grand les nombres suivants : 7,25! 10 4 ; 4,7! 10 5 ; 14,1! 10 "3 ; 10,49! 10 "2 ; 2,259! 10 4 ; 3! Conclusion : Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, - on commence par regarder les puissances : les nombres sont alors classés dans le même ordre que les exposants. - et si elles sont égales : les nombres sont classés dans le même ordre que leur coefficients. d) Calculatrice ATTENTION : Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8, soit 8250 et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562). Pour entrer le nombre 3, dans la calculatrice il suffit de taper : 3, EXP 4 ou 3, ψ 4 ou II. PUISSANCE ENTIERE D UN NOMBRE RELATIF a) Définition Activité 1 : Compléter en suivant le modèle puis vérifier avec votre calculatrice 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 (-5) 2 = (-7) 3 = 2 5 = -5 2 = -7 3 = 3 4 = (-3) 4 = 12 1 = 7 3 = -3 4 = = Définition : si a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif différent de zéro : a n = a! a!...! a (pour n " 2) n facteurs a -n = 1 a avec a # 0 n Par convention : a 0 =1 (avec a 0) et a 1 =a Cas particuliers : 1 n =1, 0 n =0, a -1 = 1 a

6 406 PUISSANCE Leçon 6 b) Propriétés Les règles de calculs sont les mêmes qu avec les puissances de 10. a n! a m = a n+ m a n a m = an! m ( a n ) m = a n! m a n! b n = ( a! b) n c) Applications Donner le résultat des calculs suivants sous la forme «a n» : a = 5 6 b = c. (-6) -7 (-6) 2 = d. (-3) 7 (-3) -4 = e = f = g. (-8) 2 (-8) -5 (-8) -1 = h = 7 5 i. = 3 5! 4 7 j. = 3 7! 6 6) k. =! 1 6) 6 5) l. =!16 5)! 12 1) m. =! 8 1)! n. =! )! o. = 6 3)! 3 2 p. = 3 2 ( ) 7 = r.!5 q. 3!2 (( )!7 )!1 = s. 2) 4 ( )!3 = t ( ) 3 = ( ) 8 = v.!9 u. 8!8 (( )!7 )!2 = w. 0,6)!11 ( )!3 = x. 7!8 ( ) 0 = Priorité des calculs Exemple : = Dans une expression sans ( ), on effectue : D abord les puissances, Ensuite les multiplications et les divisions, Enfin les additions et les soustractions (en respectant l ordre des calculs) A vous : ( 15 2! 4 3) " # 1 & $ % 7 ' ( = 7 3! =