Correction Examen Traitement du Signal avril 2006

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1 Correction Examen Traitement du Signal avril 26 Exercice : Échantillonnage d un signal passe bande ) La transormée de Fourier du signal s(t) estdéinie par S() = S + ()+S () = Π B () δ ( )+Π B () δ ( + ) = Π B ( )+Π B ( + ) Avec les valeurs numériques =8kHz et B =khz, on obtient la représentation suivante ) Le signal x e (t) obtenuparéchantillonnage idéal de x(t) àlaréquence F e est déini par X X x e (t) = x(kt e )δ(t kt e )=x(t) δ(t kt e ) La transormée de Fourier de x e (t) s écrit alors X X e () = X() F e δ( kf e ) X = F e X( kf e ) La condition de Shannon s écrit F e > 2F max =7kHz

2 3) La relation X e () =F e X X( kf e ) est toujours valable. Le spectre d ordre estx( + F e )=X( +6kHz) estreprésenté ci-dessous Le spectre d ordre 2 estx( +2F e )représenté ci-dessus Le spectre d ordre est X( F e )=X( 6kHz) qui est aussi représenté ci-dessous

3 Le spectre d ordre 2 est X( 2F e )quiestreprésenté ci-dessous Comme on peut le remarquer sur les trois igures précédentes, les spectres d ordres 2,,, et 2 ne se chevauchent pas. Lorsqu on iltre le signal échantillonné parh() =Π F () avecf =6kHz, onrécupère un signal dont la transormée de Fourier est avec =2kHz, c estàdire Π Be ( )+Π Be ( + ) x r (t) =2B cos (2π t) sin (πbt) πbt Lorsqu on iltre le signal échantillonné parh() =Π B ( + )+Π B ( )avec =8kHz et B =khz, onrécupèrelesignalx(t). Il est donc possible de restituer un signal passe-bande échantillonné avec une réquence d échantillonnag inérieure à2f max dans la mesure où les spectres se replient dans les zones où le spectre de x e (t) est nul. Exercice 2 ) Le signal x(t) est clairement un signal àénergie inie. En eet, l énergie de x(t) est E = x 2 (u)du = A 2 T La transormée de Fourier de x(t) est X() =Ae jπt T sin (πt) πt La densité spectrale d énergie de x(t) est donc sin (πt) 2 s x () = X() 2 = A 2 T 2 πt 3

4 et la onction d autocorrélation est obtenue par transormée de Fourier inverse x (τ) =A 2 T Λ T (τ) 2)Enl absencedebruit,onar(t) =x(t t ). La onction g(t) est alors déinie par g(t) = r(u)x(u t)du = x(u t )x(u t)du = x (t t ) La onction g(t) estreprésentée ci-dessous pour A =,T =ett =: g(t) t On voit que la onction g(t) présente un pic pour t = t, ce qui permet d estimer l instant t. 3) Un bruit est blanc si sa densité spectrale de puissance s b () est constante. Un bruit est Gaussien si la loi des amplitudes de ce bruit est une loi normale. L opération qui associe au signal aléatoire r(t) le signal g(t) est une opération linéaire et invariante dans le temps. Donc elle déinit une opération de iltrage linéaire invariant dans le temps. La transmittance est par exemple obtenue en utilisant l isométrie r(t) e j2πt On a alors r(u)x(u t)du e j2πt e j2πu x(u t)du e j2π(v+t) x(v)dv e j2πt X ( ) e j2πv x(v)dv 4

5 où X() est la transormée de Fourier de x(t). La transmittance de ce iltre est donc et sa réponse impulsionnelle s écrit H() =X ( ) h(t) =x( t) Lorsque r(t) =x(t t )+b(t), on a par linéarité g(t) = x (t t )+ b(u)x(u t)du La onction g(t) s écrit donc comme la somme d un terme déterministe (obtenu en absence de bruit) et d un terme aléatoiredemoyenne E b(u)x(u t)du = E [b(u)] x(u t)du = En présence de bruit, la onction g(t) est donc le triangle précédent x (t t ) sur lequel se superposent des oscillations (parois positives, parois négatives) dues au bruit. Si le bruit n est pas trop important, on devrait pouvoir estimer t à l aide du maximum de g(t). Exercice 3 On considère le système représenté sur la igure ci-dessous V(t) X(t) H() + G() Y(t) (t) + D(t)=(t)-X(t) - ) On a E [(X (t)+x 2 (t)) (X (t τ)+x 2 (t τ))] = X (τ)+e [X (t)x 2 (t τ)]+e [X 2(t)X (t τ)]+ X 2 (τ) En utilisant l indépendance entre les deux signaux, il vient E [X (t)x2 (t τ)] = E [X (t)] E [X2 (t τ)] = E [X 2 (t)x(t τ)] = E [X 2 (t)] E [X(t τ)] =

6 Donc E [(X (t)+x 2 (t)) (X (t τ)+x 2 (t τ))] = X (τ)+ X2 (τ) soit X +X 2 (τ) = X (τ)+ X2 (τ) où s X +X 2 () =s X ()+s X2 () On a Y (t) =V (t)+x(t) h(t) Puisque V (t) etx(t) sontindépendants, V (t) etx (t) = X(t) h(t) le sont aussi. E [V (t)] =, en utilisant le résultat précédent, on obtient Puisque s Y () =s V ()+s X () La densité spectrale de puissance de X (t) secalculeà l aide de la relation de Wiener-Lee s X () =s X () H() 2 On en déduit s Y () =s V ()+s X () H() 2 2) Le signal temporel (t) s écrit (t) = Y (t) g(t) = V (t) g(t)+x(t) h(t) g(t) On a donc V (t) = V (t) g(t) X (t) = X(t) h(t) g(t) Puisque V (t) et X (t) sontindépendants et que E [ V (t)] = E [V (u)] g(t u)du =, on a, en utilisant les relations de Wiener-Lee s () =s V () G() 2 + s X () H() 2 G() 2 3) Dans le cas où le rapport signal à bruit du système est important, on a s () ' s X () H() 2 G() 2 Pour avoir s () ' s X (), il suit donc de choisir G() =H () 6

7 4) On a X (τ) = E [X(t) (t τ)] = E [X(t)V (t τ)] + E [X(t) X (t τ)] En utilisant l indépendance entre X(t) et V (t) et le ait que V (t) est de moyenne nulle, on obtient E [X(t)V (t τ)] = En utilisant la ormule des interèrences, on obtient E [X(t)X (t τ)] = H () G ()s X ()e j2πτ d On en déduit De même On a s X () =TF [E [X(t) (t τ)]] = H ()G ()s X () s X () =TF [E [(t)x (t τ)]] = H()G()s X () E [D (t) D (t τ)] = E ([(t) X(t)] [ (t τ) X (t τ)]) = E [(t) (t τ)] E [(t)x (t τ)] E [X(t) (t τ)] + E [X(t)X (t τ)] La densité spectrale de puissance de D(t) s écrit donc s D () =s () s X () s X ()+s X () En utilisant les expressions précédentes des diérentes DSP et des interspectres, on obtient s D () = s V () G() 2 + s X () H() 2 G() 2 H()G()s X () H ()G ()s X ()+s X () = A()s V ()+B()s X () = G() 2 s V ()+ H() G() 2 H () 2 s X (), avec A() = G() 2 B() = H() 2 G() 2 H()G() H ()G ()+ = H() 2 G() H () 2 Si le bruit est suisament aible pour avoir s D () ' B()s X () = H() 2 G() H () 2 s X (), on voit que pour avoir s D () ', il suit de choisir G() =H () 7