Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n

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1 Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n 1 Dans ce chapitre, nous allons apprendre des cas particuliers de fonctions dérivées. L'expression qui définit une fonction permet-elle de décrire les variations d'une fonction? Dans le cas d'une fonction affine du type f ( x ) = ax + b, la croissance ou la décroissance se déduisent du signe de a. En revanche, comment procéder dans les autres cas? La dérivation, née de la résolution de problèmes locaux ( tangente à une courbe en un point, approximation locale ) se révèle être un outil essentiel pour résoudre des problèmes globaux : sens de variation d'une fonction, recherche d'extremums. C'est ce que nous allons découvrir et apprendre dans ce chapitre. 1 Dérivée de la fonction g telle que g ( x ) = f ( ax + b ). Soient a et b deux réels avec a non nul. Soit D l'ensemble des réels x tels que ax + b I. Soit g la fonction définie par g ( x ) = f ( ax + b ). Si f est dérivable sur I, alors g est dérivable sur D et sa fonction dérivée est définie sur D par g ' ( x ) = a f ' ( ax + b ) Dans la pratique, on pourra retenir les formules suivantes : Si g ( x ) = ax + b alors g ' ( x ) = 2 a ax+ b avec ax + b > 0. Si g ( x ) = sin ( ax + b ) alors g ' ( x ) = a cos ( ax + b ) Si g ( x ) = cos ( ax + b ) alors g ' ( x ) = - a sin ( ax + b ) Exemple : g ( x ) = 3 2x. Déterminer g ' ( x ). Voir feuille annexe. E1 Savoir dériver des fonctions composées. P 59 n 35 et n 36. E2 Activité d'approche. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ -2 ; 5 ] par f ( x ) = x² 3x 2. La courbe représentative de f est donnée en page n 2. a ) Déterminer graphiquement les variations de f sur [ - 2 ; 5 ]. b ) Dresser le tableau de variations de f sur [ - 2 ; 5 ]. c ) Calculer la fonction dérivée de f. d ) Etudier le signe de f ' ( x ) sur [ - 2 ; 5 ]. e ) Dresser le tableau de signes de f ' sur [ - 2 ; 5 ]. f ) Comparer le tableau de variations de f et le tableau de signes de f '. Que peut-on conjecturer?

2 Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n 2 2 Signe de la dérivée et variations d'une fonction. Si f est strictement croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) > 0. Si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) = 0. Si f est strictement décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x ) < 0. Si pour tout x de I, f ' ( x ) > 0 alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout x de I, f ' ( x ) = 0 alors f est constante sur I. Si pour tout x de I, f ' ( x ) < 0 alors f est strictement décroissante sur I. Démonstration de cours : voir feuille annexe. Exemple : dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur par f ( x )= - x² + 2x + 4. Voir annexe.

3 Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n 3 E3 Savoir déterminer le sens de variation d'une fonction. P 80 n 10 b et c ; n 11 a et n 12 b. 3 Extremum. Soit c un point de I distinct de ses extrémités. f a un maximum local en c signifie que f ( c ) est le maximum de f restreinte à un intervalle ouvert contenant c. Soit d un point de I distinct de ses extrémités. f a un minimum local en d signifie que f ( d ) est le minimum de f restreinte à un intervalle ouvert contenant d. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. Si f admet un extremum local en c alors f ( c ) = 0. Conséquence graphique : la courbe de f admet une tangente horizontale au point C ( c ; f ( c ) ) que l'on note par une flèche au point C. Soit c un point de I. Si la dérivée s'annule et change de signe en c, alors f admet un extremum local en ce point. Remarques : La réciproque du théorème ci dessus est fausse. f ( x ) = x 3. f est une fonction dérivable sur et f ' ( x ) = 3x². f ' s'annule en 0 et pourtant f n'a pas d'extremum sur. Une fonction non dérivable en un point peut avoir un extremum en ce point. Exemple : la fonction valeur absolue en 0. Exemples : voir feuille annexe. E4 Recherche d'extremums. P 83 n 50 p 80 n 17 et n 18.

4 Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n 4 4 Comparaisons de fonctions. Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I. Si pour tout x de I, on a f ( x ) g ( x ) alors on note f g On dit que la courbe de f se situe en dessous de la courbe de g. Soient f, g, et h trois fonctions définies sur un même intervalle I. Si pour tout x de I, on a g ( x ) f ( x ) h ( x ) alors on dit que f est encadrée par les fonctions g et h sur cet intervalle I. Exemple : démontrons que pour tout x de l'intervalle [ 0 ; 2 ] on a 1 + 3x ( 1 + x ) 3. Voir feuille annexe. E5 Savoir comparer des fonctions. P 84 n 58 et n 59 puis n Approximation affine. Soit a un point de I. Au voisinage de a, f ( a + h ) peut s'écrire sous la forme f ( a + h ) f ( a ) + f ' ( a ) h On dit que f ( a ) + h f ' ( a ) est l'approximation affine locale de f ( a + h ). Graphiquement, au voisinage du point A d'abscisse a, la courbe de f est très proche de la tangente en A. Exemple : trouver l'approximation affine de ( 1 + h ) 3. Puis donner une valeur approchée de 0, Quelques approximations affines locales particulières au voisinage de 0. Fonctions Approximations affines Equations de la tangente f ( x ) = ( 1 + x )² f ( x ) 1 + 2x y = 1 + 2x f ( x ) = ( 1 + x ) 3 f ( x ) 1 + 3x y = 1 + 3x f ( x ) = 1 1 +x f ( x ) 1 x y = 1 x f ( x ) = 1+ x f ( x ) 1 + x 2 y = 1 + x 2

5 Première S2 Chapitre 9 : étude de fonctions. Page n 5 E6 Savoir déterminer des approximations affines. Déterminer les approximations affines des fonctions suivantes au voisinage de 0. 1 ) f ( x ) = ( 1 + x )² 2 ) f ( x ) = ( 1 + x ) 3 3 ) f ( x ) = 1+x 1 4 ) f ( x ) = 1+ x E7 Exercice utilisant la méthode d'euler. f est une fonction dérivable sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] telle que f ( 0 ) = 1 et pour tout réel de [ 0 ; 1 ], f ' ( t ) = 2t. Le but de cette activité est de construire une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe représentative de la fonction f. 1. Utiliser l'approximation affine associée à une fonction. Notons f la fonction recherchée telle que f ' ( x ) = 2x et f ( 0 ) = 1. On découpe l'intervalle [ 0 ; 1 ] à l'aide des nombres x 0 = 0 ; x 1 = 0,1 ; x 2 = 0,2 ; ; x 9 = 0,9 et x 10 = 1. Démontrer à l'aide de l'approximation affine que pour tout i entier naturel compris entre 0 et 9, on a : f ( x i+1 ) f ( x i ) + 0,2x i. 2. Calcul des valeurs approchées des nombres f ( x i ) avec le tableur ou la calculatrice. Faire un premier tableau dans lequel apparaissent les lignes i ; x i ; 0,2 x i ; et f ( x i ). 3. A l'aide de ce tableau construire la courbe de f obtenue. 4. On démontre que f est la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = x² + 1. Reprendre votre tableau et le compléter avec les valeurs réelles et l'erreur commise. E8 Résolution numérique de y ' = g ( x ). L'objectif de cet exercice est de proposer une méthode pour construire une solution approchée du problème suivant : " Déterminer une fonction dérivable f sur [ 1 ; 5 ] telle que f ( 1 ) = 2 et f ' ( x ) = x. " 3 Aucune des fonctions de référence ne fournit une valeur exacte. Afin de déterminer une solution approchée, on partage l'intervalle [ 1 ; 5 ] en 40 intervalles de même longueur 0,1 et on note t 0 = 1, t 1 = 1,1, etc t 40 = 5 Les points de la subdivision rangés dans l'ordre croissant. On va chercher à calculer des valeurs approchées y 0, y 1,, y 40 des nombres f ( t 0 ), f ( t 1 ), etc f ( t 40 ). Par définition f ( t 0 ) = 2 3, on choisit donc y 0 = ) a ) Calcul de y 1. Donner l'approximation affine de f ( t 0 + h ). En déduire le choix de y 1. 1 ) b ) Calcul de y 2. Démontrer que l'on peut choisir pour approximation y 2 y 1 + 0,1 t 1 2 )En réitérant le processus mis en place ci-dessus, on arrive de proche en proche à choisir y k+1 = y k + 0,1 t k pour k entier entre 0 et 39. Cet algorithme de calcul permet d'obtenir les valeurs y k à l'aide d'un tableur. On obtient alors une courbe d'une solution approchée du problème à l'aide de l'assistant graphique. 3 ) Comparaison avec la solution exacte a ) Vérifier que la fonction f définie sur [ 1 ; 5 ] par f ( x ) = 2 x x répond au problème. 3 b ) Compléter alors votre feuille de calcul en créant une autre colonne qui contient les différences f ( t k ) y k. Constatez les erreurs commises.