Mathématiques I. Session normale

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1 FIPA BTP NOM :... Promotion : Module : Mathématiques I Prénom :... Session : Normale Mathématiques I Session normale Thème: Dérivées partielles, équations différentielles formes différentielles, facteurs intégrants et primitive. Durée: 2H Outils autorisés: Aucun (ni formulaire, ni calculatrice) Un formulaire est joint au sujet. Il est situé à la page n 6. (Le sujet contient 6 pages à rendre avec la copie) Notes à l'attention des candidats: La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les détails de calculs doivent clairement apparaître sur la copie. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 1/6

2 EXERCICE n 1: (6 points) Fonction réelle d'une variable réelle Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A. Dérivées Compléter le tableau ci-dessous en donnant les dérivées f ' des fonctions f. Fonction f (x) Dérivée f ' (x) cos x 3 e x2 u' v u v' = 3 x 2 sin x 3 e x2 2 x cos x 3 e x 2 x 2 1 ln x u' v uv' v 2 ={ x 1 1 x2 2 ln x x } / ln x 2 x arctan x arctan 1 x 1 1 x 2 1 x / x 2 = 1 1 x 2 1 x 2 1 = 0 Partie B. Primitives Compléter le tableau ci-dessous en donnant une primitive F des fonctions f. Fonction f (x) Primitive F(x) (On prendra comme constante d'intégration k la valeur k = 0) e 2 x sin 3 x cos 4 x x e x x e 2 x 1 3 cos 3 x 1 sin 4 x e x x x 4 x x2 3 ln 3 x x2 Partie C. Équation différentielle du second ordre Soit l'équation différentielle (E) définie par : (E) : y'' + 4 y' 5 y = 10 x 2 26 x + 9 où y est une fonction de la variable réelle x définie sur R, y' sa dérivée et y'' sa dérivée seconde. 1. Résoudre sur R l'équation différentielle homogène (E 0 ) : y'' + 4 y' 5 y = Déterminer les valeurs des réels a, b, et c tels que la fonction h définie par h (x) = a x 2 + b x + c soit une solution particulière de (E). 3. En déduire la solution générale de (E). 4. Déterminer la solution f de (E) qui vérifie les conditions f (0) = 2 et f ' (0) = 19. f (x) = 2 e 1 x 3 e 5 x 2 x x 1 M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 2/6

3 EXERCICE n 2: (4 points) Fonction à plusieurs variables et forme différentielle Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A. Fonction à deux variables : dérivées partielles Compléter le tableau ci-dessous en donnant les dérivées partielles de la fonction f ( x, y ). Les expressions seront données sous forme factorisées. f x, y exp x 2 y 3 avec exp la fonction exponentielle f x 2 x y 3 e x 2 y 3 f y 3 x 2 y 2 e x2 y 3 2 f x 2 2 y 3 e x 2 y 3 4 x 2 y 6 e x 2 y 3 = 2 y 3 2 x 2 y 3 1 e x 2 y 3 2 f y 2 6 x 2 y e x 2 y 3 9 x 4 y 4 e x2 y 3 = 3 x 2 y 3 x 2 y 3 2 e x2 y 3 2 f y x 6 x y 2 e x 2 y 3 6 x 3 y 5 e x2 y 3 = 6 x y 2 x 2 y 3 1 e x 2 y 3 Partie B. Fonction à trois variables : différentielle totale Soit la formule de la troisième loi de Kepler pour un système étoile/planète : T 2 a = G M dans laquelle a est le demi grand axe de l'orbite (en mètres), M la masse de l'étoile (en Kg), T la période de la planète (en secondes) et G est la constante de gravitation universelle. 1. Transformer l'expression sous la forme d'une fonction G, fonctions des variables a, M et T. G = 4 2 a 3 M T 2 = 4 2 a 3 M 1 T 2 2. Déterminer l'expression de la différentielle totale d G. d G = 4 2 { 3 a2 M T 2 da a3 M 2 T 2 dm 2 a3 M T } dt 3 Compléter le ta M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 3/6

4 EXERCICE n 3: (10 points) Formes différentielles Les trois parties de cet exercice ne sont pas indépendantes. On se référera et on complétera si possible le tableau de l'annexe situé à la page suivante. On donne les formes différentielles ω = P dx + Q dy dans le tableau de l'annexe. Partie A. Reconnaissance d'une forme différentielle totale Pour chacune de ces formes différentielles ω, 1. Déterminer les expressions P y et x. 2. En déduire si oui ou non la forme différentielle ω est totale. Partie B. Primitive f d'une forme différentielle totale Pour chacune des formes différentielles ω qui sont des formes différentielles totales, 1. Déterminer l'expression de la fonction f à deux variables x et y telle que la différentielle de f soit égale à ω, c'est à dire telle que d f = ω = P dx + Q dy. Le choix est laissé au candidat de commencer par intégrer P par rapport à la variable x ou bien d'intégrer Q par rapport à la variable y. 2. Indiquer l'expression de la primitive f dans le tableau de l'annexe. Partie C. Facteur intégrant d'une forme différentielle qui n'est pas totale. Pour chacune des formes différentielles ω qui ne sont pas des formes différentielles totales, 1. Soit h une fonction de la variable x et uniquement de la variable x. Soit ω 1 = h(x) ω = P 1 dx + Q 1 dy une nouvelle forme différentielle. a) A partir de l'expression de ω 1, déterminer les expressions P 1 y et 1 en fonction de x, y, h x et h', où h' est la fonction dérivée de la fonction h par rapport à la variable x. b) A partir de l'égalité P 1 y = Q 1 x, déterminer l'expression de l'équation différentielle (E h) vérifiée par la fonction h pour que ω 1 soit une forme différentielle totale. c) Résoudre l'équation (E h ) en déterminant l'expression de sa solution h(x). 2. Dans la suite de l'exercice, on prendra comme valeur de k qui intervient dans la résolution de l'équation (E h ) la valeur k = 1. On rappelle que ω 1 = h(x) ω = P 1 dx + Q 1 dy. Déterminer l'expression de la fonction f 1 à deux variables x et y telle que la différentielle de f 1 soit égale à ω 1, c'est à dire telle que d f 1 = ω 1 = h(x) ω = P 1 dx + Q 1 dy. Le choix est laissé au candidat de commencer par intégrer P 1 par rapport à la variable x ou bien d'intégrer Q 1 par rapport à la variable y. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 4/6

5 ANNEXE a) ω A = P dx Q dy = x y 1 dx 1 dy P y = 1 Si ω totale, f = sinon, ω 1 = x = 0donc A n'est pas totale. 1 = h x A = h x x y 1 dx h x dy = P 1 dx Q 1 dy P 1 y = h x 1 x = h' x (E h ) et h E h : h x =h' x. Solution : h x =k e x et donc P 1 =e x x y 1 et Q 1 =e x f 1 = f 1 = y e x K x (Intégration de Q 1 par rapport à y ) puis f 1 / x = P 1 soit : y e x K ' x = e x x y 1 K ' x = x 1 e x K x = x e x (IPP) et f 1 x = x y e x b) ω B = P dx Q dy = e y 2 x 2 y dx e y x 2 2 x y 2 x y 1 dy P y = e y 2 x 2 y e y 2= 2 x 2 y 2 e y x = e y 2 x 2 y 2 donc B est totale. Si ω totale, f = sinon, ω 1 = f =e y x 2 2 x y K y (Intégration de P par rapport à x ) puis f / y = Q Soit (...) K ' y = e y y 1 K y = y e y (par parties) et donc f =e y x 2 2 x y y P 1 y = 1 x = (E h ) et h f 1 = c) ω C = P dx Q dy = y2 x dx 2 y x dy P y = 2 y x x = 1donc C n'est pas totale. Si ω totale, f = sinon, ω 1 = 1 = h x C = h x y2 x dx h x 2 y x dy = P 1 dx Q 1 dy P 1 y = 2 y x h x 1 x = h' x 2 y x h x (E h ) et h E h : h x =x h' x. Solution : h x =k e ln x = k x et donc P 1= y2 et Q x 2 1 = 2 y x x = 2 y x 1 f 1 = f 1 = y2 / x K y (Intégration de P 1 par rapport à x ) puis f 1 / y = Q 1 Soit 2 y / x K ' y =2 y / x 1 K ' y = 1 K y = y et donc finalement f 1 = y 2 / x y M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 5/6

6 FORMULAIRE Dérivées, primitives, calcul intégral Équations différentielles M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_1 Rattrapage Page n 6/6