I. Fonction de référence

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1 I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions et dérivées Page L option

2 II. Exercices sur les fonctions Exercice n Un maître nageur dispose d un cordon flottant de 360 m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée. On note x et y les dimensions en mètres de ce rectangle et S(x) son aire en m².. a. Calculer cette aire pour x égal à 25 puis pour x égal 42. b. De façon générale, exprimer y puis S(x) en fonction de x. 2. Le but de cette question est de déterminer quelle valeur donner à x pour que l aire de baignade soit maximale. a. A quel intervalle I appartient le nombre x? b. Première méthode : Utilisation de la calculatrice En utilisant le tableur de la calculatrice, compléter le tableau suivant : x S(x) x S(x) Qu observe-t-on? A l aide de ce tableau et du graphe de la fonction, conjecturer la valeur de x pour laquelle l aire est maximale. c. Seconde méthode : Par le calcul Démontrer que : S(x) = 2 P(x) où P(x) est un polynôme du second degré à déterminer. Démontrer que P(x) peut s écrire sous la forme a(x b)² où a et b sont à déterminer. Quel est le signe de S(x) 6 200? En déduire que S(x) et que l égalité n est possible que pour une valeur de x. Exercice n 2 On introduit poissons dans un lac artificiel. On estime que la population de poissons varie en fonction du temps et que t années après la mise à l eau, le nombre de poissons en milliers d unités est donné par la formule : P(t) = t + 0,05t. Calculer le nombre de poissons au bout d un an, de quatre ans, de huit ans. 2. En combien d années la population aura-t-elle quadruplé? aura-t-elle été multipliée par 6? 3. a. Compléter le tableau suivant ( arrondir à l unité ) : t P(t) b. A l aide de la calculatrice conjecturer la valeur de m, plus petit nombre que P(t) ne dépassera jamais. c. Confirmer cette conjecture en étudiant le signe de P(t) m. Fonctions et dérivées Page 2 L option

3 Exercice n 3 [AB] est un segment de 0 centimètres de longueur. M est un point de [AB] distinct de A et B. AMP et BMQ sont des triangles rectangles isocèles en P et Q. On cherche à déterminer la position du point M pour que la distance PQ soit minimale. On pose : AM = x ( on a donc 0 < x < 0 ). a. Exprimer PM² puis MQ² en fonction de x. b. En déduire que PQ² = x² 0x c. Exprimer PQ en fonction de x. 2. Représenter graphiquement la fonction f définie sur ] 0 ; 0 [ par : f(x) = x 2 0x En déduire la position du point M rendant la distance PQ minimale. 3. On cherche à déterminer la position de M pour que PQ = 6. a. Déterminer graphiquement la ( les? ) valeur(s) de x correspondante(s). b. Résoudre ce problème par le calcul. Exercice n 4 On dispose d'une feuille cartonnée de dimensions avec laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle. Pour cela, on découpe à chaque coin de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boîte. On se propose d étudier son volume suivant les valeurs de x.. Préciser dans quel intervalle I peut varier x pour que la boîte soit réalisable. 2. Exprimer en fonction de x les 3 dimensions de la boîte. 3. En déduire, en fonction de x, le volume en cm 3 de la boîte. On le notera V(x). 4. Compléter le tableau de valeurs suivant : x V(x) 5. Construire dans un repère orthogonal la représentation graphique de V(x) en fonction de x. On placera l origine en bas et à gauche de la feuille et on prendra pour unités : - cm sur l axe des abscisses pour représenter une valeur de x de cm - cm sur l axe des ordonnées pour représenter un volume de 00 cm En utilisant le graphique et la calculatrice, répondre aux deux questions suivantes : a. Y a-t-il une valeur de x pour laquelle le volume est maximal? Si oui, quelle est cette valeur? Quelles sont alors les dimensions et le volume de la boîte? b. Indiquer pour quelles valeurs de x on obtient une boîte dont le volume est supérieur à litre. Fonctions et dérivées Page 3 L option

4 Exercice n 5 On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = 5 cm. Soit F le milieu de [AC] et M un point libre sur [AB]. Soit (d) la perpendiculaire à (AB) issue de M, elle coupe (BC) en E. On s intéresse à la fonction f qui à x = MB associe l aire y du polygone EFAM.. Montrer que le polygone EFAM est un trapèze. 2. Calculer EM en fonction de x. En déduire que f(x) = 2 x + 5 (5 x), où f(x) est l aire du trapèze EFAM Quel est le domaine de définition de la fonction f? 4. Créer un tableau de valeurs de la fonction f. 5. On se propose de trouver la valeur (ou les valeurs ) x pour laquelle (ou lesquelles) l aire est maximale. Montrer que f(x) = x 5 2 et en déduire que la fonction f admet un maximum pour x = On admet que le tableau des variations de f est : x f (x) Compléter ce tableau. Exercice n 6 Dans un parterre rectangulaire ABCD, un jardinier doit semer du gazon sur un quadrilatère MNPQ de telle sorte que M soit sur [AB], N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [AD] avec de plus AM = BN = CP = DQ = x. [AB] mesure 8 m et [AD] 4 m.. Faire une figure. 2. A quel ensemble I peuvent appartenir les nombres x? 3. Exprimer l aire A(x) du quadrilatère MNPQ en fonction de x. 4. Vérifier que cette aire peut s écrire sous la forme : A(x) = 2 (x 3)² Faire l étude du sens de variation de A sur l ensemble I, dresser son tableau de variation, puis construire la courbe représentant la fonction A dans un repère bien choisi. 6. Le jardinier, voulant faire des économies, voudrait que la surface à semer ait la plus petite aire possible. Déduire du travail précédent une solution au problème du jardinier et déterminer dans ce cas l aire de la surface qu il doit semer. 7. Le jardinier aurait-il pu semer une surface d aire 22 m²? Quelle serait alors la position de M sur [AB]? Même question pour une aire A(x) qui, en m², vérifie 6 A(x) 22. Fonctions et dérivées Page 4 L option

5 III. A la découverte de la dérivée Le plan est muni d un repère orthonormé (O, i, j ) Rappel : soit A et B deux points de coordonnées (x a ; y a ) et (x b ; y b ). Le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par a = y b y a x b x a (on l appelle aussi Taux d accroissement). Exercice n 7. Tracer une droite D passant par A ( ; 2) et de coefficient directeur Tracer une droite D 2 passant par B (4 ; ) et de coefficient directeur Donnez le coefficient directeur et l équation réduite de la droite (AB). Exercice n 8 On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x². Tracer soigneusement C f dans un repère (unité 2cm). Soit x 0 un nombre réel. On note d x0 la limite en 0 (lorsqu elle existe) du quotient f(x 0 + h) f(x 0 ) h. On prend x 0 = 0. Calculer d 0 et tracer sur le graphique la droite passant par A(0 ; f(0)) et de coefficient directeur d On prend x 0 =. Calculer d et tracer sur le graphique la droite passant par B( ; f()) et de coefficient directeur d. 3. On prend x 0 = 2. Calculer d 2 et tracer sur le graphique la droite passant par C( 2 ; f( 2)) et de coefficient directeur d Que pensez-vous de la position relative de chacune des droites par rapport à C f? Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I, soit a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si la limite quand h tend vers 0 du quotient f(x 0+ h) f(x 0 ) existe. h f(x Si f est dérivable en a, on note f (a) = lim 0 + h) f(x 0 ) h 0 h Vocabulaire : le rapport f(x 0 + h) f(x 0 ) h s'appelle Taux de variation de f entre a et a + h (ou Taux d accroissement). Exercice n 9 On considère à présent la fonction définie sur IR par f(x) = x 3 Rappel : (a + b) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3. Placer dans un repère (unité : 0,5 cm) les points d abscisses 0 et. Montrer que f est dérivable en 0 et en. Tracer ses tangentes en ces points. 2. f est-elle dérivable en tout point? Calculer f (x 0 ) où x 0 est un réel quelconque. 3. Reprendre la question pour les abscisses 2 ; et Tracer C f dans le repère à l aide des éléments déjà tracés. Exercice n 0 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l ensemble de dérivation de f et calculer sa dérivée.. f(x) = k 4. f(x) = ax + b 2. f(x) = x 5. f(x) = x² 3. f(x) = 2x + 6. f(x) = x Fonctions et dérivées Page 5 L option

6 IV. Dérivation a. Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si pour tout x I, le nombre dérivée f (x) existe. La fonction définie sur I par x f (x) est appelée fonction dérivée de f. Exemple : Soit f définie sur IR par f (x) = x 2. On a démontré que pour tout nombre réel x 0, le nombre dérivé de f en x 0 existe et f (x 0 ) = 2x 0. La fonction dérivée de f est donc la fonction f définie sur IR par f (x) = 2x. Graphiquement, la dérivée en un point x 0 (nombre dérivé en x 0 ) correspond à la pente de la tangente en x 0. Exercice n Déterminer les équations des droites tracées dans le repère ci-dessous : d d6 d2 d3 O d5 d4 Exercice n 2 Le graphe ci-dessous donne la courbe représentant une fonction f et trois de ses tangentes. Déterminer graphiquement f ( ) ; f (0) et f (2). Fonctions et dérivées Page 6 L option

7 b. Formules de dérivation Dérivées des fonctions usuelles. Nous avons déterminé dans les exercices les nombres dérivés de certaines des fonctions suivantes : fonction f dérivée f intervalle de dérivation f (x) = k, k IR f (x) = 0 f (x) = x f (x) = f (x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = x f (x) = 2 x f (x) = x f (x) = x 2 I = IR I = ] 0 ; + [ I = ] ; 0 [ ou I = ] 0 ; + [ Dérivée d une somme et d un produit par une constante Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un nombre réel. * La fonction u + v est dérivable sur I et sa fonction dérivée est la somme des fonctions dérivées : ( u + v ) = u + v * La fonction ku est dérivable sur I et sa fonction dérivée est le produit de k par la dérivée de u : ( ku ) = ku Exemples : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = x 2 + x. La fonction u : x x² est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2x. La fonction v : x x est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2 x. Ainsi, f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f (x) = 2x + 2 x. La fonction dérivée de la fonction définie sur IR par f (x) = 3x 3 5x est f (x) = 3 3x 2 5 = 9x 2 5. Exercice n 3. a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = 2 x 2 sur [ 2 ; 2 ]. b. Déterminer son nombre dérivé en ; ; 5 et 0. c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. d. Déterminer les équation de ces tangentes en 0 et. 2. a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = x + x sur [ 0,25 ; 5 ]. b. Déterminer son nombre dérivé en ; et 4. 2 c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. d. déterminer les équation de ces tangentes en et a. Tracer le graphe de la fonction f définie par f(x) = (x 3) 2 sur IR. b. Déterminer son nombre dérivé en ; 3 ; 5 et 0. c. Tracer les tangentes à la courbe en ces points. Fonctions et dérivées Page 7 L option

8 Exercice n 4 La représentation graphique P d une fonction polynôme f du second degré est donnée ci-dessous ainsi que sa tangente T au point A de coordonnées (0 ; 3). y B A o x. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de T et en déduire l équation de T. Que vaut le nombre dérivé de f en 0, c est-à-dire f (0)? 2. On pose f(x) = ax 2 + bx + c. Déterminer la fonction dérivée f de f. 3. Calculer a, b et c sachant que la courbe P passe par A(0 ; 3), B( ;4) et qu elle admet la droite T comme tangente en A. Dérivée d un produit, d un inverse, d un quotient. Théorème : Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I tel que v(x) 0 sur I. * La fonction uv est dérivable sur I et (uv) = u v + uv * La fonction v est dérivable sur I et v = v * La fonction u v est dérivable sur I et u u v uv = v v 2 v 2 Exemples : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = ( x 2 + ) x. La fonction u : x x 2 + est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2x. La fonction v : x x est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2 x. La fonction f est le produit de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ donc f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f = u v + uv donc : f (x) = 2x x + ( x 2 + ) 2 x = 5x2 + 2 x. Soit f définie sur ] 2 ; + [ par f (x) = x 2. La dérivée de f est f (x) = (x 2) 2. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f (x) = 2x + x 2 +. La fonction u : x 2x + est dérivable sur ] 0 ; + [ et u (x) = 2. La fonction v : x x 2 + est dérivable sur ] 0 ; + [ et v (x) = 2x. u v uv La fonction f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; + [ donc f est dérivable sur ] 0 ; + [ et f = v 2 x2 + (2x + )2x f (x) = 2( ) ( ) x = 2x 2 2x + 2 ( x 2 + ) 2 Fonctions et dérivées Page 8 L option

9 Dérivée de x x n où n est un entier relatif. Théorème : Soit n un nombre réel. La fonction f définie sur un intervalle I par f (x) = x n est dérivable sur I et (x n ) = nx n Exemples : Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x 5. Cette fonction est dérivable sur IR et f (x) = 5x 4 Soit la fonction f définie sur ] ; 0 [ par f (x) = x 3, f peut s écrire f(x) = x 3 d où : f (x) = 3x 4. Exercice n 5 Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l ensemble de définition, l ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée.. f(x) = 2x + 2. g(t) = 3t 2 + 2t 3. h(x) = x 4. f(x) = x 5. g (t) = 4t 2 + 2t h(x) = x x 7. f(x) = 4 x2 3x h(t) = (t 2)² 9. f(x) = 3x 7 0. h(x) = 3x + 4. h(t) = 2t t 2. f(x) = 2x + 3 Exercice n 6. Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 7 (x3 + 4). Calculer f (x) de deux manières différentes. 3x Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x) = x +. 7 Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f (x) = 3 +, puis calculer f (x) de deux manières. x + 3. Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x) = 4x 7 x 2. Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f (x) = 4 +. Puis calculer f (x) de deux manières. x 2 c. Sens de variation, extremum et dérivée Exercice n 7 Soit f la fonction polynôme définie par : f(x) = x 3 3x +. Faire afficher la courbe de f sur l écran de la calculatrice. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction f. 2. a. Calculer f (x). b. Compléter le tableau suivant : x ,5 0 0, f (x) Quel lien peut-on conjecturer entre le signe de f et le sens de variation de f. c. Écrire f (x) comme produit de trois facteurs et en déduire le signe de f (x). (On pourra utiliser un tableau de signes ) La conjecture faite à la question précédente est-elle confirmée? Fonctions et dérivées Page 9 L option

10 Signe de f et sens de variation de f. On considère une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle. Intuitivement, quel lien peut-on faire entre le sens de variation de f et le signe de f dans chacun des trois cas suivants? y = f (x) y = f (x) y = f (x) j 0 i j 0 i j 0 i f est constante sur I. En tout point de C f, la tangente est horizontale : pour tout x I, f (x) = 0. f est croissante sur I. En tout point de C f, le coefficient directeur de la tangente est positif : pour tout x I, f (x) 0. f est décroissante sur I. En tout point de C f, le coefficient directeur de la tangente est négatif : pour tout x I, f (x) 0. Théorème : Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle. * Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. * Si f est positive sur I, alors f est croissante sur I. * Si f est négative sur I, alors f est décroissante sur I. Exercice n 8 Soit f la fonction définie sur ] 3 ; + [ par f(x) = 4x + x 3. Déterminer la fonction dérivée de f sur ] 3 ; + [. 2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur ] 3 ; + [. Dérivée et extremum local. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet en a un maximum local ou un minimum local, alors f (a) = 0. Exemple : La fonction ci-dessous admet en a un maximum local mais ce n est pas un maximum absolu car il existe x tel que f(x) > f(a). y = f (x) f (a) a j 0 i Attention : La réciproque de ce résultat est FAUSSE. En effet, considérons la fonction g définie sur IR par g(x) = x 3. g est dérivable sur IR et g (x) = 3x 2. On a g (0) = 0 mais la fonction g n admet évidemment pas d extremum local en 0!!! Fonctions et dérivées Page 0 L option

11 V. Exercices Exercice n 9 S(x) = 2x x sur l intervalle I = [ 0 ; 80 ].. Calculer S (x) puis étudier le signe de S sur I. 2. Dresser le tableau de variation de S sur I. 3. En déduire la valeur de x pour laquelle S atteint son maximum. Donner ce maximum. Exercice n 20 On considère la fonction f définie sur [ ; 3 ] par f(x) = x 2 2x Calculer la fonction dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur [ ; 3 ]. 2. Compléter le tableau suivant x 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 f(x) Tracer la représentation graphique C de f. 3. Pour tout réel a comparer f( + a) et f( a). Que peut-on en déduire? Exercice n 2 Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x 3 6x 2 + 9x.. Calculer f (x). 2. a. Démontrer que f (x) peut s écrire sous la forme 3(x a)(x b) où a et b sont des nombres à déterminer. b. En déduire le signe de f sur. c. Comment peut-on contrôler graphiquement les résultats de la question précédente à la calculatrice? 3. a. Dresser le tableau de variation de f sur. b. Contrôler graphiquement les résultats de la question précédente à la calculatrice. 4. a. On note C f la courbe représentant f dans un repère. On note T 0 ; T ; T 3 et T 4 les tangentes à C f aux points d abscisses respectives 0 ; ; 3 et 4. Déterminer des équations de ces droites. b. Faire tracer T 0 ; T ; T 3 et T 4 et C f sur l écran de la calculatrice. Exercice n 22 Partie A : Soit f la fonction définie sur par f(x) = x 2 2x 5.. Calculer la dérivé de f et en déduire le tableau de variation de f. 2. Résoudre l équation f(x) = 0 à l aide de la calculatrice. 3. A l aide du graphe, justifier que l ensemble des solutions de l inéquation f(x) 0 est S = ] ; 3 ] [ 5 ;+ [. Partie B : Soit g la fonction définie sur par g(x) = 30 x3 0 x2 3 2 x.. Montrer que pour tout x de, on a : g (x) = 0 f(x). 2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x puis le tableau de variation de g. 3. A l aide de la calculatrice, donner à 0 près les solutions approchées de l équation g(x) = 0. Fonctions et dérivées Page L option

12 Exercice n 23 Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f(x) = 2x 3 x. Montrer que l on a pour tout x de ] ; + [ : f(x) = 2 x 2. Calculer f (x). En déduire le sens de variation de f sur ] ; + [ et dresser le tableau de variation. 3. Compléter le tableau suivant puis tracer la représentation graphique C de f. x,25,5 2 2,5 3 3, f(x) 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d abscisse 2 et la tracer. Exercice n 24 2x² + 5x On considère la fonction f définie sur ] ; [ ] ; + [ par : f (x) = x + c. Trouver les réels a, b et c tels que : f (x) = ax + b + x Calculer alors la dérivée f de f, étudier son signe et dresser son tableau de variation. Exercice n 25 x² + 6x + 5 On considère la fonction f définie sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [ par : f (x) = x 3 c. Trouver les réels a, b et c tels que : f (x) = ax + b + x 3 2. Calculer alors la dérivée f de f, étudier son signe et dresser son tableau de variation. 3. Après avoir déterminé le nombre dérivé de la fonction f en 0 et en 2, tracer les tangentes à la courbe en ces points (on ne demande pas de déterminer leur équation), puis tracer la courbe représentative de f. 4. Tracer la droite d équation ax + b. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote oblique à la courbe. Exercice n 26. Trouver les nombres a et b tels que pour tout x de ] ; [ ] ; + [ on ait : 2x + 5 x + = a + b 2. Considérons f la fonction définie sur ] ; [ ] ; + [ par f (x) = 2 + Fonctions et dérivées Page 2 L option 3 x + a. Etudier les variations de f (dérivée, étude signe de la dérivée et tableau de variation). b. Dans un repère orthonormal, en prenant le carreau pour unité, construire la courbe représentative C f de la fonction f. 3. a. Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats au dix millième) : x f(x) b. Lorsque x est de plus en plus grand, vers quelle valeur l semble se rapprocher f (x)? On note alors lim x + x + f (x) = 2. c. De même, en faisant tendre x vers des valeurs de plus en plus petites ( 0 ; 00 ; 000 ; etc ), quelle est alors la valeur de lim x f (x)? 4. Tracer la droite D d équation y = 2. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote horizontale à C f en + et en. 5. Placer le point I ( ; 2) sur le graphique. a. Que semble représenter le point I pour la courbe C f? b. Tracer la droite D perpendiculaire à la droite D passant par I. Que remarque-t-on? On dit que cette droite est une asymptote verticale à C f en.