Position et vitesse d une particule quantique. L équation de Schrödinger générale

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1 Position et vitesse d une particule quantique L équation de Schrödinger générale Chapitre 2 Joseph Fourier William R. Hamilton

2 La particule libre en mécanique quantique En mécanique quantique, l état d une particule ponctuelle est décrit par une fonction d onde (x, t) (on se limitera ici au cas à une dimension) Description probabiliste : Une mesure de position donnera le résultat x à dx près avec la probabilité dp = (x, t) 2 dx densité de probabilité : P(x, t) = (x, t) 2 Evolution dans le temps : Si la particule est libre, c est-à-dire n est soumise à aucune force, ni aucune mesure, l évolution de (x, t) est donnée par i t = 2 2m 2 x 2

3 Questions centrales du cours d aujourd hui Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l impulsion d une particule? Il s agit également d un résultat probabiliste, avec une densité de probabilité reliée à la transformée de Fourier de (x, t) Notion d opérateur position et d opérateur impulsion Equation de Schrödinger en présence d un potentiel V (x) Peut-on connaître à la fois la position et l impulsion d une particule? Les relations d'incertitude de Heisenberg.

4 1. La transformation de Fourier propagation de la chaleur u(x, t) t = D 2 u(x, t) x 2

5 Des séries de Fourier à la transformation de Fourier T g(t) t g(t) = Fonction périodique g(t) de classe C 2 + n= Convergence uniforme, f n = 1 T f 0 = 2 n e in 0t T T 0 e in 0t g(t) dt g(t) Peut-on exprimer g(t) comme une somme «continue» d exponentielles oscillantes t? e i t? g(t) = + f( )e i t d Si oui, comment trouver f( ) connaissant g(t)?

6 La transformation de Fourier, du cours de maths au cours de physique Maths en tronc commun : la TF est définie dans L 1 (fonctions sommables) f ˆf ˆf( ) := R N e i x f(x) dx Physique : la TF est défini dans L 2 (fonctions de carré sommable) 1D : (p) := e ixp/ (x) dx xp/ : sans dimension, x = longueur, = Joule.seconde p = impulsion On utilise aussi l espace S de Schwartz : fonctions C décroissant plus vite que toute puissance de x à l infini

7 Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (I) Connaissant (x), on calcule (p) en utilisant (p) = e ixp/ (x) dx Inversement, peut-on reconstruire (x) si on connaît sa TF (p)? OUI! (x) = e ixp/ (p) dp On dit pour simplifier que (x) et (p) sont TF l une de l autre, même s il faut se souvenir de la valeur du signe dans e ±ixp/ (x) TF (p)

8 Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (II) La TF est une isométrie pour l espace L 2 TF 1(x) 1(p) 2(x) 2(p) TF 1(x) 2(x) dx = 1 (p) 2 (p) dp Notation compacte: 1 2 = 1 2 Si (x) est normée, alors (p) l est également : 1= (x) 2 dx = (p) 2 dp Notation compacte: 1= =

9 Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (III) Dérivation et transformée de Fourier (x) TF (p) On part de (x) = 1 2 e ixp/ (p) dp et on suppose qu on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l espace S) On en déduit la TF de la dérivée de par rapport à x : d (x) dx = 1 2 e ixp/ [ ] ip (p) dp d (x) dx TF ip (p) Dérivation par rapport à x dans l espace des positions = multiplication par p dans l espace des impulsions

10 2. La distribution en impulsion d une particule quantique

11 Comment faire une mesure de vitesse ou d impulsion? A l instant t =0, la particule a pour fonction d onde (x, 0) (x, 0) 2 x 0 x x 0 Méthode de temps de vol : la particule évolue pendant un temps t suffisamment long de sorte que x t x 0 (on peut montrer que x t t quand t ) L x 0 x t x = x 0 + L x Probabilité pour que la particule parcourt la distance L pendant le temps t? L analyse rigoureuse de ce problème est faite au chapitre 2, 6 (hors programme)

12 La densité de probabilité pour l impulsion Proposition : si une particule est dans l état probabilité pour son impulsion est : P(p) = (p) 2 (x), alors la distribution de (x) TF (p) Est-ce mathématiquement possible? On a vu que (p) est normée si (x) est normée, donc P(p) dp =1 P(p) peut donc bien être une densité de probabilité Est-ce physiquement réaliste? Classiquement, une fois connue la trajectoire l impulsion de la particule par : p = m dx dt x(t) de la particule, on définit Retrouve-t-on ce résultat au niveau quantique pour les valeurs moyennes?

13 Impulsion moyenne d une particule libre quantique Au niveau quantique, on sait calculer l évolution de la position moyenne de la particule en fonction du temps : (x, 0) 2 (x, t) 2 x x x 0 x t x 0 = x (x, 0) 2 dx x t = x (x, t) 2 dx Trouve-t-on p t = m d x t dt si on définit par p t = p (p, t) 2 dp? p t

14 Un résultat utile pour la suite du cours (p) TF (x) Comment s exprime p = p (p) 2 dp en fonction de (x)? On réécrit cette valeur moyenne sous la forme : p = (p) p (p) dp isométrie : 1 (p) 2 (p) dp = 1(x) 2(x) dx TF ' 1 ( p )='( p ) 1 (x) = (x) dérivation : 2(p) =p (p) TF 2(x) = i d (x) dx d où le résultat: p = (x) i d (x) dx dx

15 Retour à la question : p t = m d x t? dt L évolution de la position moyenne de la particule est donnée par d x t dt = d dt x (x, t) (x, t) dx = x t dx + x t dx On injecte alors l évolution donnée par l équation de Schrödinger i t = 2 2m 2 x 2 i t = 2 2m 2 x 2 Intégrations par parties en supposant que m d x t dt = i x dx tend vers 0 quand x à vérifier en exercice = p t (cf. diapo précédente) Question résolue!

16 3. Opérateurs position, impulsion, énergie et l équation de Schrödinger générale

17 Position et impulsion en mécanique quantique Valeur moyenne de la position : x = x (x) 2 dx = (x) x (x) dx Valeur moyenne de l impulsion : p = p (p) 2 dp = (x) i d dx dx Structure commune en terme d opérateur : x = (x) [ˆx (x)] dx (x) ˆx x (x) multiplication par x p = (x) [ˆp (x)] dx (x) ˆp i d (x) dx dérivation par rapport à x (à près) Nous généraliserons plus tard cette structure à toute quantité physique

18 Retour sur l équation de Schrödinger pour une particule libre Nous avons que l évolution de la fonction d onde était régie à une dimension par l équation : i t = 2 2m 2 x 2 (x, t) d une particule libre Cette équation peut se réécrire en utilisant l opérateur impulsion i t = ˆp2 2m avec (x) ˆp i (x) x ou encore i t = Ĥ avec Ĥ = ˆp2 2m Ĥ est l opérateur «énergie cinétique», qui coïncide ici avec l énergie totale car aucun potentiel n est pris en compte Equation de Schrödinger = lien temps - énergie

19 L équation de Schrödinger en présence d un potentiel V(x) Nous allons garder la structure i t = Ĥ x en incluant dans Ĥ toutes les contributions à l énergie de la particule : cinétique et potentielle Ĥ : opérateur énergie totale ou «Hamiltonien» Principe 2 (cas général) L équation de Schrödinger qui régit l évolution de la fonction d onde d une particule de masse m en mouvement dans le potentiel V(x) s écrit : Ecriture explicite : i t = Ĥ Ĥ (x, t) = avec 2 2m Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆx) 2 (x, t) x 2 + V (x) (x, t) Equivalent quantique du principe fondamental de la dynamique (Newton) (x, t)

20 4. Paquets d ondes et inégalité de Heisenberg

21 Interprétation «physique» de la TF Premier amphi : on a vu l onde de de Broglie (x) =e ixp 0/ associée à une particule d impulsion, mais cette onde n est pas normalisée p 0 Aujourd hui : toute fonction d onde normalisée peut s écrire (x) = 1 2 e ixp/ (p) dp (x) est une superposition d ondes de de Broglie (p) représente l amplitude de l onde e ixp/ e ixp/ dans ce développement + + = paquet d ondes

22 La TF est similaire au développement sur une base Développement d un vecteur A sur une base orthonormée { u n } A = n n u n à relier à (x) = 1 2 e ixp/ (p) dp Élément à développer vecteur A fonction (x) Type de somme somme discrète intégrale Vecteurs de base «poids» d un vecteur de base normalisation n u n u p (x) =e ixp/ / 2 n 2 (p) 2 n 2 =1 (p) 2 dp =1 On peut formaliser cette analogie en introduisant la notion de base continue. Hors programme pour ce cours (bases hilbertiennes dans l amphi 5)

23 L exemple d un paquet d ondes «gaussien» Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec les gaussiennes P(p) (p) e (p p 0) 2 /(4q 2 ) P(p) e (p p 0) 2 /(2q 2 ) 2 p p moyenne : écart-type : p = p 0 p = q p 0 Quelle est la fonction d onde (x) correspondante? Re( ) h/p 0 x moyenne : écart-type : (x) e ip 0x/ e q2 x 2 / 2 P(x) e 2q2 x 2 / 2 x =0 x = 2q 2 x Pour ce paquet d ondes gaussien, on a toujours : x p = 2

24 Deux cas limites intéressants du paquet gaussien Le paquet quasi-monocinétique : Re( ) p p 0 Il y a alors beaucoup d oscillations de (x) avec une amplitude similaire car x = h x = p 0 2 p x On retrouve une onde plane dans la limite p 0 Le paquet bien localisé : x Re( ) L impulsion est alors mal définie : p p 0 x x p = 2 : un paquet ne peut pas être à la fois bien localisé et quasi-monocinétique

25 L inégalité de Heisenberg dans le cas général On se donne une fonction d onde normalisée (x), de TF (p) Distribution de probabilité pour la position de la particule : P(x) = (x) 2 x = x (x) 2 dx x = x 2 x 2 1/2 Distribution de probabilité pour l impulsion de la particule : P(p) = (p) 2 p = p (p) 2 dp p = p 2 p 2 1/2 On a toujours : x p 2 cf. PC égalité atteinte seulement pour les gaussiennes

26 Signification physique de l inégalité de Heisenberg Il est impossible de préparer une particule dans un état tel que la position et l impulsion de la particule soient simultanément arbitrairement bien définies On considère 2N particules toutes préparées dans le même état (x) TF (p) Mesure de la position sur N particules n(x) Mesure de l impulsion sur N particules n(p) x x x x Ces histogrammes ne peuvent pas être simultanément arbitrairement étroits Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des appareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canaux des histogrammes p 2 p p p

27 5. La catastrophe classique de l effondrement de la matière par rayonnement

28 L instabilité de la matière «classique» (1) La «catastrophe» du rayonnement classique pour un atome : un électron tournant autour d un noyau est accéléré, une charge accélérée rayonne. Dans le modèle planétaire classique, l électron en rotation autour du noyau finit par «tomber» sur ce noyau. Un électron en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de pulsation énergie potentielle : V (r) = e 2 /r e 2 = q2 4 " 0 équilibre des forces : m! 2 r = e 2 /r 2! énergie cinétique : E cin = e2 2r énergie totale : E tot = E cin + V (r) = E tot 2r r 0 e2

29 L instabilité de la matière «classique» (2) Puissance rayonnée par une charge accélérée (cf. cours d électromagnétisme antérieur) : P e2 a 2 a =! 2 r : accélération c 3 c : vitesse de la lumière Perte relative d énergie sur un tour : E e 2 3/2 E tot 4 /r mc 2 Valeur typiques : r =1Å! s 1 e 2 /r mc La perte relative d énergie par tour est faible ( 10 6 ), mais l électron fait!/(2 ) tours par seconde En un temps de l ordre de m 2 c 3 r 3 /e ns, l électron devrait tomber sur le noyau!

30 La stabilité de la matière «quantique» L classique quantique Les atomes sauvés par l inégalité de Heisenberg Confiner une particule dans une région d étendue L «coûte» de l énergie cinétique : x L p On a ici hpi =0 et donc 2L E cin = Quand la taille L de «l orbite» tend vers 0, ce coût en énergie cinétique / 1/L 2 l emporte sur le gain en énergie potentielle / 1/L p2 2m ~ 2 8mL 2

31 La taille de «l orbite» de l électron qui minimise son énergie totale E tot = E cin + E pot E tot E cin ~2 8mL 2 E pot V (L) = e2 L L min L Minimum de ~ 2 e 2 8mL 2 L atteint pour L min = ~2 4me 2 Raisonnement non rigoureux, mais qui donne bien (à un facteur numérique près) le rayon de Bohr, c est-à-dire la taille de l état fondamental de l atome d hydrogène Dans cet état fondamental, l atome ne peut pas rayonner d énergie

32 En résumé Distribution de probabilité pour la position (x) 2 et pour l impulsion (p) 2 TF x p 2 Structure opératorielle : x = (x) [ˆx (x)] dx Opérateur position : (x) ˆx x (x) p = (x) [ˆp (x)] dx Opérateur impulsion : (x) ˆp i (x) x Equation de Schrödinger générale : i t = Ĥ Opérateur énergie ou «Hamiltonien» Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆx)