S1 : Suites et séries numériques

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1 The infinite geometric series. S1 : Suites et séries numériques The infinite geometric series. The infinite geometric series. Another proof of the identity. Deux preuves «sans paroles» de l identité k=1 1 4 k = 1 3 The infinite geometric series. 1

2 I Quelques préliminaires I.1 Relation d ordre a. Relation binaire Si E est un ensemble et A une partie de E E, on peut définir une «relation binaire» R sur E par xry (x, y A Deux sortes de relations binaires nous intéressent : les relations d ordre et les relations d équivalence. b. Relation d ordre Soit E un ensemble, R une relation binaire sur E. On dit que R est une relation d ordre sur E lorsqu elle est réflexive : x E xrx antisymétrique : (x, y E (xry 2 et yrx transitive : (x, y, z E (xry 3 et yrz ( ( xrz x = y.. c. Exemples ; ordre total, ordre partiel La relation est une relation d ordre sur R (la relation < ne l est pas. On dira que la relation d ordre R sur E est totale lorsque, pour tout couple (x, y d éléments de E, xry ou yrx (autrement dit, lorsque deux éléments quelconques de E sont «comparables» par R. La relation est d ordre total sur R. La relation sur P (E (ensemble des parties de E, où E est un ensemble quelconque ne l est pas, on parle alors d ordre partiel. d. Vocabulaire lié aux relations d ordre : majorant, maximum Soit A une partie de E, x un élément de E. On dit que x majore A, ou que x est un majorant de A, lorsque, pour tout élément a de A, arx. S il existe un tel élément, A est «majorée». Un élément a de A est dit maximal dans A si le seul élément x de A qui vérifie 2

3 arx est a. On dit aussi que a est un maximum. Si l ordre est total, il y a au plus un maximum. S il existe, on parle alors du maximum de A, on le note max(a. Mais même si A est majorée, elle n admet pas nécessairement un maximum (exemple : Si l ordre est partiel, Il peut y avoir plusieurs maximums dans A. On définit de même minorant, partie minorée, élément minimal, minimum. Une partie bornée est une partie à la fois minorée et majorée. I.2 Familles Soit X, I deux ensembles. Une «famille» d éléments de X indexée par I est une application de I dans X : x : I X i x(i On la note en général (x i i I. Par exemple, une suite est une famille indexée par N (ou parfois N, ou.... I.3 Entiers naturels On n aborde pas ici le problème très intéressant de la définition de N : le programme laisse de côté la théorie des ensembles, qui passionnait les mathématiciens il y a un siècle, un peu moins maintenant. On ne rappelle pas non plus la définition et les propriétés de l addition et de la multiplication. a. Récurrence Si une partie A de N contient 0, et si alors A = N. n N ( ( n A n + 1 A Ou encore, si P (n est une propriété de l entier naturel n, si P (0 et si, pour tout n N, P (n P (n + 1 3

4 alors n N P (n. On est amené également parfois à utiliser : si P (0 et si, pour tout n N, alors n N P (n. ( p n P (p P (n + 1 L appellation «récurrence forte» pour qualifier ce dernier énoncé ne correspond à rien de bien concret, c est toujours le même principe de récurrence. On parle d initialisation, d hérédité...mais il faut surtout éviter les récurrences mal posées, qui fâchent (légitimement les correcteurs. Pour l hérédité, on pourra donc dire à peu près : «soit n N ; montrons que P (n P (n + 1», évitant ainsi l utilisation dangereuse des quantificateurs. Il faut en effet à tout prix s interdire de transformer n N P (n P (n + 1 (l hérédité, correctement écrite en qui n a pas de sens. ( n N P (n P (n + 1 b. Propriétés liées à l ordre Toute partie non vide de N a un minimum (qu on appelle aussi parfois plus petit élément, abrégé en ppe, toute partie non vide majorée de N a un plus grand élément (pge. I.4 Nombres réels Toute construction de R est hors-programme. On peut considérer que l on a une idée intuitive de ce que sont les nombres réels... a. Propriétés algébriques (R,+, est un corps commutatif. 4

5 b. Propriétés liées à l ordre La relation est une relation d ordre total sur R, compatible avec les lois + et : si a b, alors a + c b + c ; si a b et 0 c, ac bc. R est archimédien : pour tous réels strictement positifs a et ɛ, il existe un entier naturel n tel que nɛ a. Toute partie non vide majorée de R a un plus petit majorant (autrement dit, l ensemble des majorants d une partie, s il est non vide, a un minimum. Ce plus petit majorant est appelé «borne supérieure» ; de même, toute partie non vide minorée a une «borne inférieure». Cette propriété de R est fondamentale en analyse. c. Intervalles On appelle intervalle de R un ensemble de l un des types suivants : ],+ [(= R, ], a], ], a[, [a,b], [a,b[, ]a,b], ]a,b[, [a,+ [, ]a,+ [ où l on définit par exemple ], a] = { x R/x a }. Proposition : Les intervalles de R sont les parties convexes de R : autrement dit, I est un intervalle si et seulement si (x, y I t [0,1] t x + (1 ty I c est-à-dire si et seulement si tout segment à extrémités dans I est tout entier inclus dans I. d. Valeur absolue On définit x = max(x, x. La distance entre deux réels x et y est par définition x y. On a alors l inégalité triangulaire : x + y x + y d où l on tire x y x y et x + y x y. 5

6 e. Congruence modulo un réel non nul On dit que x et y sont congrus modulo a, et on note x y [a] lorsqu il existe un entier n tel que x y = na. La relation de congruence modulo a est une relation d équivalence sur R. On l utilise beaucoup avec a = π ou a = 2π. f. Partie entière La partie entière d un réel est le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel ; x est l unique entier vérifiant x x < x + 1. Les anciennes notations [x] et E(x sont susceptibles d être rencontrées. II II.1 Convergence des suites de nombres réels ou complexes Limites de suites On dit que la suite de nombres réels ou complexes (u n n a pour limite a lorsque ɛ > 0 N N n N u n a ɛ On dit que la suite de réels (u n n a pour limite + lorsque A R N N n N u n A On dit que la suite de réels (u n a pour limite lorsque A R N N n N u n A S il y a une limite, elle est unique. On dit qu une suite converge lorsqu elle a une limite finie. Sinon, elle diverge (une suite qui a une limite infinie est donc divergente. Proposition Toute suite convergente est bornée. Proposition Soit (u n n N une suite réelle ; si u n l > 0, il existe δ > 0 tel qu à partir d un certain rang, u n δ. En particulier, à partir d un certain rang, u n > 0. 6

7 On remarque que (u n converge vers a si et seulement si (u n a converge vers 0, si et seulement si u n a converge vers 0. Si ( (u n n N ( C N, alors la suite (u n converge si et seulement si les suites réelles Re(u n et Im(u n converge, et, le cas échéant, lim u ( n = lim Re(un ( + i lim Im(un n + n + n + Autrement dit, la partie réelle (resp. imaginaire de la limite est la limite de la suite des parties réelles (resp. imaginaires. II.2 Opérations sur les limites de suites a. Suites convergentes On considère ici des suites de nombres réels ou complexes ; Si (u n et (v n convergent vers l et l, si a et b sont deux nombres réels ou complexes fixés, alors (au n + bv n converge vers al + bl, et (u n v n converge vers ll. Si (u n converge vers 0 et si (v n est bornée, alors (u n v n converge vers 0. b. LImites infinies Dans les résultats suivants, on considère des suites de nombres réels : Si (u n diverge vers + et si (v n est minorée, alors (u n + v n diverge vers +. Si (u n diverge vers + et si (v n est minorée à partir d un certain rang par un réel strictement positif, alors (u n v n diverge vers +. II.3 Majorations, minorations Ici encore, on ne considère que des suites réelles : Proposition : Si, à partir d un certain rang, u n a, si (u n a pour limite l, alors l a. On dit que les inégalités larges passent à la limite. Des inégalités strictes, lorsque l on passe à la limite, deviennent larges. 7

8 Théorème d encadrement, dit «des gendarmes» : Si (u n et (v n ont une même limite l, et si, au moins à partir d un certain rang, u n w n v n, alors (w n a pour limite l. II.4 Convergence des suites monotones Proposition : Toute suite croissante majorée de nombres réels converge (la limite d une telle suite (u n est sup(u n = sup({u n ; n N}. Toute suite croissante non majorée a pour limite +. n Résultat analogue pour les suites décroissantes minorées et non minorées. Théorème (suites adjacentes : Soit (u n et (v n deux suites, l une croissante et l autre décroissante, telles que (u n v n converge vers 0. Elles convergent alors vers une limite commune Théorème (segments emboîtés : Soit (I n une suite de segments décroissante pour l inclusion. Alors I n est un segment. Si de plus la suite des lon- n gueurs des segments converge vers 0, n I n est un singleton Corollaire : R n est pas dénombrable. 8

9 II.5 Etude des suites récurrentes a. Principes Soit A une partie de R ou de C, f une application de A dans A. Si c A, on peut définir une unique suite (u n n N par u 0 = c et n N u n+1 = f (u n Si l on parvient à démontrer que la suite converge (par exemple en montrant qu elle est croissante majorée, ou décroissante minorée, et si sa limite est un point l A en lequel f est continue, alors f (l = l (i.e. l est un point fixe de f. L étude de la fonction x f (x x sera donc souvent nécessaire, pour déterminer les points fixes de f et l éventuelle monotonie de la suite (u n. En pratique, A est souvent un intervalle de R, et la convergence de la suite (u n se démontre en étudiant sa monotonie, ou l adjacence des suites (u 2n et (u 2n+1...que l on conjecture en traçant le graphe de f, la première bissectrice des axes et les premiers termes de la suite (u n. b. Deux exemples Exercice 1 : Etudier la suite définie par u 0 > 0 et, pour tout n N, u n+1 = ln(3 + u n Exercice 2 : Etudier la suite définie par u 0 R et, pour tout n N, u n+1 = cosu n 9

10 III III.1 Généralités sur les séries réelles ou complexes Exemple d une série géométrique On veut donner un sens à la formule suivante : n=0 1 2 n = 2 Pour cela, on définit, pour tout entier naturel p, S p = p 1 n=0 2 n On sait calculer S p (c est une somme géométrique : On voit donc que S p = p+1 n= p 1 2 n = p p On dit alors que «la série de terme général 2 n converge», ou que «la série 1 2 n converge», et que sa «somme» est 2, ce que l on résume par l écriture donnée au début du paragraphe. On appelle S p «somme partielle d ordre p de la série 1 2 n». L étude de la série de terme général 1 2 n est donc l étude de la suite (S p. III.2 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme Soit (u n n N une suite de nombres réels ou complexes. Etudier la série de terme général u n, c est étudier la suite de terme général S n, où n S n = u k k=0 S n est la somme partielle d ordre n (ou de rang n de la série. 10

11 Lorsque la suite (S n n N converge, on dit que la série de terme général u n converge. On écrit parfois que «la série u n converge», ou que «la série u n converge» n (par exemple si plusieurs lettres interviennent dans l expression de u n, ou que «la série u n converge» (n 0 étant un entier naturel. n n 0 Lorsque la suite (S n n N diverge, on dit que la série de terme général u n diverge. «Etudier la nature» de la série u n, c est déterminer si cette série converge ou diverge. Dans le cas de convergence, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme de la série u n, et est notée lorque cette limite existe. n=0 n=0 ( p u n = lim u n p + n=0 u n. On a donc Une série divergente n a pas de somme. Le symbole n=0 u n n a alors pas de sens. On ne devrait d ailleurs se permettre d écrire ce symbole qu après avoir démontré la convergence de la série. Remarque importante : La somme d une série n est pas une somme...mais la limite d une suite de sommes! en ajoutant on n obtiendra 8 jamais 2. III.3 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière Proposition Pour que u n converge, il est nécessaire que la suite (u n converge vers 0. Si ce n est pas le cas, on dit que la série u n diverge grossièrement. 11

12 La réciproque est fausse! Par exemple, 1 diverge, bien que son terme général tende vers 0 (pour voir cette divergence, on peut par exemple minorer n 1 n S 2p S p, S p désignant la somme partielle d ordre p de la série. III.4 Séries géométriques complexes Soit q un nombre complexe. On peut étudier la nature de la série q n en calculant les sommes partielles. III.5 Espace vectoriel des séries convergentes Proposition Si les séries de termes généraux respectifs u n et v n convergent, si λ K (K = R ou C, alors la série de terme général λu n + v n converge, et n=0 (λu n + v n = λ n=0 u n + v n n=0 Autrement dit, l ensemble des suites (u n telles que la série u n converge est un espace vectoriel, sous-espace de l espace vectoriel des suites de nombres réels ou complexes, et l application qui à une telle suite (u n associe la somme de la série u n est linéaire. III.6 Caractérisation par les parties réelle et imaginaire Si (u n est une suite de nombres complexes, u n converge si et seulement si Re(un et Im(u n convergent, et si c est le cas, on a u n = Re(u n + i n=0 n=0 n=0 Im(u n 12

13 III.7 Restes d une série convergente On considère ici une suite (u n n N telle que la série u n converge. On note (S n n N la suite des sommes partielles, qui converge donc vers S, somme de la série. Définition On définit le reste d ordre n (ou : de rang n de la série convergente un : R n = S S n La suite (R n n N est la suite des restes de la série convergente u n. Elle converge vers 0. On peut écrire : R n = S S n ( p n = lim u k u k p + k=0 k=0 ( p n = lim u k u k p + k=0 ( p = lim p + k=n+1 u k k=0 R n s écrit donc comme somme d une série (convergente, bien entendu : R n = u k k=n+1 Pour une série divergente, on ne peut pas définir de restes. 13

14 IV Les «séries alternées» En général, lorsqu on cherche à montrer la convergence d une série, on pense à la convergence absolue. D ailleurs, on rencontrera beaucoup (et pas seulement en probabilités de séries à termes réels positifs. Il existe néanmoins un type très particulier de séries réelles pour lesquelles un critère simple et efficace est au programme ; la plus célèbre d entre elles est la série harmonique alternée : Théorème Spécial sur les Séries Alternées : Soit (u n n N une suite de réels ; on suppose (i La suite (u n est à signes alternés : u n 0 si n pair et u n 0 si n impair, ou l inverse. (ii La suite ( u n n N est décroissante. (iii u n n + 0. Alors u n converge. On a de plus, en définissant R n = p=n+1 u p, n 0 R n u n+1 Remarque : La condition (i peut être écrite sous la forme : «la suite ( ( 1 n u n n N est à signes constants.» Remarque : La majoration du reste gagne, pour éviter les erreurs éventuelles de décalage d indice, à être connue sous la forme «la valeur absolue du reste est majorée par la valeur absolue du premier terme écrit dans ce reste». Corollaire En reprenant les hypothèses et les notations précédentes, R n a même signe que u n+1. En particulier, la somme d une série alternée a même signe que son premier terme. 14

15 V Convergence absolue Définition On dit que la série de terme général u n converge lorsque la série de terme général u n converge. Proposition Toute série absolument convergente est convergente. Ou encore : ( un converge = ( un converge La convergence absolue est donc une condition suffisante de convergence. Ce n est pas une condition nécessaire, comme le montre l exemple de la série ( 1 n n 1 n. Mais c est une condition suffisant très utilisée, et cela justifie le grand intérêt que l on porte aux séries à termes réels positifs. VI VI.1 Séries à termes réels positifs : généralités Un critère simple de convergence Proposition Soit (u n n N une suite de réels positifs ; alors la série u n converge si et seulement si la suite (S n de ses sommes partielles est majorée. VI.2 Détermination de la nature d une série par comparaison Proposition 1 Soit (u n, (v n deux suites de réels positifs. On suppose que la série v n converge. Si, de plus, l une des trois hypothèses suivantes est réalisée : Il existe n 0 tel que n n 0 u n v n u n =O (v n u n = o(v n alors la série u n converge. Proposition 2 Soit (u n, (v n deux suites de réels positifs. On suppose u n v n 15

16 Alors les séries u n et v n sont de même nature (elles convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux. La proposition 2 est fausse si les deux séries ne sont pas supposées à termes positifs! On peut pour s en convaincre étudier la nature de la série ( 1 n n 2 n α + ( 1 n suivant les valeurs du réel non nul α (c est, en plus, un exercice d oral classique. En revanche, si (u n est une suite à termes réels positifs, et si (v n est une suite telle que u n v n, alors au moins à partir d un certain rang on aura v n 0, et le critère reste valable. Il suffit donc de vérifier qu une des deux séries est à termes réels positifs. et la proposition 1? c est moins net. En effet, si on suppose seulement (v n à termes réels positifs, et u n =O (v n, la définition de la relation O fait que l on peut aussi bien écrire u n =O (v n, donc par proposition 1 la convergence de la série v n implique celle de u n et donc, par convergence absolue, celle de un. Néanmoins, la proposition 1 figure au programme dans le contexte des séries à termes réels positifs, on l utilisera donc seulement sous cette hypothèse. Et le premier volet de la proposition (avec n est valable que sous cette hypothèse. 16

17 VII Séries à termes positifs : comparaison de sommes et d intégrales VII.1 Intégrabilité d une fonction positive a. Définition Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,+ [ (a nombre réel, à valeurs dans R + ; on dira que f est intégrable sur [a,+ [ si et seulement si la fonction x F : x f (t dt a a une limite (finie quand x +. On définit alors + a f = + a ( x f (t dt = lim f (t dt x + a On remarque que f est intégrable sur [a,+ [ si et seulement si F est majorée sur [a,+ [. Voir le chapitre sur l intégration pour une définition plus générale. La définition ci-dessus n est valable que pour les fonctions à valeurs positives. b. Exemple de Riemann Proposition : Soit a > 0. Soit β réel. La fonction t 1 si et seulement si β > 1. est intégrable sur [a,+ [ t β VII.2 Comparaison Lemme : Soit f continue (ou seulement continue par morceaux sur [0, + [, décroissante et à valeurs réelles. Alors, pour tout k N, k+1 k k f (k f (t dt f (k 1 k 1 k f (t dt f (k f (t dt k 1 17

18 Lemme : Soit f continue (ou seulement continue par morceaux sur [0, + [, décroissante et à valeurs réelles. Alors, pour tout k N, n+1 0 n k=1 n f (k 0 f (t dt n k=0 n 1 f (t dt k=0 f (k n f (k f (0 + f (t dt 0 Proposition : Soit f continue par morceaux sur [0, + [, décroissante et à valeurs réelles positives. Alors ( f (n converge ( f intégrable sur [0,+ [ VII.3 Application aux séries de Riemann Proposition : Soit α, β deux réels ; ( 1 n β converge n 1 ( n 1 n α converge VII.4 Approfondissement On considère encore ici une fonction f continue par morceaux sur [0, + [, à valeurs dans R +, décroissante, mais pas nécessairement intégrable. On définit, si n 1, Proposition : w n converge. n w n = f (t dt f (n n 1 Remarque : On aurait pu aussi bien considérer w n = f (n 1 n n 1 f (t dt Remarque : Il importe de remarquer que f n est pas forcément intégrable ; en effer, ce théorème est couramment utilisé pour calculer des équivalents de sommes partielles de séries divergentes. 18

19 VII.5 Constante d Euler, série harmonique alternée (Classique hors-programme On note H n = n = n harmonique. k=1 1 k (les H n sont les sommes partielles de la série 1. En utilisant le résultat du paragraphe précédent, montrer qu il existe un réel γ tel que H n = lnn + γ + o (1 n + Le nombre γ est la «constante d Euler». n ( 1 k+1 2. On note A n = ; exprimer A 2n en fonction de H n et de H 2n. k k=1 3. En déduire la valeur de n=1 ( 1 n+1 n VIII VIII.1 Comparaison logarithmique, critère de d Alembert Lemme de comparaison logarithmique Lemme : Soit (u n, (v n deux suites à termes réels strictement positifs. On suppose que, au moins à partir d un certain rang, u n+1 u n v n+1 v n Alors u n =O (v n. VIII.2 Comparaison à une série géométrique : critère de d Alembert Proposition : Soit (u n une suite de réels strictement positifs. On suppose u n+1 u n Si 0 l < 1, alors u n converge. Si l > 1, alors u n diverge. n + l On ne peut rien conclure de l hypothèse l = 1. 19

20 VIII.3 Série exponentielle Proposition : Soit z un nombre complexe. La série z n n! converge. On définit e z = exp(z = z n n=0 n! IX Remarque sur les critères de convergence La convergence (ou la divergence de la série de terme général u n est une propriété asymptotique de cette suite ; autrement dit, s il existe un rang n 0 tel que n n 0 = u n = v n alors u n a même nature que v n. On peut donc réécrire les différents critères de convergence en supposant les hypothèses vérifiées seulement à partir d un certain rang ; la conclusion demeure. X Correspondance suites-séries Etudier la convergence d une série, c est étudier la convergence d une suite : la suite de ses sommes partielles. Réciproquement, toute suite peut être écrite comme suite des sommes partielles d une certaine série. Considérons en effet un suite (u n n N, et cherchons une suite (v n n N telle que les u n soient les sommes partielles de la série de terme général v n. Autrement dit, cherchons (v n n N telle que, pour tout n 0 : n u n = v p k=0 Ceci équivaut à v 0 = u 0 et, pour tout n 1, v n = u n u n 1. On pose parfois u 1 = 0 pour que cette formule soit vraie pour tout n. On retiendra : Proposition La nature (convergente, divergente de la suite (u n est la même que celle de la série (u n+1 u n. 20

21 On parle souvent de «série télescopique» pour ces séries. L utilisation de cette proposition permet, combinée aux critères de convergence de séries, d étudier des suites. Proposition (rappel ; séries de Riemann Soit α réel. La série 1 n α converge si et seulement si α > 1 Démonstration en plusieurs étapes : 1. Montrer que 1 converge, de deux manières différentes : n (a En notant S n la somme partielle d ordre n, et en minorant S 2n S n. (b En utilisant un équivalent de ln(n + 1 lnn et la correspondance suites-séries. 2. En déduire par comparaison la nature de 1 pour α 1. nα 3. Soit β > 0 ; trouver un équivalent simple de 1 n β 1 (n + 1 β 4. Conclure en utilisant encore une comparaison suites-séries. Cette méthode est moins naturelle que la comparaison à une intégrale vue précédemment. Mais les raisonnement mis en jeu sont importants. XI Comparaison de suites La convergence d une série s étudie très souvent en comparant son terme général à celui d une série connue (série de Riemann ou série géométrique. Pour ce faire, on utilise des, des O, des o. Pour, très souvent, aboutir à des conclusions de la forme : «u n 1 n α, or α > 1, donc u n converge.» «u n 1 n α, or α 1, donc u n diverge.» 21

22 ( 1 0, donc u n = o Suites et séries (S1 «n 2 u n n + n 2 savoir bien utiliser les relations de comparaison., donc u n converge.» Un préalable est de XI.1 Domination Soit (u n et (v n deux suites réelles ou complexes. On suppose qu au moins à partir d un certain rang n 0, la suite (v n ne s annule pas. a. Définition On dit que (u n est dominée par (v n (sous-entendu au voisinage de l infini, et on note u n = O (v n lorsqu il existe un réel M et un rang N 0 tels que pour n N 0 on ait : u n M v n. b. Réécriture u n =O (v n si et seulement s il existe une suite (α n bornée telle que, au moins à partir d un certain rang N 0, u n = v n α n c. Réécriture ( un u n = O (v n bornée v n n n 0 XI.2 Négligeabilité et prépondérance (mêmes hypothèses que précédemment a. Définition On dit que (u n est négligeable devant (v n, et on note u n = o(v n, lorsque pour tout réel strictement positif ɛ il existe un rang N à partir duquel on ait : u n ɛ v n 22

23 b. Réécriture (u n est négligeable devant (v n si et seulement s il existe une suite (ɛ n convergeant vers 0 et telle que, au moins à partir d un certain rang, u n = v n ɛ n. (cette écriture est souvent utilisée dans les calculs. c. Réécriture ( un u n = o(v n v 0 n n. d. Comparaison avec la domination o implique O : ( ( u n = o(v n u n =O (v n e. Remarque sur les «notations de Landau» Il serait préférable d écrire u n O (v n ou u n o(v n ; on utilisera aussi la notation pour o. XI.3 Equivalence (mêmes hypothèses a. Définition On dit que (u n est équivalente à (v n, et on note u n v n, lorsque (u n v n est négligeable devant (u n ou devant (v n (on montre que cela revient au même. Comme son nom le laisse deviner, la relation est une relation d équivalence sur l ensemble des suites de nombres complexes (elle est réflexive, symétrique, transitive. 23

24 b. Réécriture (u n et (v n sont équivalentes si et seulement s il existe une suite (η n convergeant vers 1 et telle que, au moins à partir d un certain rang, u n = v n η n. Cette écriture permet de concrétiser le symbole u n v n dans des calculs, et de retrouver les propiétés usuelles. c. Réécriture conditionnelle d. Remarque importante ( un u n v n v 1 n n Il faut savoir passer automatiquement de l écriture u n v n à l écriture équivalente u n = v n + o(v n (ou la même en inversant les rôles de u n et de v n. C est très utilisé dans les calculs asymptotiques, car il est bien plus facile de manipuler des développements asymptotiques et des égalités que des équivalents. e. Comparaison avec la domination implique O : ( (u n v n u n =O (v n XI.4 Opérations Les propriétés opératoires sont faciles à établir, inutile de surcharger sa mémoire, mieux vaut revenir à la définition. 24

25 hypothèse(s conclusion u n = o(v n u n w n = o(v n w n u n =O (v n u n w n =O (v n w n u n = o(v n, t n = o(w n u n t n = o(v n w n u n =O (v n, t n =O (w n u n t n =O (v n w n u n = o(v n, t n = o(v n αu n + βt n = o(v n u n =O (v n, t n =O (v n αu n + βt n =O (v n u n = o(v n, t n v n u n = o(t n u n =O (v n, t n v n u n =O (t n u n v n, t n w n u n v n, t n w n u n t n v n w n u n /t n v n /w n * pour cette dernière propriété, (t n, donc (w n, est supposée ne pas s annuler au moins à partir d un certain rang. Ce «catalogue» est incomplet, mais il faut surtout se méfier des fausses propriétés que l on aurait envie d utiliser ; quelques exemples : On peut multiplier des équivalents, en faire des quotients, mais surtout pas les ajouter. De u n v n on ne peut pas déduire u n +w n v n +w n. Si l on prenait par exemple w n = u n, on obtiendrait 0 v n u n. Or une suite n est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d un certain rang. Si α est un entier naturel fixé (et même, dans le cas où les suites ne s annulent pas, si α est un entier quelconque ; et même, dans le cas où les suites sont à valeurs dans R +, si α est un réel quelconque on a u n v n = u α n v α n En revanche, ne pas élever une équivalence à une puissance qui dépend de n : u n v n un n v n n. Essayer par exemple à partir de u n = 1 et v n = 1 + 1/n. lnu n ln v n, expu n exp v n, sinu n sin v n, etc...ne découlent pas en général de l hypothèse u n v n ; autrement dit, de u n v n on ne déduit pas f (u n f (v n. En règle générale, lorsque l on doit faire un calcul autre qu un simple produit ou quotient il est prudent de transformer l équivalent u n v n en u n = v n + o(v n, i.e. transformer un équivalent en développement asymptotique. 25

26 XI.5 Signes, limites et équivalence Proposition : Deux suites réelles équivalentes ont, à partir d un certain rang, strictement même signe (à partir d un certain rang n 0, u n = 0 v n = 0, u n > 0 v n > 0, u n < 0 v n < 0 ; de plus, si l une converge, l autre aussi, vers la même limite. Si l une diverge vers + (resp., l autre aussi. Si l 0, la suite (u n a pour limite l si et seulement si u n l. Si l = 0, c est faux ; u n 0 signifie u n nulle à partir d un certain rang : c est rare (et c est en général la conclusion d un calcul erroné. XI.6 Suites de référence En remplaçant la notation o par la notation, on a : si β > 0, α > 0, a > 1, alors ou, ce qui revient au même, si γ > 0 : (lnn β n α a n (lnn β n α e nγ On peut trouver des suites qui divergent encore plus vite vers + : et de même, si β < 0, α < 0, a < 1, (lnn β n α a n n! n n 1 n n 1 n! an n α (lnn β. XII Problèmes de rédaction La rédaction d un raisonnement sur les séries demande un peu d attention pour être correcte. 1. On ne parle pas de la somme d une série avant d avoir montré la convergence de cette série. Le symbole u n («sigma des u n» est un raccourci pour éviter d écrire «la série de terme général u n», et ne doit pas être confondu avec le symbole désignant la somme. Autrement dit, il est incorrect d écrire «montrons que n=0 26 u n converge».

27 2. Pour montrer la convergence d une série, on travaille la plupart du temps sur le terme général, rarement sur les sommes partielles (mais il y a quelques exceptions, voir en particulier les séries géométriques, jamais sur la somme de la série (voir ci-dessus ; par exemple, 1 «n=1 1 + n 2 1 n=1 n 2, or 1/n 2 converge (série de Riemann, donc 1/(1+ n 2 converge» est incorrect, p 1 p «n=1 1 + n 2 1 n=1 n 2 or 1/n 2 converge (série de Riemann, donc 1/(1+ n 2 converge» est insuffisant, 1 «n n 2 1 n 2, or 1/n 2 converge (série de Riemann, donc par comparaison 1/(1 + n 2 converge» est très bien, même si, en pratique, un réflexe plus courant serait d écrire 1 «1 + n 2 1 n 2, or 1/n 2 est une série convergente à termes réels positifs, donc par comparaison n 2 converge.» 3. L utilisation des sommes partielles, maladroite ci-dessus pour des séries à termes réels positifs, est incorrecte pour des démonstrations de convergence absolue : «p ( 1 n p 1 p 1 n=1 1 + n 2 n=1 1 + n 2 n=1 n 2 or 1/n 2 converge (série de Riemann, donc ( 1 n /(1 + n 2 converge» n est pas correct. Il faut écrire «( 1n n 2 = n 2 1 n 2, or 1/n 2 converge (série de Riemann, donc par comparaison ( 1 n /(1 + n 2 converge absolument, donc converge. 27

28 Table des matières I Quelques préliminaires 2 I.1 Relation d ordre a. Relation binaire b. Relation d ordre c. Exemples ; ordre total, ordre partiel d. Vocabulaire lié aux relations d ordre : majorant, maximum 2 I.2 Familles I.3 Entiers naturels a. Récurrence b. Propriétés liées à l ordre I.4 Nombres réels a. Propriétés algébriques b. Propriétés liées à l ordre c. Intervalles d. Valeur absolue e. Congruence modulo un réel non nul f. Partie entière II Convergence des suites de nombres réels ou complexes 6 II.1 Limites de suites II.2 Opérations sur les limites de suites a. Suites convergentes b. LImites infinies II.3 Majorations, minorations II.4 Convergence des suites monotones II.5 Etude des suites récurrentes a. Principes b. Deux exemples III Généralités sur les séries réelles ou complexes 10 III.1 Exemple d une série géométrique III.2 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme III.3 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière

29 III.4 Séries géométriques complexes III.5 Espace vectoriel des séries convergentes III.6 Caractérisation par les parties réelle et imaginaire III.7 Restes d une série convergente IV Les «séries alternées» 14 V Convergence absolue 15 VI Séries à termes réels positifs : généralités 15 VI.1 Un critère simple de convergence VI.2 Détermination de la nature d une série par comparaison VIISéries à termes positifs : comparaison de sommes et d intégrales 17 VII.1Intégrabilité d une fonction positive a. Définition b. Exemple de Riemann VII.2Comparaison VII.3Application aux séries de Riemann VII.4Approfondissement VII.5Constante d Euler, série harmonique alternée (Classique hors-programme 19 VIIIComparaison logarithmique, critère de d Alembert 19 VIII.1Lemme de comparaison logarithmique VIII.2Comparaison à une série géométrique : critère de d Alembert VIII.3Série exponentielle IX Remarque sur les critères de convergence 20 X Correspondance suites-séries 20 XI Comparaison de suites 21 XI.1 Domination a. Définition b. Réécriture c. Réécriture conditionnelle, définition du programme XI.2 Négligeabilité et prépondérance

30 a. Définition b. Réécriture c. Réécriture conditionnelle, définition du programme d. Comparaison avec la domination e. Remarque sur les «notations de Landau» XI.3 Equivalence a. Définition b. Réécriture c. Réécriture conditionnelle d. Remarque importante e. Comparaison avec la domination XI.4 Opérations XI.5 Signes, limites et équivalence XI.6 Suites de référence XIIProblèmes de rédaction 26 30