4 ème Cours triangles : milieux et parallèles Agrandissement et réduction. I Triangles et milieux. a) Avec deux milieux.

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1 I Triangles et milieux a) Avec deux milieux Conjecturer Tracer un triangle ABC. Placer le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [AC]. Tracer la droite (IJ). Que semble-t-il se passer? Recommencer avec d autres triangles. Prouver L est le symétrique du point I par rapport à J. J est le milieu de [IL] et de [AC] donc IALC est un parallélogramme. Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. Donc les droites (AI) et (LC) sont parallèles. Les côtés opposés d un parallélogramme sont de même longueur. Donc les longueurs AI et LC sont égales. I est milieu de [AB] donc IB = AI = LC IB = LC et (IB) // (LC) donc ILCB est un parallélogramme. Les droites (IJ) et (BC) sont donc parallèles car les côtés opposés IB et LC du parallélogramme ILCBsont parallèles. De plus BC = IL (car les côtés opposés BC et IL du parallélogramme ILCB sont de même longueur). Donc IJ = 1 2 BC 1

2 Propriété 1 Si on joint les milieux de deux côtés d un triangle alors on obtient un segment parallèle au troisième côté, dont la longueur est la moitié de ce côté. Dessin : Dans un triangle ABC, si je sais que : I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Alors, je peux affirmer que : (IJ) est parallèle à (BC) Et IJ = 1 2 BC b) Avec un milieu et une parallèle Conjecturer Tracer un triangle ABC. Placer le milieu I de [AB]. Tracer la droite (d) passant par I et parallèle à la droite (BC). Elle coupe [AC] en M. Marie s exclame, en terminant sa figure : «Mais c est exactement pareil que la première activité du chapitre!» Pierre réagit du tac au tac : «Mais non! Les données ne sont pas les mêmes. On a placé un milieu, puis tracé la parallèle à la droite (BC). Alors que l autre fois, on avait placé» Terminer la phrase de Pierre. Prouver Dessin à main levé ATTENTION! On ne sait pas que M est le milieu de [AC], il faut le prouver Le raisonnement est délicat. Appelons J le milieu de [AC]. 2

3 D une part, d après la propriété 1, (IJ) est parallèle à (BC). D autre part, (IM) est parallèle à (BC) d après les données. Or, il n existe qu une seule droite parallèle à (BC) et passant par I. On en déduit que M=J. Par conséquent (d) coupe [AC] en son milieu. Propriété 2 Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Dessin : Dans un triangle ABC, si je sais que : I est le milieu de [AB] M est sur [AC] (IM) est parallèle à (BC) Alors, je peux affirmer que : M est le milieu de [AC] II) Proportionnalité dans un triangle Petites intros : 1) Si a b = c alors ad = bc. Démo en mettant les deux fractions au même dénominateur. d On utilise le même triangle ABC dans les trois activités. ABC est un triangle tel que : AB = 9 cm, AC = 6 cm et BC = 12 cm. Activité 1 I est le milieu de [AB]. Par I, on trace la parallèle à (BC). Elle coupe [AC] en J. Que peut-on dire de J? Sans faire de mesures, exprimer les rapports suivants : AI AB, AJ IJ et AC BC. 3

4 Activité 2 Placer K sur [AB] tel que AK = 6 cm. Par K, tracer la parallèle à (BC). Elle coupe [AC] en L. Exprimer le rapport AK AB Mesurer AL et KL. Calculer les rapports suivants : AL AC et KL BC. Activité 3 Placer M sur [AB] tel que AM = 1.5 cm. Par M, tracer la parallèle à (BC). Elle coupe [AC] en N. Exprimer le rapport AM AB Mesurer AN et MN. Calculer les rapports suivants AN AC et MN BC. Le fait de placer I à 1 2 de [AB], puis de tracer (IJ) parallèle à (BC), nous donne J situé à 1 2 de [AC] et IJ = 1 BC. Ce sont des propriétés vues au début du chapitre. 2 On peut exprimer ainsi ces propriétés : Théorème des milieux : Dans un triangle ABC, si je sais que : I est le milieu de [AB] J est sur [AC] Alors, je peux affirmer que : (IJ) est parallèle à (BC) AI AB = AJ AC = IJ BC = 1 2 Les côtés du triangle AIJ sont TOUS deux fois plus petits que ceux du triangle ABC. AIJ est une réduction de ABC. 4

5 Activité 4 AK AB = 6 9 = 2 3 AL AC = 4 6 = 2 3 KL BC = 8 12 = 2 3 Il semble y avoir égalité des trois rapports. Le fait de placer K aux 2 3 de [AB], puis de tracer (KL) parallèle à (BC), nous donne L situé aux 2 3 de [AC] et KL = 2 3 BC. Le triangle AKL est une réduction du triangle ABC dans le rapport 2 3 Nous admettrons que le théorème des milieux se généralise à tout point du segment [AB]. C est le ( petit ) théorème de Thalès. (Petit) théorème de Thalès : B SI JE SAIS QUE : B B appartient à [AB] C appartient à [AC] (B C ) est parallèle à (BC) A C C ALORS JE PEUX DIRE QUE : AB AB = AC AC = B C BC Côtés du petit triangle sur Côtés du grand triangle On peut inverser les fractions. 5

6 III) Agrandissement réduction a) définition Quand deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est l'agrandissement ou la réduction de l'autre. Remarques : Si F est un agrandissement de F' alors F' est une réduction de F. Le coefficient de proportionnalité k est le rapport d'agrandissement ou de réduction. Si k est strictement compris entre 0 et 1 alors F est une réduction de F. Si k est strictement supérieur à 1 alors F est un agrandissement de F. Dire qu une figure F est un agrandissement de facteur k d une figure F revient à dire que la figure F est une réduction de facteur 1 de la figure F. k Exemple : Le triangle AEF est un agrandissement de rapport 1,2 du triangle ABC de la figure cicontre tel que E appartienne à [AB) et F appartienne à [AC). Calculer les longueurs des côtés du triangle AEF. Comme AEF est un agrandissement de ABC de rapport 1,2 alors ses dimensions sont 1,2 fois celles du triangle ABC. On en déduit alors que : AE=1,2 AB=1,2 5=6 soit AE = 6 cm. AF=1,2 AC=1,2 3,2=3,84 soit AF = 3,84 cm. EF=1,2 BC=1,2 4,6=5,52 soit EF = 5,52 cm. 6

7 b) Propriétés Dans un agrandissement ou une réduction les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. Exemple : Le triangle GRD est rectangle en R tel que GR = 6 cm et RD = 8 cm. Le triangle PTI est une réduction de rapport 0,5 du triangle GRD, tel que l angle a PTI soit la réduction de l angle a GRD. Quelle est la nature du triangle PTI? Calculer TP et TI. Comme PTI est une réduction de GRD de rapport 0,5 alors les mesures d'angles sont conservées : a PTI = a GRD= 90. Donc le triangle PTI est rectangle en T. De plus, ses dimensions sont 0,5 fois celles du triangle GRD : On en déduit alors que : TP=0,5 GR=0,5 6=3 soit TP = 3 cm. TI=0,5 RD=0,5 8=4 soit TI = 4 cm. c) Exercices d application Exercice 1 : Le triangle BEC est une réduction de rapport 0,75 du triangle TOP de côtés 3,6 cm ; 5,2 cm et 7,2 cm. Donner les longueurs du triangle BEC puis le construire. Réponse : Les longueurs du triangle BEC sont : 3,6 0,75 = 2,7 cm; 5,2 0,75 = 3,9 cm; 7,2 0,75 = 5,4 cm. 7

8 xercice Exercice 2 Donner les dimensions d'un agrandissement de rapport 2,5 du triangle PAS tel que a APS = 100, a SAP = 50 et PA = 3 cm. Réponse : Soit P A S le triangle agrandi. Comme les mesures des angles sont conservées dans un agrandissement, on a a A P S = 100 et as A P = 50 Exercice 3 Soit un rectangle BLEU de longueur 5 cm et de largeur 4 cm. Soit ROIS une réduction de BLEU de rapport 3 5 Quelle est la nature du quadrilatère ROIS? Justifier la réponse puis construire ROIS. Réponse : Dans un agrandissement les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés. 8

9 Donc ROSE est aussi un rectangle de dimensions 3cm par 2,4 cm. 9

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