Les vecteurs. Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite.

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1 Les vecteurs I. Notion de Translation Exercice Sur le quadrillage ci-dessus : a. Faire «glisser» l objet (qu on appellera figure 1)de 8 carreaux vers la droite et 2 vers le haut (on appellera la figure : figure 2) b. Faire «glisser» l objet de 14 carreaux vers la droite et 7 vers le bas (on appellera la figure : figure 3). c. Quel type de «glissement» permet de passer de la figure 2 à la figure 3? d. Et de la figure 3 à la figure 2? Pour des raisons de commodité,on définit : deux directions de déplacements : l horizontale et la verticale Sur chaque direction, un sens de déplacement : positif pour de la gauche vers la droite horizontalement positif pour de bas en haut verticalement. Faire glisser de 2 carreaux horizontalement vers la gauche et de 4 carreaux verticalement vers le bas se dira ; «faire une translation de» ( lire «vecteur u de coordonnées 2 ; 4» ) Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite. Il est noté Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers le haut. Il est noté Remarque 2 : Les coordonnées d un vecteur peuvent aussi être écrites en ligne (x ;y) comme les coordonnées d un point. Il est cependant préférable de le noter en colonne pour, justement, ne pas mélanger vecteur et point. 1/8

2 Translations et vecteurs 1. Vecteur Un vecteur caractérise une translation. Si le point A est l image du point A par une translation, on parle de translation de Le vecteur possède 3 caractéristiques : Sa direction : la droite (AB) Son sens : de A vers B Sa «longueur» : la distance AB Remarque : Norme d un vecteur Pour ne pas mélanger vecteur et segment ( le vecteur est beaucoup plus fort que le segment) on parle de «norme» du vecteur et non pas de «longueur» On note la norme de On a donc = AB 2. Egalité de vecteurs Les vecteurs et sont égaux si et si ils ont les mêmes caractéristiques : même direction même sens même norme. = si et seulement si Propriété 1 = si et seulement si ABDC est un. Propriété 2 Les vecteurs et sont égaux si et si ils ont les mêmes coordonnées si et alors = 3. Image d un point par une translation Le point M est l image du point M par la translation de si et seulement si = 2/8

3 4. Exercice 1 a. Dans le quadrillage ci-après, placer le point D image du point E par la translation de b. Donner les coordonnées de et de c. calculer en prenant comme unité le coté d un carreau. d. Placer F image de D par la translation de e. Donner les coordonnées de II. Relation entre coordonnées de points et coordonnées de vecteurs Si le point M a pour coordonnées ( x ; y ) dans le repère (O ; I ; J) alors le vecteur a pour coordonnées dans la base vectorielle ( ; ) où = et =. III. Opérations sur les vecteurs 1. Somme de deux vecteurs a. Définition Si et alors + est le vecteur de coordonnées b. Exercice 2 Dans le quadrillage suivant a. Tracer un vecteur de coordonnées et un vecteur de coordonnées b. Calculer les coordonnées de = + c. Placer le point B tel que = d. Placer le point C tel que = e. Placer le point D tel que = f. Conclure. 3/8

4 c. Relation de Chasles B + = A + C Remarque 1 La relation de Chasles traduit la technique géométrique d addition de 2 vecteurs : La construction géométrique du vecteur somme des vecteurs et s obtient en mettant «bout à bout» les vecteurs et, l extrémité du premier vecteur coïncidant avec l origine du second,le vecteur somme est alors le vecteur ayant pour origine l origine du premier vecteur et pour extrémité l extrémité du second vecteur de la somme. + Remarque 2 : Cette relation est très utile pour simplifier des écritures de sommes vectorielles Exemple : = ( + ) + ( + ) = + somme particulière que l on peut écrire 2 sans trop se poser de question, même si la multiplication d un vecteur par un nombre réel ne sera définie qu un peu plus tard dans ce cours!! d. Propriétés + = + La somme de deux vecteurs est commutative + ( + ) = ( + ) + La somme des vecteurs est associative Nous avons utilisé ces propriétés de manière naturelle dans l exemple précédent. Elles se démontrent aisément avec les propriétés similaires sur les nombres réels. Si et alors + et + a pour coordonnées ce qui est la même chose puisque x + x = x + x et y + y = y + y d où la première des propriétés ( même méthode pour montrer la seconde propriété ) e. Vecteur nul On a + = le vecteur a une norme nulle ( AA = 0 ), il n a ni direction ni sens, on le note et on le lit «vecteur nul» Les coordonnées de sont 4/8

5 2. Soustraction de deux vecteurs a. Définition 1 Si et alors est le vecteur de coordonnées Exercice 3 On donne, et Donner les coordonnées des vecteurs, et définis par : = + = et = ( ) b. Opposé d un vecteur Définition L opposé du vecteur est le vecteur noté de coordonnées Propriété + ( = + = On note de manière naturelle : = Remarque : On a vu, avec Chasles, que + = = donc et sont deux vecteurs opposés Propriété ( point de vue géométrique de l opposé d un vecteur ) L opposé de est L opposé d un vecteur non nul est un vecteur ayant : Même direction que Même norme que donc = Sens opposé à celui de c. Définition 2 Soustraire le vecteur c est additionner son opposé : = ) Utilisation ( simplifications d écritures vectorielles ) Exemple : + = = + + )+ = + ( )+ = + + = +( + ) = + d. Propriété : coordonnées de On a = + = + = Donc = Si A ( ; et B ( ; dans le repère (O ; I ; J) alors on sait que et et, par soustraction, 5/8

6 D où le résultat suivant à connaître par cœur : Si A ( ; et B ( ; dans le repère (O ; I ; J) alors le vecteur a pour coordonnées dans la base vectorielle ( ; ) où = et =. Exemple d utilisation Soient les points A ( 2 ;5), B( 3 ; 3), C(4 ; ) et D ( Montrer que ABCD est un parallélogramme. Solution : Montrons que = ce qui prouvera bien que ABCD est parallélogramme (Propriété de l égalité de 2 vecteurs ) Or = = et Donc = = = Donc ABCD est un parallélogramme Exercice 4 Soient A( et B( 1 ; Soit Placer le point M tel que = + Calculer les coordonnées de M et vérifier sur le dessin. Exercice 5 Soient A(, et Placer le point M tel que = Calculer les coordonnées de M 3. Multiplication d un vecteur par un nombre réel. a. Définition Si et k est nombre réel alors est le vecteur de coordonnées Exercice 6 Soient A(, B( 1 ;, C(3 ; 5) et Placer les points M, N et P tels que =, =1,5 et = puis calculer leurs coordonnées. Que peut-on dire des droites (AM), (BN) et (CN)? 6/8

7 b. Propriété 1. Si est un vecteur non-nul et si k est un nombre réel différent de 0 alors k est un vecteur qui a comme caractéristiques : Direction : Sens : Norme :. k =. 0 = c. Propriété 2 Si = k alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Si = k alors les points A, B et C sont alignés Exercice 7 Soient A ( 3 ;1), B( 0 ; 2), C( 1; ), D 5 et E (6 ; 4) Montrer que (AB) // (CD) Montrer que A, B et E sont alignés. d. Colinéarité de deux vecteurs Définition Deux vecteurs et sont dits colinéaires lorsqu il existe un réel k tel que = Remarque : est colinéaire à n importe quel vecteur car = 0 ( le k de la définition vaut 0 ) Propriété 3: Deux vecteurs non-nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. La propriété 2 ( paragraphe c ) peut s énoncer maintenant : Propriété 4 les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires les points A, B et C sont alignés si et sont colinéaires 7/8

8 Exercice 8 Soient,, et = + 2 Montrer que et sont colinéaires. Exercice 9 Soient et trouver y pour que et soient colinéaires. Propriété 5 Soient et alors sont colinéaires si et seulement si Exercice 10 Soient A ( 1 ;3), B( 7 ; ), C(0; ), D (4 et E (5 ; 0) Montrer que (AB) // (CD) Montrer que A, B et E sont alignés. 8/8