C3T11 Trigonométrie Exercices 1/5

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1 3T11 Trigonométrie xercices 1/ Relations trigonométriques 1 e bon triangle n se place dans le triangle K rectangle en K. Quelle est son hypoténuse? J K Quels rapports? est un triangle rectangle en. Que calcules-tu lorsque tu écris :? b.? c.? d. l peut y avoir plusieurs réponses possibles. Précise l'angle pour chaque réponse donnée.? Quel est le côté opposé à l'angle K? Quel est le côté opposé à l'angle K? b. n se place dans le triangle J rectangle en. Quelle est son hypoténuse? Quel est le côté opposé à l'angle J? 2 À toi de jouer! onstruis un triangle rectangle en tel que = 2, et = 4,. b. Repasse en rouge l'hypoténuse, en vert le côté opposé à l'angle et en bleu le côté adjacent à l'angle. 3 FG est un triangle rectangle en. 6 À l'aide de la calculatrice, donne la valeur arrondie au centième de : sin b. cos 26 c. tan 83 d. sin 18 Donne la valeur arrondie au degré de α. sin α = 0,24 b. tan α = 2 c. cos α = 0, d. tan = 2 e. cos = 2 3 alculs de longueurs f. sin = alcule x dans chacun des cas suivants. x, = 0,6 b. 13 x = 0,2 c. 0,8 = 36 x F G Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle GF dans le triangle FG. 4 ndique dans chaque cas si on peut calculer, à l'aide des données, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle marqué. b. 2,1 cm 2,8 cm J 8 cm 9 cm K 9 alcul de la longueur d'un côté de l'angle droit 63 6 cm xprime le cosinus de l'angle en fonction des b. Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce cosinus? alcule l'arrondi au dixième de cette longueur. c. xprime le sinus de l'angle en fonction des d. Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce sinus? alcule l'arrondi au dixième de cette longueur. c. d. 2, cm F 4, G 4 cm 10 Que faut-il choisir? Quelle relation trigonométrique dois-tu utiliser pour calculer? b. alcule l'arrondi au dixième de cette longueur. 29 xercices 1/

2 3T11 Trigonométrie xercices 2/ 11 alcul de l'hypoténuse xprime le sinus de l'angle R en fonction des longueurs des côtés du triangle. 2 R b. Déduis-en la valeur arrondie au dixième de l'hypoténuse du triangle R. 12 onstruis un triangle TY rectangle en tel que T = 4, et YT = 3. alcule la valeur arrondie au dixième de l'hypoténuse de ce triangle. 13 À toi de choisir! Dans chaque cas, calcule la valeur arrondie au dixième de la longueur. b. c Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle ; donne la valeur arrondie au degré. b. c. d. cm cm 1 est un triangle tel que = 1, = 2 et = 20 cm. e triangle est-il rectangle? Justifie ta réponse. b. alcule la mesure arrondie au degré de chacun des angles de ce triangle. P 8, 1,6 cm 1,, 2 cm Formules trigonométriques 18 vec une formule trigonométrique alculs d'angles alcule la valeur exacte de sin et de tan sachant que est un angle aigu tel que cos = oit RD un triangle rectangle en. R 6, 2, D 19 vec une formule trigonométrique (bis) alcule la valeur exacte de cos et de tan sachant que est un angle aigu tel que sin = xprime le sinus de l'angle DR en fonction des b. Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle DR. 1 UV est un triangle rectangle en tel que V = et UV = 3,. 20 vec les formules trigonométriques oit un angle aigu tel que tan = 1 2. xprime sin en fonction de cos. b. Déduis-en la valeur exacte de cos et sin. alcule la mesure arrondie au degré de chacun des angles de ce triangle. xercices 2/

3 3T11 Trigonométrie xercices 3/ pprofondissements 21 xtrait du revet onsieur chmitt, géomètre, doit déterminer la largeur d'une rivière. Voici le croquis qu'il a réalisé : = 100 m ; D = 60 ; = 22 ; D = omme sur du velours 'unité de longueur est le centimètre. e rectangle ci-dessous représente une table de billard. Deux boules de billard et sont placées telles que D = 90 ; = 2 et D = 3. (es angles et D sont droits.) Un joueur veut toucher la boule avec la boule en suivant le trajet, étant entre et D, et tel que = D. D alculer la longueur au dixième près. b. alculer la longueur D au dixième près. c. n déduire la largeur de la rivière à un mètre près. 22 hâteau d'eau Juliette mesure l'angle entre l'horizontale et le haut du réservoir d'un château d'eau grâce à un appareil placé à 1,0 m du sol. lle trouve 8. n pose D = x. Donner un encadrement de x. b. xprimer en fonction de x. c. Dans le triangle D, exprimer tan D en fonction de x. d. Dans le triangle, exprimer tan en fonction de x. e. ancée sans effet, une boule de billard rebondit avec le même angle, donc D et sont égaux. n déduire l'équation 3(90 x) = 2x. f. Résoudre cette équation m alcule la hauteur du château d'eau arrondie au mètre. 23 Dans un cône n considère un cône tel que = et = 6cm. Quelle est la nature du triangle? b. alcule l'angle arrondi au degré. g. n déduire la valeur commune des angles et D arrondie au degré. 26 Relations entre sinus, cosinus et tangente oit T un triangle rectangle en. Que peux-tu dire des angles T et T? b. Écris les rapports entre les longueurs des côtés donnant le sinus, le cosinus et la tangente des angles T et T. c. Utilise la question b. pour écrire trois égalités. d. Déduis de ces égalités deux propriétés sur les angles complémentaires d'un triangle rectangle. 24 ans calculatrice Pour chaque question, justifie la construction. b. onstruis un angle tel que tan = 8 9. c. onstruis un angle tel que sin = 0,6. xercices 3/

4 3T11 Trigonométrie xercices 4/ 2 Puzzle (paradoxe de ewis arroll) n considère un carré de côté 8 cm et découpé comme l indique la figure ci- dessous 8 cm n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 n 4 n 4 n 3 Dessine ce carré, découpe les 4 morceaux, puis reconstitue un rectangle en utilisant toutes les pièces. b. alcule l aire du carré, puis celle du rectangle. Que remarques-tu? c. n considère la figure formée par les morceaux n 2 et n 3. n utilisant les triangles et D, respectivement rectangles en et D, compare les angles ÂD et Â. n 2 n 3 8 cm d. Déduis de la question précédente que l'hypothèse «les points, et sont alignés» est fausse, et qu'en fait on n a pas reconstitué un rectangle. xercices 4/

5 3T11 Trigonométrie Pour finir le thème / R1 R2 R3 R4 1 [] est le côté adjacent à l'angle aigu dans le triangle... 2 [] est le côté opposé à l'angle aigu dans le triangle... 3 TGP est un triangle rectangle en P donc... 4 tan4 = cos TGP = GP TP sin GTP = GP TG donc... = tan 4 = tan 4 TG 2 = TP 2 PG 2 = tan 4 tan GTP = GP TP P sin P = P cos P = P tan P = P sin P = P 6 T est un triangle rectangle en tel que T = cm et =. n a donc... QR est un triangle rectangle en R tel que Q = 10 et RQ = 8 (en cm). n a donc... 8 e triangle est un triangle rectangle et isocèle en donc... 9 e sinus d'un angle aigu est... T = T 4 tan T = 1,4 tan T 0, RQ = 3 RQ 3 RQ = 3 RQ 3 = 2 un nombre quelconque = 2 2 un nombre supérieur à 1 tan = 1 tan = 1 un rapport de longueurs compris entre 0 et 1 Terre, terre! Un voilier suit un cap fixe à la vitesse constante de 22 km h 1. e capitaine du bateau note l'heure à laquelle l'angle entre la direction du cap et celle de l'îlot mesure 24 (position ) puis 38 (position ). l déclare : «ntre les deux relevés, il s'est écoulé 12 minutes. J'en déduis que nous passerons donc à 4,6 km environ de l'îlot (distance d sur la figure).». Justifie l'affirmation du capitaine. ndication : xprime en fonction de d, tan 24 et tan 38 puis déduis-en d en utilisant une calculatrice. d H xercices /