Corrigé Exercice 1 : EXTRACTEUR DE ROULEMENTS.

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1 T 29 corrigé - Arc-boutement age /8 orrigé Exercice : EXTRATEUR E ROULEMENTS. Hypothèse : On suppose la branche 2 en équilibre. Question : Si cette hypothèse est vérifiée, que dire de la direction de l action 4 2. ) Isolons {branche 2}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {2}. - Action mécanique de 3 sur 2 (pivot d axe ( Bz, )) - Action mécanique de 4 sur 2 (ponctuelle de point de contact et de normale y avec frottement) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y) - le glisseur B3 2 passant par B - le glisseur 4 2 passant par Si un système est en équilibre sous l action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action (passant par les points d application). Ainsi la droite d action de B3 2 et 4 2 est la droite (B). Or toutes actions de contact (solide en équilibre ou non) vérifient les lois de oulomb Question 2 : Existe-t-il arc-boutement (c est à dire non glissement) en et lorsqu'une action est exercée par la vis dans la position définie par la figure. Justifier de 2 manières différentes (analytiquement et graphiquement). our qu il y ait non glissement, il faut que les actions en et se situent dans le cône d adhérence : VERIFIATION ANALYTIQUE : fait avec la normale au contact un angle de valeur (angle 2 d adhérence). Soit géométriquement : tan,9 2 NB : l angle d adhérence est indépendant de la charge comme dans tout problème d arc-boutement où l équilibre des solides dépend de la nature 2 des liaisons, de leur position et des coefficients de frottement. Ainsi tan,9f tan,5, d où l action 4 2 se situe à l intérieur du cône d adhérence, et donc l adhérence est effective : on a un phénomène d arc-boutement. VERIFIATION GRAHIQUE : Il suffit de tracer le cône d adhérence ( tan,5 8,5) et de vérifier que 4 2 se situe à l intérieur de ce cône, pour prouver qu'il y a arc-boutement. Question 3 : Que dire si f tan,6 ou si les points de contact et sont éloignés de l'axe? Si f tan,6 ou si les points de contact et sont éloignés de l'axe, cela signifie que l'action 4 2 est en dehors du cône d'adhérence!!! Or, c'est impossible car toute action est dans ou sur le cône d'adhérence mais JAMAIS en dehors. Notre hypothèse de départ "système en équilibre" est donc fausse : Il est impossible de vérifier le FS et les lois de oulomb en même temps. MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

2 T 29 corrigé - Arc-boutement age 2/8 orrigé Exercice 2 : AOULEMENT TEMORAIRE : ROUE LIBRE. Hypothèse : On suppose la bille 3 en équilibre relatif dans tout le problème. ) Isolons {bille 3}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {3}. - Action mécanique de 2 sur 3 (ponctuelle de point de contact B et de normale n B avec frottement), - Action mécanique de sur 3 (ponctuelle de point de contact A et de normale n A avec frottement). 3) Modélisables - le glisseur B2 3 passant par B - le glisseur A 3 passant par A Si un système est en équilibre sous l action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action (passant par les points d application). Ainsi la droite d action de B2 3 et A 3 est la droite (AB). Effet de non-entraînement (cas 3 et 4) : Glissement entre billes/tambour et billes/noyau. Tendance au glissement de 3/2 Tendance au glissement de 2/3 : AS 3 sens horaire Si la tendance au glissement est dans le sens de la figure, alors il est impossible que la droite d action de B 23 et A 3 soit la droite (AB). Ainsi notre hypothèse du départ (bille en équilibre relatif) est fausse et donc dans ce sens, il y a glissement entre les billes et le tambour, d où non entraînement. B2 3 Effet d entraînement (cas et 4) : Adhérence entre billes/tambour et billes/noyau. Tendance au glissement de 2/3 : AS sens trigo Tendance au glissement de 3/2 B2 3 Si la tendance au glissement est dans le sens de la figure, alors il est possible que la droite d action de B2 3 et A 3 soit la droite (AB). On a donc B2 3 et A 3 qui font avec leur normale au contact un angle de valeur (angle d adhérence). Soit géométriquement dans le triangle AB : ( ) ( ) ( ) donc 2. NB : ette relation est indépendante de la charge comme dans tout problème d arc-boutement où l équilibre des solides dépend de la nature des liaisons, de leur position et des coefficients de frottement. our qu il y ait arc-boutement effectif, il faut en plus que les actions de contact vérifient les lois de oulomb, c'est-à-dire qu elles se situent à l intérieur du cône d adhérence :, donc 2. En projetant suivant y : H r r.cos R.cos H ( R r).cos r omme cos est une fonction décroissante : 2. coscos(2. ) et donc H ( R r).cos(2. ) r MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

3 T 29 corrigé - Arc-boutement age 3/8 orrigé Exercice 3 : ONSOLE E ÉORATION. Question : Montrer graphiquement, à l aide de 2 figures, que si l objet est : - proche de l axe, la console glisse le long de la colonne. - éloigné de l axe, la console reste en équilibre. Justifier par écrit votre raisonnement. Remarque préliminaire : Si la console est en équilibre, elle vérifie le FS et ces actions mécaniques de contact les lois de oulomb. ) Isolons {la console 2}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {la console}. - Action mécanique de la pesanteur sur console - Action méca. en A de la colonne sur console (ponctuelle de point de contact A et de normale x avec frottement) - Action méca. en B de la colonne sur console (ponctuelle de point de contact B et de normale x avec frottement) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y ) - le glisseur passant par (totalement connu) - le glisseur A passant par A - le glisseur B passant par B Si un système est en équilibre sous l action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont : coplanaires, concourants ou parallèles, de somme vectorielle nulle. er cas : objet proche de l axe, la console glisse le long de la colonne? On se place à la limite du glissement en B. L action en B est donc sur une génératrice du cône d adhérence pour s opposer au glissement de 2/. Le solide étant en équilibre sous l effet de 3 glisseurs, ceuxci sont concourants. Or l action en A doit aussi respecter les lois de oulomb c est-à-dire que cette action doit être dans ou sur le cône d adhérence. Si la charge est trop proche de l axe il n est pas possible de respecter les deux conditions et la console glisse (f. figure ci contre). 2 ème cas : objet éloigné de l axe, la console reste en équilibre? On se place encore à la limite du glissement en B. L action en B est donc sur une génératrice du cône d adhérence pour s opposer au mouvement. Le solide étant en équilibre sous l effet de 3 glisseurs, ceux-ci sont concourants. Or l action en A doit aussi respecter les lois de oulomb c està-dire que cette action doit être dans ou sur le cône d adhérence. On constate ici, qu il existe une solution au problème. e phénomène est appelé arc-boutement. Remarque : le FS ne permet pas de déterminer la solution exacte au problème. En effet, en A et B nous avons 4 inconnues, les composantes normales (N A et N B ) et tangentielle (T A et T B ). MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

4 T 29 corrigé - Arc-boutement age 4/8 Or le FS ne permet décrire que 3 équations pour un problème plan. Il y a bien deux relations supplémentaires : TA f. NA et TB f. NB mais elles ne permettent que d encadrer les solutions possibles. La solution dessinée n est donc qu une des solutions possibles. Question 2 : éterminer graphiquement la position limite X lim de qui autorise l équilibre. En déduire la relation entre X lim, H et f. et équilibre est-il fonction de la masse de l objet? La position limite est obtenue à partir de l intersection des génératrices des cônes : X lim A H ( Xlim ).tan ( Xlim ).tan 2 2 H H 2. Xlim.tan H 2. Xlim. f X X lim 2Ḥ f B orrigé Exercice 4 : INE E LEVAGE «HAN-GRI». Question : onner le torseur du galet 2 sur la plaque à l aide d une écriture en ligne. Liaison linéaire rectiligne de ligne de contact (,z ) et de normale x T 2plaque M (,x ) X 2plaque M M,2plaque (x,y,z ) ATTENTION : la forme du torseur reste identique pour tout point du plan (,x,z), mais les composantes n ont pas forcément la même valeur en ces différents points alors que le torseur a les mêmes composantes pour M appartenant à une normale au contact. Liaison linéaire rectiligne de ligne de contact (,z ) normale x + problème plan ( x, y) et de T X2plaque 2plaque M (,x ) _ (x,y,z ) Liaison linéaire rectiligne de ligne de contact (,z ) et de normale x avec adhérence + problème plan ( x, y) T X2plaque 2plaque Y2plaque _ (x,y,z ) ar avec l hypothèse adhérence/frottement, il existe une composante tangentielle Y2 plaque en plus de la composante normale X2 plaque. ette composante tangentielle vérifie la loi de oulomb : Y 2 plaque f. X2plaque. MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

5 T 29 corrigé - Arc-boutement age 5/8 Où X2 plaque R2plaque.cos et Y2plaque R2plaque ar les actions tangentielles de 2plaque s opposent au glissement éventuel de la plaque/2 et. X2plaque R2plaque.cos.x R2plaque.sin.y T 2plaque Y2plaque _ qui est un torseur glisseur. (x,y,z ). sin Question 2 : En isolant la plaque, déterminer l expression de R2 plaque en fonction de et. ompléter la figure-réponse en indiquant les actions s exerçant sur la plaque. ) Isolons {la plaque}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {la plaque}. - Action méca. de 2 sur plaque (lin. rect. de ligne de contact (,z ) et de normale x avec adhérence) - Action méca. de 2 sur plaque (lin. rect. de ligne de contact ( ', z ) et de normale x avec adhérence) - Action mécanique de la pesanteur sur plaque 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y) R2plaque.cos.x R2plaque.sin.y - T 2plaque R2' plaque.cos.x R2' plaque.sin.y - T 2' plaque ' - T pesplaque.y (G,y ) NB : si le système est symétrique R 2' plaque R2plaque Il faut donc appliquer le théorème de la résultante statique suivant y : R 2 plaque 2.sin MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

6 T 29 corrigé - Arc-boutement age 6/8 Question 3 : En isolant la biellette 3, déterminer la relation entre R2 3 et R5 3. ompléter la figure-réponse 2 en indiquant les actions s exerçant sur la biellette 3. ) Isolons {la biellette 3}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {la biellette 3}. - Action mécanique de 2 sur 3 (pivot d axe ( B,z ) ) - Action mécanique de 5 sur 3 (pivot d axe (, z ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y) R - T B R - T Si un système est en équilibre sous l action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action (passant par les points d application). Ainsi la droite d action de R2 3 et R5 3 est la droite (B) et R23 R53. Question 4 : En isolant le galet 2, déterminer l expression de R3 2 en fonction de,,, r, R et de l angle d adhérence. ompléter la figure-réponse 3 en indiquant les actions s exerçant sur le galet 2. ) Isolons {le galet 2}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {le galet 2}. - Action méca. de la plaque sur 2 (lin. rect. de ligne de contact (,z ) et de normale x avec adhérence) - Action mécanique de 3 sur 2 (pivot d axe ( B,z ) ) - Action mécanique de 4 sur 2 (pivot d axe ( A,z ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y) R2plaque.cos.x R2plaque.sin.y - T plaque2 - R 2 3 R T 32 - T B A our se débarrasser de AM4 2 dont on ne connaît rien, il faut appliquer le théorème du moment statique en A suivant z : M : A,22 MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

7 T 29 corrigé - Arc-boutement age 7/8 MA,plaque 2.z MA,32.z MA,42.z ( A Rplaque 2 ).z (AB R32 ).z ( r.x 2 R.x ) ( R.cos.x R.sin.y ) 2 plaque 2plaque.z (2.r.x 2 R23.x 3 ).z r. R2 plaque.cos.sin r. R2plaque.sin.sin( ) R. R2plaque.sin 2.r. R23.sin 2 r. R2 plaque.cos.sin r. R2plaque.sin.cos R. R2plaque.sin 2.r. R23.sin r. R2 plaque.sin( ) R. R2plaque.sin 2.r. R23.sin r. sin( ) R.sin 2.r. R.sin R2 plaque sin 2 3. r. sin( ) R.sin R r.sin.sin r. sin( ) R.sin 2.r. R.sin Question 5 : En isolant l ensemble de la pince + la plaque, déterminer l expression de Rcable 5 en fonction du poids de la plaque. ) Isolons {pince + plaque}. 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {pince + plaque}. - Action mécanique de la pesanteur sur plaque - Action mécanique du câble sur 5 (pivot d axe (, z ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y).y T T câble5 pesplaque (G,y ) R câble5 Il faut donc appliquer le théorème de la résultante statique : Rcable 5 Question 6 : En isolant le cadre 5, déterminer l expression de R3 5 puis R3 2 en fonction de, et. ompléter la figure-réponse 4 en indiquant les actions s exerçant sur le cadre. ) Isolons {cadre 5}. MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2

8 T 29 corrigé - Arc-boutement age 8/8 2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {cadre 5}. - Action mécanique du câble sur 5 (pivot d axe (, z ) ) - Action mécanique de 3 sur 5 (pivot d axe (, z ) ) - Action mécanique de 3 sur 5 (pivot d axe ( ', z ) ) 3) Modélisables avec l hypothèse problème plan ( x, y) R câble 5 T R T 5 3 T câble5 35 NB : si le système est symétrique R53' R53 R 53' 3' 5 Il faut donc appliquer le théorème de la résultante statique suivant y : R sin( ) Et donc selon le résultat de question 3 : R sin( ) Question 7 : éduire de ce qui précède l expression de tan en fonction de, r, R, et. Quelle est l influence du poids de la plaque sur l adhérence? On a trouvé 2 expressions de R3 2, donc :. r.sin( ) R.sin 4.r.sin.sin 2.sin( ) r.sin.cos r.cos.sin R.sin 2.r.sin sin sin( ) r.sin 2.r. sin r.cos R tan sin( ) r.sin 2.r. sin (R r.cos ).sin( ) tan sin( ) r.sin.sin( ) tan 2.r. sin (R r.cos ).sin( ) ette relation est indépendante de la charge comme dans tout problème d arc-boutement où l équilibre des solides dépend de la nature des liaisons, de leur position et des coefficients de frottement. Question 8 : a = 2 mm, r = 4 mm, b = 52 mm, c = 5 mm, R = 26 mm, e = mm, f =,3, = 38 2 et = 83. alculer tan. onclure. tan,82 omme tan f, 3, l action du galet sur la pièce se situe dans le cône d adhérence, donc l adhérence est effective et la pièce est autobloquée : c est le phénomène d arc-boutement. MSI-SI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 8/5/2