EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 XTRTS.O. SPL N 6 28 OÛT 2008 onnaissances apacités ommentaires 3.2 Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) onstruire le symétrique d un point, d une droite, d un segment, d un cercle (que l axe de symétrie coupe ou non la figure). onstruire ou compléter la figure symétrique d une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l aide de la règle (graduée ou non), de l équerre, du compas, *du rapporteur. ffectuer les tracés de l image d une figure par symétrie axiale à l aide des instruments usuels (règle, équerre, compas). L élève peut utiliser la méthode de son choix. ans la continuité du travail entrepris à l école élémentaire, les activités s appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de «conservation» de la symétrie axiale (conservation des distances, de l alignement, des angles et des aires). * Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d un segment est mis en évidence. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. ire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Je révise 1 : 2 : 3 : 1. a. (d 1 ) ctivités 92 Objectifs Réinvestir la notion de symétrie axiale par le pliage. écouvrir que «eux points distincts et sont symétriques par rapport à une droite» signifie que «est la médiatrice de [ ].» 1. a., b. et c. Réalisation de la figure à l aide d une feuille de papier calque. 2. b. Les droites et ( ) sont perpendiculaires. Le point est le milieu du segment [ ]. La droite est donc la médiatrice du segment [ ]. c. «Si deux points distincts et sont symétriques par rapport à une droite, alors la droite est la médiatrice du segment [ ].» 3. a. On constate que les points et se superposent : ils sont symétriques par rapport à la droite. b. «Si une droite est la médiatrice d un segment [ ], alors les points et sont symétriques par rapport à cette droite.» Objectifs onstruire le symétrique d un point par rapport à une droite avec une équerre, une règle et un compas ou seulement avec un compas. écouvrir que les points de la droite sont invariants. b. Le point est son propre symétrique par rapport à la droite (d 1 ). 2. J (d 2 ) Objectifs onstruire le symétrique d une figure sur quadrillage. Pour la deuxième construction, la droite n est plus verticale : on vérifiera que les élèves ne tracent pas le symétrique de la figure en imaginant verticale ou en effectuant une translation. Pour la troisième construction, la droite coupe la figure : on vérifiera que les élèves ne tracent pas qu une partie de la figure symétrique, en considérant un seul «côté» de l axe. onstruire le symétrique d une figure sans quadrillage (les instruments de géométrie sont laissés au choix). Éditions elin, 2009.

2 1. a. b. Objectif Visualiser un axe de symétrie d une figure. 1. b. Le symétrique de la figure 1 par rapport à la droite est elle-même. c. est un axe de symétrie de la figure igure 3 : axe de symétrie (OO ). igure 4 : axes de symétrie (G) et (H). igure 5 : axes de symétrie (), (G), () et (H). c. xercices 1 1. et sont symétriques. 2. Points symétriques : et ; et. 2. a 1, 2 0, b. ( ) 3. appartient à la droite, donc est son propre symétrique par rapport à la droite. ( ) O 1, O ( ) 3 a. b. ( ) c. c. d a. n axe. b. Zéro axe. c. eux axes. d. eux axes. hapitre 13 Symétrie axiale 93 Éditions elin, 2009.

3 9 a. 5 a. b. Pas d axe de symétrie. b. c. d. 6 À l échelle , b. 7 J Les droites ( ) et ( ) sont parallèles. Justification : les points et, ainsi que les points et, sont symétriques par rapport à, donc est la médiatrice de [ ] et [ ]. insi les droites ( ) et ( ) sont perpendiculaires à. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. onc les droites ( ) et ( ) sont parallèles. 8 a. 11 a. b. 94 () // Éditions elin, 2009.

4 12 V V (d ) 16 Le symétrique de la droite (RT) par rapport à la droite est la droite (R T ). S appartient à (RT), mais S n appartient pas à (R T ). omme la symétrie axiale conserve l alignement, S ne peut pas être le symétrique de S par rapport à. Le symétrique de la droite (d ) par rapport à la droite est elle-même a. et b. Les droites (d ) et (d ) sont parallèles. (d ) (d ) // G (d ) 2. On trace la parallèle à la droite (d 1 ) et passant par le point. (d 1 ) 18 À l échelle 1 2. L (d 1 ) // T 14 À l échelle 1 2. ( 1 ) 19 Le segment [] est le symétrique du segment [] par rapport à la droite et = 2,4 cm. Or, la symétrie axiale conserve les distances, donc : = = 2,4 cm. ( 1 ) S 15 ( ) (d 2 ) R 35 O T À l échelle 1 2. O ( ) 3. Le symétrique du cercle ( ) par rapport à la droite (d 2 ) est lui-même. (d 1 ) 2. R = RT =. La symétrie axiale conserve les distances. 3. SR = SRT = 35. La symétrie axiale conserve les angles. 4. La demi-droite [RS) partage l angle TR en deux angles adjacents de même mesure, donc [RS) est la bissectrice de l angle TR. hapitre 13 Symétrie axiale 95 Éditions elin, 2009.

5 21 À l échelle 2 3 À l oral cm M M 7 cm 4, Les points et sont symétriques par rapport à la droite car la droite est la médiatrice de [] (elle est perpendiculaire à [] et passe par le milieu de []). 2. Points symétriques : et K ; G et ; L et M ; et J. a. «Si deux points et V sont symétriques par rapport à une droite, alors la droite est la médiatrice du segment [V].» b. «Si la droite () est la médiatrice du segment [], alors le symétrique du point par rapport à la droite () est le point.» c. «Si un point appartient à une droite alors son symétrique par rapport à la droite est lui-même.» , H, M, O, T,, V, W, X. 2. (si les deux parties du sont identiques),,,, H, K, O. 3. O ; O igure 1 : La droite est perpendiculaire à (MM ), mais on ne sait pas qu elle passe par le milieu du segment [MM ] : M et M ne sont pas symétriques par rapport à. igure 2 : La droite est perpendiculaire à (MM ) et passe par le milieu de [MM ], c est donc la médiatrice du segment [MM ] : M et M sont symétriques par rapport à. igure 3 : La droite n est pas perpendiculaire à (MM ) : M et M ne sont pas symétriques par rapport à. La figure orange et la figure verte sont symétriques par rapport à la droite dans le cas d. a. La figure verte se déduit de la figure orange par une translation. b. La figure orange est «plus près» de la droite que la figure verte. c. Les deux figures n ont pas les mêmes dimensions , 2. et 3. ( 2 ) 4 cm V Thème de convergence b, d, f et i : zéro axe. a, c, e et g : un axe. h : trois axes. ( 1 ) Éditions elin, 2009.

6 4. = = et V = V =. Si un point est équidistant des deux extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. onc et V appartiennent à la médiatrice du segment []. La médiatrice de [] étant la droite (V), on peut dire que les points et sont symétriques par rapport à la droite (V) La droite () coupe la droite en et est son propre symétrique par rapport à la droite. La droite () coupe la droite en un point distinct de, donc () et () ne peuvent pas être symétriques par rapport à la droite. 36 M L 110 O N 3, 4, L 37 M O 3. On sait que le triangle est isocèle en donc : =. On sait que est le symétrique de par rapport à la droite (). Or, la symétrie axiale conserve les distances. onc : = et =. omme =, on en déduit que : = = =. a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange. N a. On sait que la droite est la médiatrice du segment [], donc les points et sont symétriques par rapport à la droite. b. ans la symétrie d axe : le symétrique du segment [] est le segment [] ; le symétrique du segment [] est le segment [] ; le symétrique du segment [] est le segment []. Or, le symétrique d un segment est un segment de même longueur, donc : = = et = = 4,. c. Périmètre du triangle, en cm = + + = 3, ,5 = 10 3, 2, 38 Le symétrique de la droite (d 1 ) par rapport à est la droite ( ). Justification : La droite est perpendiculaire à ( ) et passe par le milieu de [ ], donc est la médiatrice de [ ]. insi est symétrique de par rapport à. Le point appartient à, donc est son propre symétrique par rapport à. Les points et de la droite (d 1 ) ont pour symétriques par rapport à les points et. ( ) est donc le symétrique de (d 1 ) par rapport à. 2. ans la symétrie par rapport à la droite () : le symétrique du segment [] est le segment [G] ; le symétrique du segment [] est le segment [G]. Or, le symétrique d un segment est un segment de même longueur, donc : = G = 3, et = G = 2,. Périmètre de G, en cm = + + G + G = 3,5 + 2,5 + 2,5 + 3,5 = 12. G hapitre 13 Symétrie axiale 97 Éditions elin, 2009.

7 42 À l échelle 1 2. J L 45 ( 1 ) ( 2 ) J ( 1 ) b. Le triangle L est rectangle en, donc () et (L) sont perpendiculaires. est la médiatrice de [L], donc et (L) sont perpendiculaires. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. onc les droites et () sont parallèles. 3. b. Le symétrique du triangle L par rapport à la droite est le triangle JL. La symétrie axiale conserve les aires, donc les triangles L et JL ont la même aire : L = JL = 1. à 4. À l échelle 1 2. L 2 = , 60 = 7, ans la symétrie par rapport à la droite : le symétrique de R est R, le symétrique de est et le symétrique de T est T. onc le symétrique de l angle RT est l angle R T. La symétrie axiale conserve les angles donc R T = RT. omme [R) est la bissectrice de l angle TV et TV = 60 alors RT = 60 2 = 30. insi R T = 30. T R V T À l échelle 1 2. ( ) J ( 2 ) O O 3. OO est un losange. Justification : et appartiennent au cercle de centre O et de rayon, donc : O = O =. les segments [O ] et [O ] sont les symétriques respectifs des segments [O] et [O]. La symétrie axiale conserve les distances. onc : O = O = et O = O =. OO a ses quatre côtés de même longueur, c est donc un losange Programme de construction possible : onstruire un triangle rectangle en tel que : = 4 cm et = 40. onstruire la bissectrice [x) de l angle. Placer le point G sur [x) tel que le triangle G est isocèle en cm 3. G = 20. G x J Les angles et sont symétriques par rapport à la droite (). La symétrie axiale conserve les angles donc : = = 60. Les angles J et sont symétriques par rapport à la droite () donc : J = = J = + + J = = 180. J est un angle plat donc les points, et J sont alignés. Éditions elin, 2009.

8 rgumenter et débattre Vrai. 2. Vrai (la symétrie axiale conserve les distances). 50 Marius place le point d intersection des droites (d 1 ) et en prolongeant les droites. est son propre symétrique par rapport à la droite et est le symétrique de par rapport à la droite. Le symétrique de (d 1 ) par rapport à est la droite ( ) aux [] et [] ne sont pas symétriques par rapport à une droite. 4. Vrai (la médiatrice du segment et son support). 5. Vrai ( est la médiatrice de []). 6. aux ( n est pas perpendiculaire à ()). 7. aux ([) et [) ne sont pas symétriques par rapport à ). 1. OS = O, donc le triangle OS est isocèle en O. est la médiatrice de [J], donc et J sont symétriques par rapport à la droite. 2. et J sont symétriques par rapport à et O est son propre symétrique par rapport à, donc les segments [O] et [OJ] sont symétriques par rapport à. La symétrie axiale conserve les distances, donc O = OJ. omme OS = O, on en déduit que OS = OJ. Le triangle OSJ est donc isocèle en O. 51 eux ïcha trace un arc de cercle de centre qui coupe la droite en deux points et. Sans changer d écartement de compas, elle trace l arc de cercle de centre, puis l arc de cercle de centre. es deux arcs de cercle se coupent en un point, symétrique de par rapport à. Pour les curieux La symétrie n est pas exacte ni pour la figure 2 ni pour la figure 3 (statues différentes par exemple). hapitre 13 Symétrie axiale 99 Éditions elin, 2009.

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