Electricité etmagnétisme - TD n 9 Induction

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1 Electricité etmagnétisme - TD n 9 Induction. Force électromotrice Une tige métallique le longueur l =, 5m se trouve dans un champ magnétique uniforme, constant B =, 5T. La tige est perpendiculaire à B. Elle ouge avec une vitesse constante v =4m/s dans une direction perpendiculaire à B et à la tige. Calculer la différence du potentiel électrique entre les extrémités de la tige. F m q = v B =4 = e = F m q dl = v B dl = 3 =3V. Force électromotrice Le plan d un cadre conducteur carrée de coté a contient un fil de courant constant I rectiligne infini qui ne touche pas le cadre. Le cadre s éloigne du fil avec une vitesse constante, v, orthogonale au courant et dans le plan du cadre. a) Calculer le potentiel électrique induit force électromotrice) dans le cadre par le champ magnétique du courant en fonction de la distance entrelefiletlecadrevoirdessein). μ I B= ρ ϕ = μ I x ϕ ds = adx n = ϕ dφx) = B n ds = μ Ia x ϕ ϕdx= μ +a Φ circuit = dφx) = μ +a Ia Φ circuit = μ Ia Ia x dx dx x = μ Ia ) vt + a ln vt ) + a ln e t) = dφ circuit = μ Ia d ln vt + a) ln vt) = μ Ia d v vt + a v vt = μ Iav vt = μ Iv a vt + a + a) ) La spire carrée possède une résistance. Calculer le courant it) induite dans la spire carrée. it) = e t) = μ Iv a + a) c) Calculer la puissance dissipé par l effet joule. P J t) =it)u t) =i t) = Il est pratique de prendre =. μ Iv a t) =vt + + a)

2 d) Calculer la force de Laplace sur la spire carrée. F L t) = i t) dl B) = μ = μ aii t) a + aii t) a + ûx μ = μ Iit) aii t) a a + ) Le champ B est constant, et On remarque que ceci vérifie le théorème de Maxwell avec dx = v. Le travail pour sortir le cadre est dw t) = F L t) dx = μ Iit) a v a + ) La puissance versée pour sortir le cadre est alors : P t) = dw t) = μ Iit) a a + ) t) =vt + v = μ Iv a + a) z It ) a it ) a x Figure Induction dans un cadre carré 3. Force électromotrice Onprendlamême situation que dans le prolème mais on fixe la distance constante et on prend le fil conducteur rectiligne de longueur infinie d être parcouru par un courant alternatif It) =I cosωt) La spire carrée possède une résistance. a) Calculer le potentiel électrique induit force électromotrice) dans le cadre. Le flux magnétique se calcul de la même manière que dans le TD8. μ I B= ρ ϕ = μ I x ϕ ds = adx n = ϕ dφx) = B n ds = μ Ia x ϕ ϕdx= μ +a Φ circuit = dφx) = μ +a Ia Ia x dx dx x = μ Ia ln ) + a La force électromotrice, e se calcul par la loi de Faraday. e t) = dφ circuit = di ) μ a + a ln = I ω sinωt) μ ) a + a ln

3 ) Calculer le courant it) induite dans la spire carrée. it) = e t) = I ω c) Calculer la puissance dissipé par l effet joule. μ a + a sinωt)ln P J t) =it)u t) =i t) = ) μ I ωa + a sinωt)ln d) Calculer la force de Laplace sur la spire carrée. F L t) = i t) dl ) B = μ I t) i t) a a + ) = μ ) I cosωt) I ω μ a + a sinωt)ln a a + ) μ I = ω a ) + a cosωt)sinωt)ln a a + ) 4. Disque de Faraday Parmi les nomreuses expériences effectuées par Faraday pour étudier le phénomène d induction, une fut dédiée à montrer qu un courant apparaît dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique. Pour cela, il considéra un disque conducteur moile autour de son axe et placé dans un champ magnétique uniforme colinéaire à l axe du disque. Un circuit contenant un galvanomètre reliait le centre du disque au ord du disque par un contact glissant figure ). Faraday oserva que quand le disque tournait, l aiguille du galvanomètre suissait une déflexion. ω ) B z G Figure Disque de Faraday On considère un disque d axe Oz), de rayon et d épaisseur a, en rotation à la vitesse ω et placé dans un champ magnétique B = Bẑ uniforme. a) Expliquez l origine ducourant induit. Calculez laforceélectromotrice. Application numérique : B =, T, =, m, ω =5s. L origine de la force est la partie électromotrice de la Force de Lorentz. On choisit l axe Oz afin qu il porte l axe de rotation. Le vecteur OM est porté par l axe Oy. Lafréquence angulaire s écrit ω = ωẑ avec ω ω = s. La vitesse à une distance ρ du centre O dans la direction OM est : v fil ρ) = ω ρ = ρωû φ Le champ magnétique est constant est donné par B = Bû z. 3

4 Puisque dl = dρû ρ + ρdφû φ + dzû z,laforceélectromotrice le long du chemin entre l axe du disque et le ord du disque est e = v fil B) dl = = ωb ρωb û φ û z ) dl = ρdρ = ωb ρ = ωb A.N. = 5.. =5 V =, 5V = 5mV ρωb û ρ dl 5. Auto-inductance d un solénoïde On considère un solénoïde toroïdal de section carrée et parcouru par un courant I côté a = 4 mm, grand rayon =8cm,N = spires). a) Calculer, à l aide du théorème d Ampère, le champ magnétique et son flux. L invariance du prolème en φ donne B i = ẑb i ρ, z). Le théorème d Ampère indique que le champ à l intérieur et à l extérieur du solénoïde soit constant et que B ext =.Lethéorème d Ampère donne : lb i = μ nil B i = ẑμ ni = ẑ μ NI Le flux magnétique est donné par: Bi n ds = μ ) NI + a a ln μ NI a Le flux à travers le circuit est Φ m = μ N a I ) A partir de l expression du flux magnétique, déduire l inductance propre du tore L. La définition de l inductance propre est : Φ m LI donc L = μ N a L énergie propre magnétique du circuit U m = μ = V B i dv = μ μ N I 4π a μ N a I = μ N a I = LI On remarque que c est le même résultat que pour une oine infinie l/a ): L = μ N a l 4

5 c) Estimer sa valeur numérique. L = μ N a =4μH = 4π = 4 5 =4. 5 H d) Trouver la tension Ut), entre les ornes du solénoïde quand le courant a la forme : It) = I cosωt). A.N. ω =5 et I =.5 A. U L t) = L di = LI ω sinωt) = sinωt) = 3 sinωt) 6. Soit U t) =U cosωt). Pour quelles valeurs de I et φ, It) =I cosωt + φ) est-il solution de l équation L d I + di + I C = du? sinωt + π )=cosωt)sinπ ) sinωt)cosπ )=cosωt) cosωt π )=cosωt)cos π ) sinωt)sin π )=sinωt) Solution particulière de l équation : L d I e iωt) I L d e iωt) Ce qui donne l équation caractéristique I U t) =e { U e iωt} I t) =e { I e iωt} L d I + di + I C = du + d I e iωt) I e iωt) + = d U e iωt) C + d e iωt ) + eiωt d e iωt) = U C Lω + iω + = U iω C iωi Liω + + = U iω i I + i ωl = U + i ωl I = U i ωleiφ = U I = + ωl U + ωl tan φ = ωl 5

6 tan φ = arctan φ = ωl ωl 7. En t =, un condensateur de capacité C portant une charge Q est connecté a une oine de self L. Calculer, pour tout temps, la charge du condensateur, l énergie de son champ électrique et l énergie du champ magnétique dans la oine. L d I + I C = d I = I LC ω = LC I t) =I cos ωt + φ) I = dq dq = I sin ωt + φ) Q t) = I ω sin ωt + φ) =Q sin ωt + φ) Q = I ω La phase φ est déterminé par la condition intiale Q t =)=Q Q t) =Q sin ωt + π ) = Q cos ωt) I t) = dq = Q ω sin ωt) Les potentiels aux ornes du condensateur et de la oine son respectivement : U C t) = Q t) C où nous avons utilisé U L t) =L di = LQ d sin ωt) ω = LQ ω cos ωt) P = U C I + U L I = Q ω C sin ωt)cosωt)+q Lω ω sin ωt)cosωt) = ω Q sin ωt) + ω Q sin ωt) C C = P e t)+p m t) sin ωt)cosωt) = L énergie dans champ électrique à t =,estw e, = Q W e t) =W e t)+w e, = P e t) + Q C = ω Q C sin ωt) C = Q C Q C sin ωt) = Q C cos ωt) W m t) = P m t) = ω Q sin ωt) = Q cos ωt) C 4C = Q C sin ωt) 6 sin ωt) + Q C = Q 4C cos ωt) + Q C

7 où nous avons utilisé cos ωt) =cos ωt) sin ωt) cos ωt) = sin ωt) W e t) = Q C = Q C cos ωt) W m t) = LI = Q C sin ωt) Bien entendu, comme il n y a pas de résistance, on a conservation d énergie : W e t)+w m t) = Q C 8. Un circuit LC avec =Ω,L = 3 H, C = 3 Fensérie) est ranché sur une tension alternante avec valeur maximale U = V. Trouver sans calculette le courant maximal pour les fréquences angulaires pulsation : ω) delatension:hz,hz, Hz, 3 Hz 4 Hz, 5 Hz. Faire un plot du courant maximal versus le logarithme de la fréquence. I = U + ωl A.N. = 4+ ω 3 ω 3 ω =Hz I = ω = Hz I = ω = Hz I = ω = 3 Hz I = ω = 4 Hz I = ω = 5 Hz I = 4+ ω 3 ω 3 A = 5A A A A A 7