AGRANDISSEMENT REDUCTION

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1 THEME : AGRANDISSEMENT REDUCTION Introduction : Quelle signification donner à une phrase du type : Une figure est deux fois plus grande qu une autre. Est-ce au point de vue longueurs? au point de vue aires? ou au point de vue volumes? Cas des aires : Considérons un rectangle de dimensions a et b. Multiplions les dimensions de ce rectangle par 2. L aire du nouveau rectangle n est pas multipliée par 2, mais par 4. Démonstration : ( Le point représentant ici le symbole de multiplication ) L aire du rectangle initial, de dimensions a et b, est égale à : a. b L aire du rectangle obtenu en multipliant par 2 les dimensions est égale à : 2 a. 2 b = 2² a. b = 4 a. b L aire du nouveau rectangle est donc égale à 4 fois l aire du rectangle initial. Cas des volumes : Considérons maintenant un parallélépipède rectangle ( pavé droit ) de dimensions a, b et c. Multiplions les dimensions de ce pavé par 2.

2 Le volume du nouveau parallélépipède rectangle est multiplié par 8. Démonstration : ( Le point représentant ici le symbole de multiplication ) Le volume du pavé initial, de dimensions a, b et c, a pour valeur : a. b. c Le volume du pavé obtenu en multipliant par 2 les dimensions, a pour valeur : 2 a. 2 b. 2 c = 2 a. b. c = 8 a. b. c Le volume du nouveau pavé est donc égal à 8 fois le volume du pavé initial. Propriété : Lorsque les dimensions d une figure F sont multipliées par un nombre positif k, nous obtenons une nouvelle figure F dont l aire est multipliée par k² et les volumes, par k. Si k >, la figure F est dite être un agrandissement de la figure F. Le nombre k s appelle alors le rapport d agrandissement. Si k <, la figure F rapport de réduction. est dite être une réduction de la figure F. Le nombre k s appelle alors le Remarque : Le nombre k est défini par le rapport d une longueur mesurée sur la deuxième figure à celle qui correspond dans la figure de référence.

3 Pyramide et cône : Si nous coupons une pyramide par un plan parallèle à la base, la section obtenue est une réduction du polygone de base. La nouvelle pyramide obtenue est une réduction de la pyramide initiale. Si nous coupons un cône de révolution par un plan parallèle à la base, la section obtenue est un disque qui est une réduction du disque de base. Le nouveau solide est une réduction du cône initial. Le rapport de réduction est égal à l un des deux rapport égaux suivants : k = R' = R h' h Exemple : Dès l Antiquité, afin de connaître l'étendue et la nature des biens de chacun, des plans des différentes propriétés sont établis. Depuis 807, ces différents dessins constituent le plan cadastral ou cadastre. IL est disponible en mairie et sert de base au calcul de l'impôt foncier. Ci-contre, un exemple de plan cadastral.

4 Sur le plan cadastral de la mairie de ma commune, un terrain rectangulaire que j envisage d acheter, a pour dimensions 4,8 cm sur 2,5 cm. L échelle du cadastre étant /2500, quelle est la superficie de ce terrain? Méthode : Calcul des dimensions réelles du terrain : L échelle du plan cadastral étant ici de /2500, les dimensions réelles sont 2500 fois plus grandes que les dimensions du dessin. Nous avons donc : 4,8 x 2500 = ( cm ) soit 20 m 2,5 x 2500 = ( cm ) soit 62, 5 m La superficie du terrain est donc égale à : A = 20 x 62,5 = m² Méthode 2 : Quelle est l aire, sur le plan cadastral, du rectangle représentant le terrain : 4,8 x 2,5 = 2 ( cm² ) L aire réelle du terrain est donc égale à ( attention, l aire n est pas multipliée par 2500, mais par 2500²!) A = 2 x 2500² = 2 x = ( cm² ) dam² m² dm² cm² La superficie du terrain est donc de m² Exemple 2 : La pyramide de Chéops ( 25 siècles av. J.C. ) La pyramide de Chéops ( ou Khéops ) est une pyramide régulière. Elle a une hauteur de 8 m et une base carrée de 20 m de côté. a)calculer son volume. b)on désire faire une maquette en plâtre de cette pyramide. La hauteur de cette réduction est alors de 6,9 cm. Quel est le volume de plâtre utilisé? a)volume de la pyramide : 20² 8 V = m b)volume de la maquette : La maquette est une réduction de la pyramide existante. Son rapport ( quotient de la mesure de hauteur de la maquette par la mesure de la hauteur réelle ) est : 6, k = = = = Mêmes unités dans le rapport. Ici les deux mesures sont exprimées en cm.

5 Le volume de la maquette est donc : V maquette = ( 2000 ) V maquette = = =, m V maquette, dm 0, dm Exemple : Concours Kangourou La tour Eiffel a 00 mètres de hauteur, est entièrement construite en fer et pèse tonnes. On veut construire un modèle réduit, en fer aussi, qui pèse kilogramme. Quelle doit être sa hauteur? A 8 cm B 80 cm C 8 m D,5 m E 0,075 m Note de l'éditeur de Jeux & découvertes mathématiques : % des 6 ème ont répondu juste à cette question, 0% en 5 ème, 7% en 4 ème et seulement 6% en ème.on voit que les résultats ne s'améliorent pas avec l'âge! ) Remarquons tout d abord que la masse est proportionnelle au volume. Rapport de réduction : Le rapport des volumes est égal au rapport des masses ( attention aux unités les masses sont exprimées ici en kg )

6 La maquette est donc en volume fois plus petite que la construction réelle. Or nous savons que ce nombre est le cube du rapport des longueurs. Existe t il un nombre qui élevé à la puissance ( au cube ) donne Ce nombre est 2 00 ( 200 = ) La maquette est donc, en longueurs, 200 fois plus petite que la Tour réelle. Le rapport de réduction est donc. 200 La hauteur de la Tour Eiffel est de 00m. La maquette mesure alors : = = =,5 ( m ) Réponse D Remarque : Nous cherchions un nombre k tel que k = Ce nombre s obtient en calculant la racine cubique de calculatrice ) Exemple 4 : k = = ( voir, par curiosité, le livret d accompagnement de votre La pyramide SEFG est une réduction à l échelle de la pyramide SABC. )L arête SA mesure 24 cm. Quelle est la longueur réelle de SE? 2)L aire de la base ABCD est de 44 cm². Quelle est l aire de la base de la pyramide réduite SEFGH? )L aire totale des faces de la pyramide réduite SEFG est de 56,48 cm². Quelle est l aire totale des faces de la pyramide SABC? 4)Le volume de la pyramide SABC représentée ci-contre est de 480,6 cm. Quelle est le volume de la pyramide réduite SEFG? La pyramide SABCD est coupée par un plan parallèle à la base. La nouvelle pyramide SEFGH obtenue est une réduction de la pyramide SABCD. Le rapport de réduction est donnée dans le texte : Ce rapport est la valeur constante obtenue en divisant la mesure d une arête quelconque de la pyramide SEFGH obtenue par la mesure de l arête associée de la pyramide initiale SABCD. SE SF SG SH EF FG GH EH Nous avons : = = = = = = = = SA SB SC SD AB BC CD AD Les arêtes de la pyramide SEFGH sont trois fois plus petites que les arêtes associées de la pyramide SABCD. a) Longueur réelle de SE :,5 m pour une masse de kg. La Tour Eiffel est très légère!

7 SE Le rapport de réduction est de, donc = SA SE Par suite = SE = = 8 b) Aire de la base de la pyramide réduite SEFGH : L aire de la base ABCD de la pyramide SABCD est de 44 cm². L aire de la base de la pyramide réduite SEFGH est égale à : 2 A EFGH = = 44 = = = 6 cm² ) Aire totale des faces de la pyramide SABC :? La pyramide SEFGH est un réduction de la pyramide SABCD de rapport ; Donc la pyramide SABCD est un agrandissement de la pyramide SEFGH de rapport ( l inverse de ) L aire totale des faces de la pyramide réduite SEFG est de 56,48 cm². L aire de chaque face de la pyramide SABCD est ² fois plus grande que l aire de chaque face associée de la pyramide SEFGH. Donc A Faces Pyramide SABCD = ² A Faces Pyramide SEFGH A Faces Pyramide SABCD = ² 56,48 = 9 56,48 = 507,2 ( cm² ) 4) Volume de la pyramide réduite SEFG : Le volume de la pyramide SABC est de 480,6 cm Le coefficient de réduction est de. Par conséquent, les volumes sont multipliés par soit c'est à dire., V SEFGH = V SABCD V SEFGH = 480,6 = 480,6 = 7,8 ( cm )