NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE

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1 CLSSE DE STG NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE. Nombre dérivé.. Définition. Soit une fonction représentée par la courbe C On considère la tangente T, au point d abscisse Le coefficient directeur de cette tangente s appelle nombre dérivé de f en, et il est noté f '( ) EXERCICE chercher. Sur la figure suivante, calculer f ' (). Equation de droite et coefficient directeur... Equation de droite. Une droite d a pour équation y = a + b o a est le coefficient directeur et peut se calculer en allant d un point à un point B de la droite par la relation : a = Δ o b est l ordonnée à l origine et c est la valeur de y lue lorsque la droite d coupe l ae y y.. Calcul de a. Soit la droite d d équation y= + Pour aller de à B, on lit que Δ y= et Δ = D où le calcul : a = = Δ Δ y = 5 4 Δ = O B Δ y a = = Δ Classe de STG

2 . Nombre dérivé des fonctions usuelles. EXERCICE chercher. Fonction dérivée. Toute fonction f admet une fonction dérivée notée f qui permet de calculer le nombre dérivé pour toute valeur de de son ensemble de définition. Il faut apprendre le tableau suivant : f ( ) f '( ) Pour appartenant à = k (constante) f '( ) = = f '( ) = = m+ p = m = = = a + b+ c = a+ b = a = n = an = 6 n = = ] ;[ ] ; + [ = = ] ;+ [. Nombre dérivé en C est l image de par la fonction dérivée. Eemple : Soit la fonction = + + Sa dérivée est = + Le nombre dérivé de f en = 6 est f '( 6) = 6+ = C est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f en = 6 Remarque : Si le nombre dérivé est égal à, alors la tangente est parallèle à l ae. C est ce qui se passe en = La tangente à la courbe étant parallèle à l ae, on en conclut immédiatement que f ' () =

3 CLSSE DE STG NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE Pour chacune des fonctions suivantes, donner la dérivée, puis calculer le nombre dérivé en = 5+ 7, = = + 8 5, = = ; =. Tangente à une courbe en un point.. Construction. Soit une fonction f représentée par la courbe C passant par le point ( ;) On nous dit que en ce point, f ' ( ) = 4 Construction de la tangente : o On place le point ( ;) 4 o On sait que : = = 4= Δ Donc, à partir de, on fait un déplacement vertical de 4 unités vers le bas (resp. vers le haut), suivi d un déplacement horizontal de unité vers la droite (resp. vers la gauche) On joint le point obtenu au point et on met une double flèche au segment obtenu Equation d une tangente en un point. Soit ( ; y ) un point de passage de la courbe représentant une fonction f. La tangente d en à la courbe C a une équation de la forme y = a + b, avec a= f '( ) Soit M ( ; y ) un point quelconque décrivant d. ym y On a vu que : a = = Δ M y y D où : = y y = ( ) Classe de STG

4 Finalement, l équation de la tangente en est : y = f '( )( ) + y EXERCICE chercher. La courbe précédente a pour équation : = + + Trouver l équation de la tangente en = 4. Relation entre signe de la dérivée et le sens de variation d une fonction. 4. Sens de variation d une fonction. o Lorsqu une fonction est croissante sur un intervalle I, alors son nombre dérivé est positif pout tout de I. o Lorsqu une fonction est décroissante sur un intervalle I, alors son nombre dérivé est négatif pour tout de I. 4. retenir : o Lorsque la dérivée d une fonction est négative sur un intervalle, alors cette fonction est décroissante sur cet intervalle. o Lorsque la dérivée d une fonction est positive sur un intervalle, alors cette fonction est croissante sur cet intervalle. 4

5 CLSSE DE STG NOMBRE DÉRIVÉ ET TNGENTE EXERCICE 4 chercher O Le plan est muni d un repère orthogonal (unités graphiques : cm sur l ae des abscisses et,5cm sur l ae des ordonnées) On donne un tracé de la courbe représentative C d une fonction définie sur [ ;]. o u points d abscisses -,4 et, C admet une tangente parallèle à l ae des abscisses. o T est la tangente à C au point d abscisse - o T est la tangente à C au point d abscisse,5. Dresser le tableau de variation de cette fonction, en faisant apparaître le signe de la dérivée.. Déterminer f '( ) puis f '(,5) Classe de STG 5

6 . Donner les équations de T et de T EXERCICE 5 chercher. Soit une fonction f définie sur [ ;] et C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal. On donne le tableau suivant : f ( ) f '( ),5 - - Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. a. L image de - par f est. b. Le coefficient directeur de la tangente à C au point d abscisse est -. c. La pente de la tangente à C au point d abscisse est. d. Les tangentes à C au points d abscisses - et sont parallèles. e. La tangente à C au point d abscisse - est parallèle à l ae des abscisses. f. L équation réduite de la tangente à C au point d abscisse est y = g. C passe par le point de coordonnées ( ; ) h. Le nombre dérivé de f en - est. 6