PROBABILITÉS ET MODÉLISATION DES INCERTITUDES

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1 PROBABILITÉS ET MODÉLISATION DES INCERTITUDES Eléments de base et concepts fondamentaux Christian SOIZE Professeur des Universités Université de Marne la Vallée Mai 2004 Université de Marne la Vallée

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3 PROBABILITÉS ET MODÉLISATION DES INCERTITUDES Eléments de base et concepts fondamentaux c Copyright Christian Soize, 2004

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5 v Table des Matières NOTATIONS vii CHAPITRE I. PROBABILITÉS ET VARIABLES ALÉATOIRES I.1. Introduction, 1 I.2. Principes de probabilité et variables aléatoires, 2 I.2.1. Principes de la théorie des probabilités et espace probabilisé en modélisation stochastique, 2 I.2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance de deux événements, 2 I.2.3. Indépendance de plusieurs événements, 3 I.2.4. Ensemble négligeable, propriété vraie presque sûrement, 3 I.2.5. Principe de causalité et variable aléatoire, 3 I.3. Variable aléatoire vectorielle, 4 I.3.1. Loi de probabilité d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n, 4 I.3.2. Egalité presque sûre de variables aléatoires à valeurs dans Ê n, 5 I.3.3. Espérance mathématique et intégration des variables aléatoires à valeurs dans Ê n, 6 I.3.4. Fonction caratéristique d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n, 6 I.3.5. Moments d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n, 7 I.3.6. Inégalité de Markov et inégalité de Tchebychev, 7 I.4. Variable aléatoire vectorielle du second ordre, 7 I.4.1. Espace vectoriel des variables aléatoires du second ordre, 7 I.4.2. Vecteur moyen, 8 I.4.3. Matrice de corrélation, 8 I.4.4. Matrice de covariance, 9 I.4.5. Matrice d intercorrélation, 9 I.4.6. Matrice d intercovariance, 10 I.5. Exemples de lois de probabilité, 10 I.5.1. Lois de probabilité sur Ê de variables aléatoires discrètes, 10 I.5.2. Lois de probabilité sur Ê de variables aléatoires continues, 11 I.5.3. Loi de valeurs extrêmes sur Ê, 17 I.5.4. Loi normale ou loi gaussienne sur Ê n, 19 I.6. Transformations linéaires et non linéaires des variables aléatoires, 20 I.6.1. Méthode de la transformation d une mesure pour une application non linéaire bijective, 20 I.6.2. Méthode de la fonction caractéristique, 21 I.7. Calcul probabiliste du second ordre, 22 I.8. Convergence des suites de variables aléatoires, 22 I.8.1. Différents types de convergence, 22 I.8.2. Théorème central limite, 25 I.8.3. Calcul d intégrales sur Ê n par la méthode de Monte Carlo : exemple d utilisation du théorème central limite, 26

6 vi TABLE DES MATIÈRES I.9. Description des lois de probabilité, 27 I.9.1. Notations en multi-indices, 27 I.9.2. Développement de la fonction caractéristique en série des moments, 28 I.9.3. Développement de la fonction caractéristique en cumulants, 29 I.9.4. Relation entre les moments et les cumulants, 29 I.9.5. Développements des densités de probabilité sur des bases hilbertiennes, 30 I.9.6. Développement d une densité de probabilité sur les polynômes d Hermite, 32 I.10. Représentation des Variables Aléatoires avec des Séries de Polynômes : Représentation sur les Chaos, 34 I Position et données du problème, 34 I Espace de Hilbert complexe Àn,m, 34 I Représentation de la variable aléatoire Y = f(x), 36 I Décomposition sur les chaos gaussiens et exemple d utilisation, 36 I.11. Exercices, 39 Exercice I.1. Moments du second ordre des variables aléatoires vectorielles, 39 Exercice I.2. Moments du second ordre des transformations linéaires de variables aléatoires, 39 Exercice I.3. Vecteur moyen d une transformation non linéaire d une variable aléatoire vectorielle, 40 Exercice I.4. Fonction de répartition et moment du second ordre d une variable aléatoire réelle, 40 Exercice I.5. Loi de probabilité conditionnelle, 40 Exercice I.6. Inégalité de Chebychev, 41 Exercice I.7. Fonction caractéristique d une variable aléatoire vectorielle, 41 CHAPITRE II. MODÉLISATIONS PROBABILISTES ET INCERTITUDES DE MODÉLISATION EN MÉCANIQUE II.1. Introduction, 43 II.2. Problématique lié à la construction des modèles probabilistes des paramètres incertains en mécanique, 44 II.2.1. Définition d un problème simple de mécanique avec paramètre incertain, 44 II.2.2. A propos de la construction du modèle probabiliste du paramètre incertain, 44 II.2.3. Aspects méthodologiques pour la construction du modèle probabiliste des paramètres incertains, 46 II.3. Principe du maximum d entropie et construction des lois de probabilité, 50 II.3.1. Entropie et mesure absolue de l incertitude pour une variable aléatoire discrète, 50 II.3.2. Entropie et mesure relative de l incertitude pour une variable aléatoire continue vectorielle, 51 II.3.3. Principe du maximum d entropie, 54 II.3.4. Construction de la densité de probabilité en utilisant le principe du maximum d entropie, 55 II.4. Exemples de lois de probabilité construites en utilisant le principe du maximum d entropie, 57 II.4.1. Lois de probabilité à support compact pour des variables aléatoires réelles, 57 II.4.2. Lois de probabilité à support ]0, + [ pour des variables aléatoires réelles, 59 II.4.3. Lois de probabilité à support ], + [ pour des variables aléatoires réelles, 61 II.4.4. Lois de probabilité de variables aléatoires vectorielles, 62 II.5. Modélisation paramétrique des incertitudes sur les données pour un problème modèle d élastostatique, 63 II.5.1. Modèle moyen, 63 II.5.2. Modélisation probabiliste paramétrique des incertitudes sur les données, 67 II.5.3. Modéle stochastique induit par la modélisation probabiliste paramétrique des incertitudes sur les données, 70 RÉFÉRENCES

7 vii Notations [ A ] : matrice A [ A ] T : transposée de la matrice [ A ] [ A ] = [ A ] T : matrice adjointe B(a, b) : fonction beta Γ(a) Γ(b)/Γ(a + b) : ensemble des nombres complexes n : espace vectoriel hermitien de dimension n dx : mesure de Lebesgue dx 1...dx n sur Ê n det[ A ] : déterminant de la matrice [ A ] δ jk : = 1 si j = k et = 0 si j k δ y (x) : mesure de Dirac sur Ê au point y de Ê Γ(x) : fonction gamma + t x 1 e t dt définie pour x > 0 0 L 2 (A, Ê n ) : ensemble des variables aléatoires du second ordre définies : sur (A, F, P), à valeurs dans Ê n Ån,m(K) : ensemble des matrices (n, m) sur K = Ê ou Ån(K) : ensemble des matrices carrées (n, n) sur K = Ê ou Å S n(ê) : ensemble des matrices réelles (n, n) symétriques (Ê) : ensemble des matrices réelles (n, n) symétriques définies positives Å + n Å 0+ n (Ê) : ensemble des matrices réelles (n, n) symétriques positives Æ : ensemble des nombres entiers 0, 1, 2,... Ê : ensemble des nombres réels Ê + : = [0, + [ Ê : = ], 0] Ê n : espace vectoriel euclidien de dimension n tr[ A ] : trace de la matrice [A] définie par n j=1 [ A ] jj x : point (x 1,..., x n ) de Ê n z : conjugué du nombre complexe z ½B(x) : fonction indicatrice = 1 si x B et = 0 si x / B <x, y> : produit scalaire euclidien de x et y dans Ê n défini par n j=1 x jy j <x, y> Ê n : produit scalaire euclidien de x et y dans Ê n défini par n j=1 x jy j <x, y> n : produit scalaire hermitien de x et y dans n défini par n j=1 x jy j X, Y : produit scalaire dans L 2 (A, Ê n ) défini par E{<X, Y>}

8 viii PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE - Mai 2003 X, Y n : produit scalaire dans L 2 (A, n ) défini par E{<X, Y> n} x : norme euclidienne de x dans Ê n définie par <x, x> 1/2 x n : norme hermitienne de x dans n définie par <x, x> 1/2 X : norme dans L 2 (A, Ê n ) définie par X, X 1/2 X n : norme dans L 2 (A, n ) définie par X, X 1/2 n

9 1 CHAPITRE I Probabilités et Variables Aléatoires I.1. Introduction Le cours Probabilité et variables aléatoires a pour objectif l introduction des notions fondamentales de la théorie élémentaire des probabilités et des variables aléatoires du second ordre à valeurs vectorielles en dimension finie. Ces bases sont indispensables pour aborder les aspects modernes des modélisations des systèmes mécaniques complexes de l industrie, du génie civil et des technologies avancées, et seront directement utilisées par tous les autres cours du séminaire. Dans le paragraphe I.2, on présente le principe de probabilité et la notion de variable aléatoire. Le paragraphe I.3 est consacré à la description des variables aléatoires vectorielles. On y introduit la loi de probabilité d une variable aléatoire, les notions fondamentales concernant l intégration des variables aléatoires et l espérance mathématique, la notion de fonction caractéristique, les moments et l inégalité de Tchebychev. Le paragraphe I.4 introduit les notions fondamentales relatives aux variables aléatoires vectorielles du second ordre telles que la structure hilbertienne de l espace des variables aléatoires du second ordre, le vecteur moyen, la matrice de corrélation et la matrice de covariance. Dans le paragraphe I.5, on présente à titre d exemple, quelques lois de probabilités classiques, en particulier la loi de Poisson et la loi Gaussienne, mais aussi les lois de valeurs extrêmes. Le paragraphe I.6 est consacré à la présentation d outils généraux pour étudier les transformations linéaires et non linéaires des variables aléatoires vectorielles. Le cas particulier des calculs probabilistes du second ordre est présenté dans le paragraphe I.7. Les principaux résultats sur les types de convergence des suites de variables aléatoires et le théorème central limite sont donnés au paragraphe I.8. Dans le paragraphe I.9, on présente des notions sur la description effective des lois de probabilités telles que les développements sur les moments, les cumulants et sur les bases hilbertiennes, en particulier sur les polynômes d Hermite. Le paragraphe I.10 est consacré à la représentation des variables aléatoires du second ordre sur des bases hilbertiennes, en

10 2 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE particulier la représentation sur les chaos. Enfin, le lecteur trouvera dans le paragraphe I.11 des exercices et au paragrahe I.12 les références. I.2. Principes de Probabilité et Variables Aléatoires I.2.1. Principes de la théorie des probabilités et espace probabilisé en modélisation stochastique Le principe de probabilité pour la construction d une modélisation stochastique d une variable x à valeurs dans Ê n conduit : (1) à introduire un ensemble A dont chaque élément a A appelé événement élémentaire représente une combinaison des causes dont dépend l état de x, (2) à munir A d une tribu 1 F dont les éléments sont appelés événements, (3) à munir l espace probabilisable (A, F) d une mesure de probabilité (ou simplement d une probabilité) P qui est par définition une mesure positive bornée de masse 1, c est-à-dire : (a) pour toute suite {A n } n d événements de F deux à deux disjoints, on a P( + n=1 A n) = + n=1 P(A n). (b) pour tout A dans F, on a P(A) 0. (c) on a P(A) = 1. Le triplet (A, F, P) est appelé espace probabilisé. I.2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance de deux événements Soit A 1 F et A 2 F deux événements arbitraires tels que P(A 2 ) > 0. Le nombre P(A 1 A 2 ) tel que P(A 1 A 2 ) = P(A 1 A 2 ) P(A 2 ) soit P(A 1 A 2 ) = P(A 1 A 2 ) P(A 2 ) (I 1) est appelé la probabilité conditionnelle de A 1 sachant A 2 ou encore la probabilité conditionnelle de A 1 par rapport à A 2. Deux événements A 1 F and A 2 F sont stochastiquement indépendants ou simplement indépendants si Donc si P(A 2 ) 0 et si A 1 est indépendant de A 2, alors P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 2 ). (I 2) P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ). (I 3) 1 Définition d une tribu. Une famille F de parties d un ensemble A est une tribu si F a les trois propriétés suivantes : (P1) F contient l ensemble vide et A, (P2) F est stable par passage au complémentaire, c est-à-dire que si A F, alors le complémentaire A c =A\A de A dans A est dans F, (P3) F est stable par réunion dénombrable, c est-à-dire que si A 1,A 2,... est une famille dénombrable quelconque d éléments de F, alors n A n F. Définition d une algèbre de Boole. Une famille F de parties d un ensemble A est une algébre de Boole si F a les deux propriétés (P1) et (P2) et la propriété suivante (P3 ) F est stable par réunion finie, c est-à-dire que si A 1,A 2,...,A N est une famille finie quelconque d éléments de F, alors N n=1 A n F. Il en résulte qu une algèbre de Boole (resp. une tribu) est stable par intersection finie (resp. par intersection dénombrable).

11 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.2.3. Indépendance de plusieurs événements Par définition, N tribus d événements F 1,..., F N sont indépendantes si pour tous systèmes d événements A 1,..., A N tels que A n F n pour n = 1,..., N, on a P(A 1 A 2... A N ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A N ). (I 4) Par définition, N événements A 1,..., A N sont indépendants si les N tribus F 1,..., F N définies par F n = {A n, A c n, A, } sont indépendantes (Ac n = A\A n est le complémentaire de A n et est l ensemble vide). I.2.4. Ensemble négligeable, propriété vraie presque sûrement Relativement à un espace probabilisé (A, F, P), un événement A 0 F est P-négligeable si P(A 0 ) = 0. Soit P(a) une proposition logique pour laquelle l événement élémentaire a A apparaît comme un paramètre. Alors on dit que P est vraie P-presque sûrement (P-p.s.) si l événement A 0 = {a A, P(a) est fause} est P-negligeable, c est-à-dire si P(A 0 ) = 0. Soit A 1 = A\A 0 = {a A, P(a) est vraie} le complément de A 0 dans A. Donc A = A 0 A 1 et A 0 A 1 = et alors P(A 1 ) = 1. C est pour cette raison que la terminologie suivante est utilisée : vraie en probabilité 1. I.2.5. Principe de causalité et variable aléatoire Soit (A, F, P) un espace probabilisé. Il existe une application X de A dans Ê n qui associe, à chaque combinaison a des causes, une combinaison X(a) des conséquences. Le principe de causalité conduit : (1) à équiper Ê n d une tribu 2 B Ê n telle que X soit une application mesurable, c est-à-dire telle que B B Ê n, X 1 (B) F, (I 5) où X 1 (B) désigne la partie {a A : X(a) B} de A qui sera aussi notée {X B} (par abus de notation) ; (2) à équiper l espace probabilisable (Ê n, B Ê n) avec la mesure de probabilité P X = X(P) telle que B B Ê n, P X (B) = P(X 1 (B)), (I 6) qui est aussi notée P X (B) = P {X B}. (I 7) Il est à noter que P X (Ê n ) = 1. L application X est appelée une variable aléatoire (v.a.) définie sur l espace probabilisé (A, F, P), à valeurs dans (Ê n, B Ê n), et la mesure de probabilité P X sur (Ê n, B Ê n) est appelée la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. La variable aléatoire X est une modélisation stochastique de la variable x. Il est à noter que dans la modélisation stochastique de x par la variable aléatoire X, l application a X(a) est parfaitement définie, mais on ne sait pas décrire exactement les événements 2 La tribu B Ê n est appelée la tribu borélienne de Ên.

12 4 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE élémentaires a qui conduisent à la réalisation X(a). C est pour cela que l on introduit une mesure de probabilité P sur (A, F) ou, ce qui revient au même, une mesure de probabilité P X sur (Ê n, B Ê n). I.3. Variable Aléatoire Vectorielle Dans tout ce paragraphe, on considère une variable aléatoire X = (X 1,..., X n ) définie sur (A, F, P) à valeurs dans Ê n, avec n un entier 1, Ê n étant équipé de sa tribu borélienne B Ê n. I.3.1. Loi de probabilité d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n A. Loi de probabilité La loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X est la mesure de probabilité P X (dx) telle que pour tout B dans B Ê n (voir Eqs. (I-6) et (I-7)) P X (dx) = P X (B) = P {X B}. (I 8) B. Loi de probabilité marginale B La loi de probabilité marginale P Xj de la variable aléatoire X j à valeurs dans Ê est la loi de probabilité P Xj (dx j ) sur Ê telle que pour tout B j dans B Ê : P Xj (B j ) = P {X 1 Ê,..., X j 1 Ê, X j B j, X j+1 Ê,..., X n Ê} = P X (dx), avec B = Ê... Ê B j Ê... Ê. C. Indépendance de variables aléatoires Si les n variables aléatoires X 1,..., X n sont indépendantes dans leur ensemble, alors B (I 9) P X (dx) = P X1 (dx 1 )... P Xn (dx n ). (I 10) D. Fonction de répartition La loi de probabilité P X peut être définie par la fonction de répartition x F X (x) de Ê n dans [0, 1] telle que F X (x) = P {X x} = P X (B x ) = P X (dy), (I 11) y B x avec B x =], x 1 ]... ], x n ] B Ê n et où X x est la partie de A telle que {a A : X 1 (a) x 1,..., X n (a) x n }. En utilisant l Eq. (I-9), on en déduit que la fonction de répartition F Xj (x j ) sur Ê de la variable aléatoire X j est reliée à F X (x) = F X (x 1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n ) par la formule P(X j x j ) = F Xj (x j ) = F X (+,..., +, x j, +,..., + ). (I 12)

13 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE E. Densité de probabilité Si la mesure de probabilité P X (dx) admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue dx = dx 1...dx n, c est-à-dire si P X (dx) = p X (x) dx, (I 13) alors la fonction x p X (x) définie sur Ê n à valeurs dans Ê + = [0, + [ est appelée la fonction de densité de probabilité (f.d.p.) de la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On en déduit que p X est une fonction à valeurs positives qui est intégrable sur Ê n car P X (Ê n ) = P X (dx) = p X (x) dx = 1. (I 14) Ê n Ê n Si le support de la mesure de probabilité P X (dx) est la partie compacte K de Ê n, alors la fonction de densité de probabilité p X est à support compact K et dans ce cas, p X (x) = 0 pour tout x / K. En utilisant l Eq. (I-9), on en déduit que la densité de probabilité p Xj (x j ) sur Ê par rapport à dx j de la variable aléatoire X j est reliée à p X (x) = p X (x 1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n ) par la formule p Xj (x j ) = p X (x 1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x n ) dx 1...dx j 1 dx j+1...dx n Ê n 1. (I 15) F. Relation entre fonction de répartition et densité de probabilité. Variables aléatoires indépendantes Si la fonction de répartition F X est différentiable sur Ê n, alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X admet une fonction de densité de probabilité p X telle que p X (x) = n x 1... x n F X (x). (I 16) Si les n variables aléatoires X 1,..., X n sont indépendantes dans leur ensemble, alors F X (x) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ), (I 17) p X (x) = p X1 (x 1 )... p Xn (x n ). (I 18) I.3.2. Egalité presque sûre de variables aléatoires à valeurs dans Ê n Soit Y une autre variable aléatoire définie sur (A, F, P) à valeurs dans Ê n. Les deux variables aléatoires X et Y sont égales presque sûrement si l événement A 0 = {a A, X(a) Y(a)} est P-négligeable, c est-à-dire si P(A 0 ) = 0. Dans toute la suite, on identifiera toujours deux variables aléatoires presque sûrement égales.

14 6 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.3.3 Espérance mathématique et intégration des variables aléatoires à valeurs dans Ê n Soit 1 q < + un entier positif fini. On dit que X est une variable aléatoire d ordre q si E{ X q } = A X(a) q dp(a) = x q P X (dx) < + Ê n. (I 19) E{ X q } est l espérance mathématique de la variable aléatoire X q. L espérance mathématique est un application linéaire. L ensemble de toutes les variables aléatoires, définies sur l espace probabilisé (A, F, P), à valeurs dans Ê n, d ordre q, est l espace vectoriel noté L q (A, Ê n ) (on rappelle que l on identifie les variables aléatoires égales presque sûrement). L espace vectoriel L q (A, Ê n ), équipé de la norme X (E{ X q }) 1/q, est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet). On vérifie que si E{ X q } < + alors E{ X q } < + si q < q. I.3.4. Fonction caratéristique d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n La fonction caractéristique de la variable aléatoire X est la fonction u Φ X (u) de Ê n dans telle que Φ X (u) = E{exp(i <u, X>)} = e i<u,x> P X (dx). (I 20) Ê n La fonction caractéristique est une fonction continue 3 sur Ê n, de type positif 4, telle que Φ X (0) = 1 et telle que, pour tout u dans Ê n, on a Φ X (u) 1. Si P X (dx) = p X (x) dx, alors l Eq. (I-20) se réécrit Φ X (u) = e i<u,x> p X (x) dx. (I 21) Ê n Comme x p X (x) est une fonction intégrable sur Ê n, le théorème des transformées de Fourier des fonctions intégrables montre que, dans ce cas, la fonction continue u Φ X (u) de Ê n dans, tend vers 0 quand u. Si de plus la fonction u Φ X (u) est intégrable sur Ê n, alors par inversion de la transformée de Fourier, on a, pour presque tout x dans Ê n, p X (x) = 1 (2π) n e i<u,x> Φ X (u) du. (I 22) Ê n Si la fonction de densité de probabilité, qui est intégrable sur Ê n, est aussi de carré intégrable sur Ê n, alors la fonction caractéristique qui est une fonction continue qui tend vers 0 à l infini, est aussi de carré intégrable sur Ê n. Dans ce cas l Eq. (I-22) tient au sens de l inversion de la transformée de Fourier dans L 2. 3 La fonction ΦX (u) est continue car elle est la transformée de Fourier d une mesure bornée. 4 La fonction ΦX (u) est de type positif ce qui signifie que, pour toute famille finie u 1,...,u m de points de Ê n, et pour toute famille z 1,...,z n de nombre complexes, on a n j,k=1 Φ X(u k u j ) z k z j 0. Cette propriété résulte du fait que la mesure de probabilité est une mesure positive.

15 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.3.5. Moments d une variable aléatoire à valeurs dans Ê n Soit = (α 1,..., α n ) Æ n le multi-indice d ordre n avec α k un entier positif ou nul pour k {1,..., n}. Le moment d ordre de la variable aléatoire X, noté m, est défini par m = E{X α X α n n } = x α xα n n P X(dx). (I 23) Ê n Si X est une variable aléatoire d ordre q, alors on a m < + pour tout multi-indice tel que = α α n q. Dans ce cas, en utilisant l Eq. (I-20), on obtient la relation { α 1 u α α n } u α Φ n X (u) = m i. (I 24) n u=0 I.3.6. Inégalité de Markov et inégalité de Tchebychev A. Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire réelle positive de moyenne m X = E{X} > 0 finie. Alors, pour tout réel positif λ > 0, on a P {X λ m X } 1 λ. (I 25) B. Inégalité de Tchebychev Soit Y une variable aléatoire définie sur (A, F, P) à valeurs dans Ê et soit y f(y) une fonction définie sur Ê +, monotone et non décroissante. Alors, pour tout ε > 0, on a P { Y ε} E{f( Y )} f(ε). (I 26) Par exemple, si Y = X m X avec X une variable aléatoire à valeurs dans Ê, m X = E{X}, f(y) = y 2, ε = kσ X avec k > 0 et σ 2 X = E{(X m X) 2 }, alors l Eq. (I-26) donne P { X m X kσ X } 1 k 2. (I 27) I.4. Variable Aléatoire Vectorielle du Second Ordre I.4.1. Espace vectoriel des variables aléatoires du second ordre Une variable aléatoire X définie sur (A, F, P), à valeurs dans Ê n est une variable aléatoire du second ordre si X est d ordre q = 2, c est-à-dire si X L 2 (A, Ê n ), c est-à-dire si E{ X 2 } < +. (I 28) On note X la norme de X L 2 (A, Ê n ) qui est telle que X = ( E{ X 2 } ) 1/2. (I 29)

16 8 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE En identifiant deux variables aléatoires égales presque sûrement, la forme bilinéaire sur L 2 (A, Ê n ) L 2 (A, Ê n ), définie par (X, Y) X, Y = E{<X, Y>} = <x, y> P XY (dx, dy) (I 30) Ê n Ê n est un produit scalaire sur L 2 (A, Ê n ), où P XY (dx, dy) est la loi de probabilité conjointe des variables aléatoires X and Y. La norme associée est X X = X, X 1/2. L espace L 2 (A, Ê n ) est équipé du produit scalaire défini par l Eq. (I-30) et donc, L 2 (A, Ê n ) est un espace de Hilbert. En appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz au produit scalaire.,., on obtient l inégalité classique pour toutes variables aléatoires X et Y du second ordre, I.4.2. Vecteur moyen X, Y X Y. (I 31) Le vecteur moyen (ou moyenne) de la variable aléatoire X est le vecteur m X Ê n défini par m X = E{X}, (I 32) tel que pour tout j {1,..., n}, ses composantes s écrivent {m X } j = E{X j } = m Xj = x j P X (dx) = x j P Xj (dx j ). (I 33) Ê n Ê Si la variable aléatoire X n est pas centrée, c est-à-dire si m X 0, alors est une variable aléatoire centrée car m Y = 0. I.4.3. Matrice de corrélation Y = X m X (I 34) La matrice de corrélation [R X ] Ån(Ê) de la variable aléatoire X est définie par et est telle que pour tout j et k dans {1,..., n} : [R X ] = E{XX T }, (I 35) [R X ] jk = E{X j X k } = X j, X k = R Xj X k = x j x k P X (dx) = x j x k P Xj X k (dx j, dx k ), (I 36) Ê n Ê Ê où P Xj X k (dx j, dx k ) est la loi de probabilité conjointe des deux variables aléatoires X j et X k. La matrice [R X ] est symétrique définie positive (c est-à-dire appartient à Å + n (Ê)) ou est symétrique positive (c est-à-dire appartient à Å 0+ n (Ê)). Dans ce dernier cas, la variable aléatoire est dégénérée. La trace de la matrice de corrélation est finie : tr[r X ] = E{<X, X>} = X 2 < +. (I 37) Comme R Xj X k = X j, X k, si R Xj X k = 0 pour j k, alors les variables aléatoires réelles X j et X k sont dites orthogonales. Il est à noter que si X j est indépendante de X k, alors on a R Xj X k = m Xj m Xk, et dans ce cas, X j et X k ne seront orthogonales que si X j ou X k est centrée. Enfin, l inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à X j, X k = R Xj X k donne R Xj X k 2 R Xj X j R Xk X k. (I 38)

17 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.4.4. Matrice de covariance La matrice de covariance [C X ] Ån(Ê) de la variable aléatoire X est définie comme la matrice de corrélation de la variable aléatoire centrée Y = X m X. On a donc [C X ] = E{(X m X )(X m X ) T } = [R X ] m X m T X, (I 39) et [C X ] est telle que pour tout j et k dans {1,..., n}, [C X ] jk = E{(X j m Xj )(X k m Xk )} = C Xj X k = R Xj X k m Xj m Xk. (I 40) La matrice [C X ] est symétrique définie positive (c est-à-dire appartient à Å + n (Ê)) ou est symétrique positive (c est-à-dire appartient à Å 0+ n (Ê)). Dans ce dernier cas, la variable aléatoire est dégénérée. La trace de la matrice de covariance est finie, (i) Si j = k, alors 0 < tr[c X ] = X 2 m X 2 < +. (I 41) σ 2 X j = C Xj X j = E{(X j m Xj ) 2 } = R Xj X j m 2 X j (I 42) est la variance de la variable aléatoire réelle X j, σ Xj est son écart type et R Xj X j = E{X 2 j } est son moment d ordre deux. (ii) Si j k, alors r Xj X k = C X j X k σ Xj σ Xk (I 43) est le coefficient de corrélation des variables aléatoires réelles X j et X k, et est tel que 0 r Xj X k 1. (I 44) Si pour j k, r Xj X k = 0, alors les variables aléatoires réelles X j et X k sont dites non corrélées. Si [C X ] est une matrice diagonale, alors les variables aléatoires réelles X 1,..., X n sont non corrélées dans leur ensemble. I.4.5. Matrice d intercorrélation Soient X et Y deux variables aléatoires du second ordre à valeurs dans Ê n et Ê m respectivement. Alors la matrice d intercorrélation [R XY ] Ån,m(Ê) des variables aléatoires X and Y est définie par [R XY ] = E{XY T }. (I 45) Lorsque n = m, on a tr[r XY ] = X, Y, (I 46) et les variables aléatoires du second ordre X et Y à valeurs dans Ê n sont orthogonales si X, Y = 0, c est-à-dire si tr[r XY ] = 0.

18 10 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.4.6. Matrice d intercovariance Soient X et Y deux variables aléatoires du second ordre à valeurs dans Ê n et Ê m respectivement. Alors la matrice d intercovariance [C XY ] Ån,m(Ê) des variables aléatoires X et Y est définie par [C XY ] = E{(X m X )(Y m Y ) T } = [R XY ] m X m T Y. (I 47) Lorsque n = m, on a tr[c XY ] = X, Y <m X, m Y >, (I 47 ) et les variables aléatoires du second ordre X et Y à valeurs dans Ê n sont non corrélées si tr[c XY ] = 0. I.5. Exemples de Lois de Probabilité Nous donnons dans ce paragraphe des exemples de lois de probabilité d usage courant pour des variables aléatoires, discrètes, continues, scalaires et vectorielles. I.5.1. Lois de probabilité sur Ê de variables aléatoires discrètes A. Loi uniforme d une variable aléatoire discrète sur Ê La loi uniforme de la variable aléatoire discrète X à valeurs dans Ê, qui ne peut prendre avec une probabilité non nulle que les valeurs entières 1, 2,..., n, s écrit P X (dx) = 1 n δ 1(x) + 1 n δ 2(x) n δ n(x), (I 48) où δ y (x) est la mesure de Dirac sur Ê au point y. Sa fonction caractéristique s écrit, pour tout u dans Ê, Φ X (u) = 1 n (eiu + e 2iu e niu ), (I 49) On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance, m X = n + 1 2, E{X 2 } = 1 n n(n + 1)(2n + 1) 6 B. Loi de Pascal d une variable aléatoire discrète sur Ê, σ 2 X = n2 1 12, (I 50) Soit p un paramètre réel tel que 0 < p < 1 et q = 1 p. La loi de Pascal, de paramètre p, de la variable aléatoire discrète X à valeurs dans Ê, qui ne peut prendre avec une probabilité non nulle que les valeurs entières 0 et 1, s écrit La fonction caractéristique s écrit, pour tout u dans Ê, P X (dx) = q δ 0 (x) + p δ 1 (x). (I 51) Φ X (u) = p e iu + q. (I 52) On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance, m X = p, E{X 2 } = p, σ 2 X = pq. (I 53)

19 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE C. Loi de Bernoulli ou loi binomiale sur Ê Soient n un entier plus grand que 1 et p un réel tel que 0 < p < 1. La loi de Bernoulli de paramètres n et p, de la variable aléatoire discrète X à valeurs dans Ê, qui ne peut prendre avec une probabilité non nulle que les valeurs 0, 1, 2,..., n est la loi P X (dx) de la variable aléatoire discrète X = X 1 + X X n, où les variables aléatoires X 1,..., X n sont indépendantes dans leur ensemble, chaque variable aléatoire X j ayant la même loi de Pascal de paramètre p. Ainsi, en posant q = 1 p, on a, n P X (dx) = Ck n pk q n k δ k (x). (I 54) avec C n k k=0 = n!/(k! (n k)!). La fonction caractéristique s écrit pour tout u dans Ê On en déduit les expressions de la moyenne et de la variance, Φ X (u) = (p e iu + q) n. (I 55) m X = np, σ 2 X = npq. (I 56) D. Loi de Poisson sur Ê La loi de Poisson, de paramètre λ Ê +, de la variable aléatoire discrète X à valeurs dans Ê, qui ne peut prendre avec une probabilité non nulle que les valeurs entières de Æ = 0, 1, 2,..., s écrit P X (dx) = + k=0 La fonction caractéristique de X s écrit, pour tout u dans Ê, (k!) 1 λ k e λ δ k (x). (I 57) Φ X (u) = exp{λ(e iu 1)}. (I 58) On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance, m X = λ, E{X 2 } = λ(λ + 1), σ 2 X = λ. (I 59) I.5.2. Lois de probabilité sur Ê de variables aléatoires continues Lorsque les lois de probabilité de la variable aléatoire X, à valeurs Ê, présentées dans ce paragraphe, sont normalisées, on peut construire les familles correspondantes en introduisant la variable aléatoire Y à valeurs dans Ê telle que Y = X +, X = 1 (Y ), (I 60) avec > 0 le paramètre de mise à l échelle et Ê le paramètre de localisation. Alors, la densité de probabilité p Y (y) par rapport à dy, définie pour tout y dans Ê, de la variable aléatoire Y et sa fonction caractéristique Φ Y (u), définie pour tout u dans Ê, s écrivent p Y (y) = 1 ( ) y p X, Φ Y (u) = e iu Φ X ( u), (I 61) avec p X (x) la densité de probabilité par rapport à dx de la variable aléatoire X et Φ X (u) sa fonction caractéristique.

20 12 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE A. Loi uniforme sur [a, b] Ê La loi de probabilité uniforme sur [a, b] Ê de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx, qui s écrit p X (x) = ½ [a,b] (x) 1 b a Pour tout u dans Ê, la fonction caractéristique s écrit, Φ X (u) =. (I 62) 1 iu(b a) (eiub e iua ). (I 63) La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent m X = a + b 2, E{X 2 } = (b a) (a + b)2 4, σ 2 X = (b a)2 12. (I 64) B. Loi exponentielle sur Ê + de paramètre λ La loi de probabilité exponentielle sur Ê +, de paramètre λ > 0, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx, qui s écrit p X (x) = ½ Ê +(x) λ e λx. (I 65) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. Pour tout u dans Ê, la fonction caractéristique s écrit, Φ X (u) = λ λ iu. (I 66) La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent m X = 1 λ, E{X2 } = 2 λ 2, σ 2 X = 1 λ 2. (I 67) C. Loi gamma sur Ê + de paramètre α La loi de probabilité gamma sur Ê +, de paramètre α > 0, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx, qui s écrit p X (x) = ½ Ê +(x) 1 Γ(α) xα 1 e x. (I 68) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. Pour tout u dans Ê, la fonction caractéristique s écrit Φ X (u) = 1 (1 iu) α. (I 69) La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent m X = α, E{X 2 } = α(α + 1), σx 2 = α. (I 70)

21 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE D. Loi beta de type I sur [0, 1] de paramètres a et b La loi de probabilité beta de type I sur [0, 1], de paramètres 1 a < + et 1 b < +, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx et s écrit p X (x) = ½ [0,1] (x) où B(a, b) est la fonction beta qui est définie par 1 B(a, b) xa 1 (1 x) b 1, (I 71) B(a, b) = Γ(a) Γ(b) Γ(a + b). (I 72) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans [0, 1] presque sûrement. La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent m X = a a + b, E{X 2 } = a2 (a + b + 1) + ab (a + b) 2 (a + b + 1), σ 2 X = ab (a + b) 2 (a + b + 1). (I 73) E. Loi beta de type II sur Ê + de paramètres a et b La loi de probabilité beta de type II sur Ê +, de paramètres 1 a < + et 1 b < +, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx et s écrit p X (x) = ½ Ê +(x) 1 B(a, b) x a 1 (1 + x) a+b, (I 74) où B(a, b) est définie par l Eq. (I-72). La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. Elle s écrit X = W, (I 75) 1 W où W est une variable aléatoire qui suit la loi beta de type I définie par l Eq. (I-71). Le moment d ordre q de la variable aléatoire X n existe que si q b 1 et s écrit alors E{X q } = Γ(a + q) Γ(b q) Γ(a) Γ(b). (I 76) On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance de la variable aléatoire X, m X = a b 1, E{X 2 } = a(a + 1) (b 2)(b 1) Le moment d ordre deux et la variance existent lorsque b 3., σ 2 X = a(a + 1)(b 1) a2 (b 2) (b 2)(b 1) 2. (I 77)

22 14 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE F. Loi normale ou loi gaussienne sur Ê Soit m X Ê et soit σ X > 0. Alors la fonction Φ X, définie sur Ê à valeurs dans, telle que Φ X (u) = exp {im X u 1 } 2 σ2 X u2, (I 78) est la fonction caractéristique d une variable aléatoire du second ordre X à valeurs dans Ê, dont la loi de probabilité P X (dx) est appelée loi normale ou loi gaussienne. On vérifie facilement que les deux paramètres m X et σx 2 de cette loi sont respectivement la moyenne et la variance de la variable aléatoire X. Par transformée de Fourier inverse, on montre que la loi de probabilité P X (dx) de la variable aléatoire X s écrit P X (dx) = p X (x) dx où p X (x) est la densité de probabilité gaussienne qui s écrit, pour tout x dans Ê, p X (x) = 1 { exp 1 } 2π σx 2σX 2 (x m X ) 2. (I 79) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê presque sûrement. On introduit la variable aléatoire gaussienne normalisée G à valeurs Ê telle que G = X m X σ X, (I 80) qui est donc telle que m G = 0, σ G = 1. (I 81) Alors la loi de probabilité P G (dg) de la variable aléatoire G s écrit P G (dg) = p G (g) dg où p G (g) est la densité de probabilité normale canonique qui s écrit, pour tout g dans Ê, p G (g) = 1 2π exp { g2 2 }. (I 82) On en déduit que Ê exp { g2 2 } dg = 2π. (I 83) Comme la fonction g p G (g) est une fonction paire sur Ê, tous les moments d ordre impair de la variable aléatoire G sont nuls et donc, E{G 2q+1 } = 0, q = 0, 1, 2, 3,.... (I 84) Les moments d ordre pair de la variable aléatoire G s écrivent E{G 2q } = (2q 1) = (2q)! 2 q q!, q = 1, 2, 3,.... (I 85)

23 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE G. Loi du χ 2 n sur Ê+ La loi du χ 2 n sur Ê +, à n degrés de liberté, est la loi de la variable aléatoire χ 2 n à valeurs dans Ê, définie par χ 2 n = G G 2 n, (I 86) où G 1,..., G n sont des variables aléatoires gaussiennes normalisées (voir Eq. (I-82)), indépendantes dans leur ensemble. La densité de probabilité p χ 2 n (x) par rapport à dx, s écrit donc 1 p χ 2 n (x) = ½ Ê +(x) 2 n/2 Γ(n/2) x n 2 1 e x/2. (I 87) La variable aléatoire χ 2 n prend donc ses valeurs dans Ê+ presque sûrement. La fonction caractéristique s écrit, pour tout u dans Ê, Φ χ 2 n (u) = (1 2iu) n/2. (I 88) Alors la moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire χ 2 n s écrivent m χ 2 n = n, E{(χ 2 n) 2 } = n(n + 2), σ 2 χ 2 n = 2n. (I 89) H. Loi log-normale sur Ê + de paramètres m et σ La loi log-normale sur Ê + à deux paramètres m Ê et σ > 0, est la loi de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, définie par X = exp{w }, (I 90) où W est une variable aléatoire gaussienne sur Ê, de moyenne m et d écart type σ (voir Eq. (I-79)). La densité de probabilité p X (x) par rapport à dx, s écrit donc p X (x) = ½ Ê +(x) 1 { x σ 2π exp 1 } 2σ 2(lnx m)2. (I 91) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. La moyenne et la variance de la variable aléatoire X s écrivent } m X = exp {m + σ2, σx 2 2 = ( exp { 2m + σ 2}) ( exp { σ 2} 1 ). (I 92) I. Loi de Cauchy sur Ê La loi de probabilité de Cauchy sur Ê, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx et s écrit p X (x) = 1 π(1 + x 2 ). (I 93) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê presque sûrement. Aucun moment de cette variable aléatoire n est fini. Pour tout entier q = 1, 2, 3,..., on a E{ X q } = +.

24 16 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE J. Loi de Weibull sur Ê + de paramètre α La loi de probabilité de Weibull sur Ê +, de paramètre α > 0, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx et s écrit p X (x) = ½ Ê +(x) αx α 1 e xα. (I 94) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. La fonction de répartition de la variable aléatoire X s écrit, F X (x) = 0 si x 0 et F X (x) = 1 e xα si x > 0. (I 95) La variable aléatoire X peut s écrire X = W 1/α avec W la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 1, définie par l Eq. (I-65). Pour tout entier q 1, le moment d ordre q de la variable aléatoire X s écrit ( E{X q } = Γ 1 + q ). (I 96) α On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance de la variable aléatoire X qui s écrivent ( m X = Γ ) α K. Loi de Student T n sur Ê (, E{X 2 } = Γ ) α (, σx 2 = Γ ) ( ( Γ α α)) (I 97) Soit G une variable aléatoire gaussienne normalisée sur Ê (voir paragraphe 5.2.F) et soit χ 2 n la variable aléatoire du χ 2 n à n degrés de liberté sur Ê+ (voir paragraphe 5.2.G). On suppose que les variables aléatoires G et χ 2 n sont indépendantes. La variable aléatoire de Student T n à n degrés de liberté est la variable aléatoire à valeurs dans Ê définie par T n = G χ 2 n /n. (I 98) La densité de probabilité p T (t) par rapport à dt, s écrit n ( ) (n+1)/2 p (t) = 1 T 1 + t2, (I 99) n nb(1/2, n/2) n avec B(a, b) la fonction beta définie par l Eq. (I-72). La variable aléatoire T n prend donc ses valeurs dans Ê presque sûrement. La variable aléatoire T n est du second ordre pour n 3. Alors, la moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire T n s écrivent m Tn = 0, E{T 2 n } = n n 2, σ 2 T n = n n 2. (I 100) Il est à noter que pour n = 1, la variable aléatoire T 1 suit la loi de Cauchy (voir paragraphe 5.2.I).

25 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.5.3. Loi de valeurs extrêmes sur Ê On considère n variables aléatoires X 1,..., X n du second ordre à valeurs dans Ê, indépendantes dans leur ensemble, ayant la même loi de probabilité représentée par la fonction de répartition F(x) sur Ê. On a donc F X1 (x) =... = F Xn (x) = F(x), et la fonction de répartition F X (x) du vecteur aléatoire X = (X 1,..., X n ) s écrit donc F X (x) = F(x 1 )... F(x n ) avec x = (x 1,..., x n ). Soit Y n la variable aléatoire définie par Y n = max{x 1,..., X n }, (I 101) représentant les valeurs extrêmes de X 1,..., X n. L équation (101) signifie que si x 1,..., x n est une réalisation de X 1,..., X n, alors la réalisation correspondante y de Y n est telle que y = max{x 1,..., x n }. On en déduit que On a alors le théorème important suivant. P {Y n y} = P {X 1 y,..., X n y} = P {X 1 y}... P {X n y} = {F(y)} n. (I 102) Théorème. Si il existe une suite réelle positive {a n } n (avec a n > 0) et une suite réelle {b n } n telles que { } Yn b n P y F (y) si n +, (I 103) a n avec F (y) une fonction de répartition non dégénérée, alors F (y) ne peut être que la fonction de répartition d une loi de valeurs extrêmes de type I (voir paragraphe 5.3.A), de type II (voir paragraphe 5.3.B) ou de type III (voir paragraphe 5.3.C). Il est à noter que l application de ce théorème requiert la construction d une normalisation de Y n, c est-à-dire, la construction de la suite {a n } n de mise à l échelle et de la suite {b n } n de localisation. A. Loi de valeurs extrêmes de type I sur Ê ou loi de Gumbel La loi de valeurs extrêmes de type I, ou loi de probabilité de Weibull sur Ê, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx et s écrit p X (x) = exp{ x e x }. (I 104) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê presque sûrement. La fonction de répartition de la variable aléatoire X s écrit, Pour tout u dans Ê, la fonction caractéristique s écrit F X (x) = exp{ e x }. (I 105) Φ X (u) = Γ(1 iu). (I 106)

26 18 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent m X = γ, E{X 2 } = π2 6 + γ2, σx 2 = π2 6, (I 107) où γ = est la constante d Euler. La variable aléatoire X peut s écrire X = lnw avec W la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 1, définie par l Eq. (I-65). B. Loi de valeurs extrêmes de type II sur Ê + de paramètre α ou loi de Fréchet La loi de valeurs extrêmes de type II, ou loi de probabilité de Fréchet sur Ê +, de paramètre α > 0, de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, est définie par la densité de probabilité p X (x) par rapport à dx, qui s écrit p X (x) = ½ Ê +(x) αx α 1 e x α. (I 108) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê + presque sûrement. La fonction de répartition de la variable aléatoire X s écrit, F X (x) = 0 si x 0 et F X (x) = e x α si x > 0. (I 109) Pour tout entier q < α, le moment d ordre q de la variable aléatoire X est fini et s écrit ( E{X q } = Γ 1 q ). (I 110) α On en déduit les expressions de la moyenne, du moment d ordre deux et de la variance de la variable aléatoire X qui s écrivent ( m X = Γ 1 1 ) (, E{X 2 } = Γ 1 2 ) (, σx 2 = Γ 1 2 ) ( ( Γ (I 111) α α α α)) C. Loi de valeurs extrêmes de type III sur Ê de paramètre α, liée à la loi de Weibull La loi de valeurs extrêmes de type III sur Ê, de paramètre α > 0, est la loi de la variable aléatoire X à valeurs dans Ê, qui s écrit X = W avec W une variable aléatoire qui suit la loi de Weibull de paramètre α définie au paragraphe 5.2.J. Elle est donc définie par la densité de probabilité p X (x) suivante (par rapport à dx), p X (x) = ½ Ê (x) α( x) α 1 e ( x)α. (I 112) La variable aléatoire X prend donc ses valeurs dans Ê presque sûrement. La fonction de répartition de la variable aléatoire X s écrit, F X (x) = 1 si x 0 et F X (x) = e ( x)α si x < 0. (I 113) La moyenne, le moment d ordre deux et la variance de la variable aléatoire X s écrivent ( m X = Γ ) (, E{X 2 } = Γ ) (, σx 2 = Γ ) ( ( Γ (I 114) α α α α))

27 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE I.5.4. Loi normale ou loi gaussienne sur Ê n A. Mesure gaussienne sur Ê n On généralise dans ce paragraphe la loi normale ou loi gaussienne sur Ê présentée au paragraphe 5.2.F. Soit m X Ê n et soit [C X ] Å 0+ n (Ê) (matrice réelle symétrique positive, donc non inversible). Alors la fonction Φ X définie sur Ê n à valeurs dans, telle que { Φ X (u) = exp i <m X, u> 1 } 2 <[C X]u, u>, (I 115) est la fonction caractéristique d une variable aléatoire du second ordre X à valeurs dans Ê n, dont la loi de probabilité P X (dx) qui est appelée loi normale ou loi gaussienne. On vérifie facilement que les deux paramètres m X et [C X ] de cette loi sont respectivement la moyenne et la matrice de covariance de la variable aléatoire X. Si [C X ] Å + n (Ê) (matrice réelle symétrique définie positive, donc inversible), alors on montre que P X (dx) = p X (x) dx est définie par la densité de probabilité p X (x) qui s écrit, pour tout x Ê n, p X (x) = 1 { (2π)n det[c X ] exp 1 } 2 <[C X] 1 (x m X ),(x m X )>. (I 116) La figure 1 montre le graphe de la densité de probabilité p X pour le cas n = 2, m X = (2, 2) et [C X ] = [ I ] où [ I ] est la matrice unité. 0.2 p ( x 1,x ) X x 0 1 x Fig. 1. Densité de probabilité de la loi gaussienne sur Ê 2 B. Relations entre les moments d une variable aléatoire gaussienne vectorielle centrée Les Eqs. (I-23) et (I-24) permettent de calculer facilement les relations entre les moments d une variable aléatoire gaussienne vectorielle. Supposons que X = (X 1,..., X n ) soit centrée (m X = 0). Soient i, j, k, l, m,... des entiers dans {1,..., n} avec possibilités d égalités. Alors en utilisant les Eqs. (I-23), (I-24) et (I-115) on vérifie facilement que tous les moments d ordre impair sont nuls (par exemple E{X i X j X k } = 0) et que le moment pair d ordre 2N s écrit E{X i X j X k X l...} = (2N)! N! 2 N {E{X ix j }E{X k X l }E{X m X n }} sym, (I 117)

28 20 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE où { } sym désigne l opération de symétrisation par rapport à tous les arguments. Par exemple, pour N = 2, on a {E{X 1 X 2 }E{X 3 X 4 }} sym = 1 3 (E{X 1X 2 }E{X 3 X 4 } + E{X 4 X 1 }E{X 2 X 3 } + E{X 1 X 3 }E{X 2 X 4 }) (I 118) et par conséquent, on obtient E{X 1 X 2 X 3 X 4 } = E{X 1 X 2 }E{X 3 X 4 } + E{X 4 X 1 }E{X 2 X 3 } + E{X 1 X 3 }E{X 2 X 4 }, (I 119) ce qui donne E{X 4 1 } = 3 E{X2 1 }. C. Mesure normale canonique sur Ê n Si m X = 0 et [C X ] = [ I ], alors la densité de la mesure P X (dx) est notée ν n (x), c est-à-dire P X (dx) = ν n (x) dx avec ν n (x) = (2π) n/2 exp { 1 } 2 x 2. (I 120) La densité de probabilité ν n (x) est appelée la densité normale canonique. On en déduit que exp { 1 } Ê 2 x 2 dx = (2π) n/2. (I 121) n I.6. Transformations Linéaires et Non Linéaires des Variables Aléatoires I.6.1. Méthode de la transformation d une mesure pour une application non linéaire bijective Soient Ω n et Ω n deux parties ouvertes de Ên. Soit x y = f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) une application bijective de Ω n dans Ω n. On suppose que l application inverse y x = f 1 (y) est continûment différentiable de Ω n dans Ω n et que pour tout y Ω n, la matrice jacobienne [J(y)] Ån(Ê) de f 1 (y), définie par [J(y)] jk = y k f 1 j (y), (I 122) est inversible. Si X = (X 1,..., X n ) est une variable aléatoire à valeurs dans Ê n dont la loi de probabilité P X (dx) = p X (x) dx est définie par la densité p X (x) continue sur Ω n, alors la loi de probabilité P Y (dy) = p Y (y) dy sur Ω n de la variable aléatoire Y = f(x) est définie par la densité continue p Y (y) sur Ω n qui s écrit p Y (y) = p X (f 1 (y)) det[j(y)]. (I 123)

29 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE A. Application au cas d une transformation orthogonale Soit [F] Ån(Ê) la matrice telle que [F][F] T = [F] T [F] = [I ] et soit y = f(x) = [F]x. Alors, en utilisant l Eq. (I-123), on en déduit que p Y (y) = p X ([F] T y). (I 124) B. Application à la somme de deux variables aléatoires Soit X = (X 1, X 2 ) la variable aléatoire à valeurs dans Ê 2 dont la loi de probabilité est définie par une densité, P X (dx) = p X1 X 2 (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2. On cherche la loi de probabilité P Y1 (dy 1 ) = p Y1 (y 1 ) dy 1 de la variable aléatoire Y 1 = X 1 + X 2 à valeurs dans Ê. En posant Y 2 = X 2 et en utilisant l Eq. (I-123), on en déduit que p Y1 (y 1 ) = En particulier, si X 1 et X 2 sont indépendantes, alors p Y1 (y 1 ) = (p X1 p X2 )(y 1 ) = car dans ce cas p X1 X 2 (x 1, x 2 ) = p X1 (x 1 ) p X2 (x 2 ). I.6.2. Méthode de la fonction caractéristique Ê p X1 X 2 (y 1 y 2, y 2 ) dy 2. (I 125) Ê p X1 (y 1 y 2 ) p X2 (y 2 ) dy 2, (I 126) Soit f : x y = f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) une application mesurable de Ê n dans Ê m. Soit X = (X 1,..., X n ) une variable aléatoire à valeurs dans Ê n dont la fonction caractéristique est la fonction u Φ X (u) continue de Ê n dans. Alors la variable aléatoire Y = f(x) à valeurs dans Ê m a pour fonction caractéristique la fonction v Φ Y (v) continue de Ê m dans telle que, pour tout v Ê m, Φ Y (v) = E{exp(i <v, f(x)>)} = e i<v,f(x)> P X (dx). Ê n (I 127) A. Application aux transformations affines de Ê n dans Ê m Soit f l application affine de Ê n dans Ê m définie par x y = f(x) = [A ] x + b, (I 128) avec b Ê m et [A ] Åm,n(Ê). La fonction caractéristique Φ Y Y = [A ] X + b est donnée par l Eq. (I-127) et s écrit de la variable aléatoire Φ Y (v) = e i<v,b> Φ X ([A ] T v), v Ê m. (I 129)

30 22 CHAPITRE I - PROBABILITES ET MODELISATION DES INCERTITUDES - C. SOIZE B. Application aux transformations affines d une variable aléatoire gaussienne sur Ê n On considère l application affine définie par l Eq. (I-128) et on suppose que la variable aléatoire X à valeurs dans Ê n est gaussienne dont le vecteur moyen est m X Ê n et la matrice de covariance [C X ] est dans Å 0+ n (Ê) ou dans Å + n (Ê). Alors la fonction caractéristique Φ Y de la variable aléatoire Y = [A ] X+b est donnée par l Eq. (I-129) avec Φ X donnée par l Eq. (I-115), ce qui, pour tout v Ê m, donne { Φ Y (v) = exp i <m Y, v> 1 } 2 <[C Y]v, v>, (I 130) avec m Y Ê m et [C Y ] dans Å 0+ m (Ê) ou dans Å+ m (Ê), tels que m Y = [A ] m X + b, [C Y ] = [A ][C X ][A ] T. (I 131) En utilisant les résultats du paragraphe 5.4, on en déduit que Y est une variable aléatoire à valeurs dans Ê m, du second ordre, gaussienne, dont le vecteur moyen m Y et la matrice de covariance [C Y ] sont donnés par l Eq. (I-131). Nous avons donc prouvé le théorème important suivant. Théorème. Toute transformation affine (et en particulier linéaire) d une variable aléatoire vectorielle gaussienne, est une variable aléatoire vectorielle gaussienne. I.7. Calcul Probabiliste du Second Ordre Soit X = (X 1,..., X n ) une variable aléatoire à valeurs dans Ê n, du second ordre, de vecteur moyen m X, de matrice de corrélation [R X ] et de matrice de covariance [C X ]. Soit f l application affine de Ê n dans Ê m définie par l Eq. (I-128). Comme l espérance mathématique est une application linéaire, on en déduit que Y = [A ]X + b est une variable aléatoire à valeurs dans Ê m, du second ordre, telle que m Y = E{Y} = [A ] m X + b, (I 132) [R Y ] = E{YY T } = [A ][R X ][A ] T + [A ] m X b T + b m X T [A ] T + b b T, (I 133) [C Y ] = [R Y ] m Y m Y T = [A ][C X ][A ] T. (I 134) Pour ce type de transformation, les grandeurs du second ordre de la variable aléatoire transformée peuvent être calculées directement indépendamment des lois de probabilité des variables aléatoires. Cette affirmation n est vraie que pour des applications linéaires ou affines et est évidemment fausse dans le cas des transformations non linéaires. I.8. Convergence des Suites de Variables Aléatoires I.8.1. Différents types de convergence Comme une suite de variables aléatoires {X ν } ν définies sur un espace probabilisé (A, F, P), à valeurs dans Ê n, constitue une suite de fonctions a X ν (a) de A dans Ê n, la convergence peut être définie de plusieurs manières.