Chapitre Opérations avec des nombres décimaux

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1 Chapitre Opérations avec des nombres décimaux Division d un nombre décimal par un entier. Multiplier un nombre par, ;, ;, ;...etc. Multiplier un nombre décimal par un nombre décimal. Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. Établir un ordre de grandeur d une somme, d une différence, d un produit. Remarques : Notions étudiées en CM : Additions de décimaux. Multiplication d un nombre décimal par,,...etc. Division d un nombre décimal par,,...etc. Tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.

2 Chapitre Opérations avec des nombres décimaux ) Ordres de grandeur pour une addition : a) Méthode: Pour obtenir un ordre de grandeur d une somme : on remplace chacun des termes de la somme par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental ; on effectue l addition avec ces nombres ; on obtient un résultat proche du résultat exact. Ce nombre est un ordre de grandeur de la somme. Exemple : Si on veut avoir un ordre de grandeur de la somme, + 9 +, ; on peut calculer + + =. On dira que le nombre est un ordre de grandeur de la somme. b) Remarques : On procède de la même manière pour trouver un ordre de grandeur d une différence. Plusieurs ordres de grandeur sont possibles pour un même résultat. Exemple : Pour calculer un ordre de grandeur de,, ; on peut calculer mentalement : = (on arrondit les termes de la soustraction à l unité) = (on arrondit les termes de la soustraction à la dizaine) = (on arrondit les termes de la soustraction à la centaine) ; et sont des ordres de grandeur différents de,,., est le résultat exact, calculé en posant l opération.,,, c) Utilisations : On peut rechercher un ordre de grandeur du résultat d une opération pour : prévoir un résultat : on peut avoir rapidement une idée approximative d un résultat sans effectuer le calcul exact ; vérifier le résultat d une opération, même effectuée à la calculatrice. Exemple : Jean a écrit : «, +, + 9, =,» Un ordre de grandeur de cette somme est : + + =. Le résultat proposé par Jean est trop éloigné de l ordre de grandeur ; comme le calcul de l ordre de grandeur est juste ; on peut en déduire rapidement que Jean s est trompé dans son calcul.

3 ) Multiplications de nombres décimaux : a) Multiplier par,,,...etc: (rappels CM) Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples rang vers la droite, =, rangs vers la droite = rangs vers la droite, = rangs vers la droite, = Remarques: Pour tout nombre décimal a : a= a = et a= a = a =,9 =,9 b) Multiplier un entier par un nombre inférieur à : Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples, rang vers la gauche,=,, rangs vers la gauche,=,, rangs vers la gauche,=,,= = =, (multiplier par, revient donc à diviser le nombre par ),= = =, (multiplier par, revient donc à diviser le nombre par ),= = =, (multiplier par, revient donc à diviser le nombre par ),9= 9, = 9,=,=, c) Remarque importante sur la multiplication : On n augmente pas toujours la valeur d un nombre en le multipliant. On diminue la valeur d un nombre positif en le multipliant par un nombre compris entre et., =, ; quand on multiplie par, <, le produit obtenu, est inférieur à.,9 =, ; quand on multiplie par,9 <, le produit obtenu, est inférieur à.

4 d) Multiplier deux nombres décimaux : Exemple : Effectue la multiplication de, par,. +,,,. : + Méthode: On pose l'opération comme s'il s'agissait de nombres entiers. On effectue la multiplication de par sans tenir compte des virgules. est fois plus grand que, est fois plus grand que,. Le produit,, est donc fois plus petit que. Pour obtenir le résultat, on effectue donc la division :. Pour diviser par, on décale la virgule de rangs vers la gauche. Finalement,, =,. A=,,=, +,,, : + B =,, =,,,, :

5 ) Organisation d un calcul On peut modifier l ordre des facteurs d une multiplication et les regrouper sans que cela change la valeur du produit. On peut ainsi simplifier certains calculs. A=,, =,, =, =, =. B =,,=,, B =,, =,=, On peut permuter les facteurs de la multiplication et les regrouper astucieusement ) Ordres de grandeur pour une multiplication : Méthode: Pour obtenir un ordre de grandeur d un produit : on remplace chacun des facteurs par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental ; on effectue la multiplication avec ces nombres ; on obtient un résultat proche du produit exact. Ce nombre est un ordre de grandeur du produit. Déterminer un ordre de grandeur du produit,,, est proche de et, est proche de on peut calculer mentalement: = un ordre de grandeur de,, est donc. Déterminer un ordre de grandeur du produit,,, est proche de et, est proche de on peut calculer mentalement: = un ordre de grandeur de,, est donc.

6 ) Division d un nombre décimal par un entier : Exemple : Division de, par.,, 9 On commence la division, comme pour une division euclidienne. Le reste de la division euclidienne est égal à. Dès que l on atteint la partie décimale du dividende, on place la virgule au quotient. On finit ici par obtenir un reste égal à pour la division décimale., : =,9 Exemple : Calculer une valeur arrondie au millième du quotient de,9 par 9. On effectue la division de,9 par 9., 9 9 On commence la division, comme pour une division euclidienne. Le reste de la division euclidienne est égal à. 9, Dès que l on atteint la partie décimale du dividende, on place la virgule au quotient. Comme on obtient le même reste, la division ne «s'arrête» pas : le quotient de,9 par 9 n'a pas d'écriture décimale exacte, mais on peut en donner une valeur décimale approchée :,9 : 9, (valeur arrondie au millième).