FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE SERIE E

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1 nom, prénom: FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE SERIE E Dans un système d axes OXY orthonormé, soient la circonférence C 1 centrée à l origine et de rayon R 1 = 20 et les droites AB et BC dont les coordonnées valent respectivement pour le point A(30,0), le point B(0, 50) et le point C(-50,0). On demande de construire par la géométrie synthétique : 1. la circonférence C 2 de centre P, de rayon R 2 = 5, tangente à la fois à la droite AB et à la circonférence C 1 et qui ne coupe pas l axe OX 2. la circonférence C 3 de centre Q de rayon R 3 = 10, tangente à la fois à la droite BC et à la circonférence C 1 et qui ne coupe pas l axe OX 3. la circonférence C 4 de centre R de rayon R 4 = 2.5, tangente à la fois aux circonférences C 2 et C 3 et telle que l ordonnée de son centre R soit supérieure aux ordonnées des points P et Q. Soit E et F les points de contact de C 2 avec respectivement C l et AB. Soit I et J les points de contact de C 3 avec respectivement C 1 et BC. La tangente commune à C l et C 2 en E coupe AB en H et la tangente commune à C 1 et C 3 en I coupe BC en L. La. droite OP coupe AB en G et la droite OQ coupe BC en K. Joignons H à P et L à Q. On demande de déterminer : 1. par la géométrie synthétique la somme des angles EĤP et I LQ en fonction des angles BÂC, BĈA et GÔK 2. par la géométrie analytique l équation de la circonférence C 3 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE SPATIALE SERIE E Dans le système d axes orthonormé OXY Z, soit le tétraèdre régulier ABCD dont la longueur des erêtes vaut 20. Sa base ABC appartient au plan OXY. Son arête AB est parallèle à OY. L ordonnée de B est plus grande que celle de A. Les coordonnées de son sommet A sont (20,10,0). L abscisse de C est plus grande que les abscisses de A et de B. On demande : 1. de déterminer les coordonnées des sommets B, C et D de ce tétraèdre 2. de calculer le volume du tétraèdre

2 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 SERIE D Géométrie plane Dans un repère orthonormé Oxy, on considère deux droites a et b formant un angle α entre elles. On nomme P leur point d intersection. Soit M un point n appartenant ni à a ni à b. On construit le point M par symétrie orthogonale de M par rapport à a et M par symétrie orthogonale de M par rapport à B. On demande : de dessiner une figure reprenant la construction de l énoncé; de démontrer que le point M est l image de M par une rotation de centre P d angle 2α ; de définir une condition sur α pour que le quadrilatère PMM M soit inscriptible; dans le cas où a a pour équation y = 2, b a pour équation y = 3x + 2 et M a pour coordonnées (3,-1) : de rechercher les coordonnées des points P, M et M ; de vérifier analytiquement la première propriété démontrée (M est l image de M par une rotation de centre P d angle 2α); de rechercher l équation de l hyperbole admettant PM et PM comme asymptotes et qui passe par le point M ; Géométrie spatiale On donne trois points A, B et C respectivement de coordonnées (1,2,1), (3,5,2) et (7,4,3). On demande : de rechercher les équations paramétriques et l équation cartésienne du plan passant par A, B et C ; de rechercher les coordonnées d un point D tel que ABCD soit un trapèze isocèle dessiné dans le plan ABC ; de donner le volume du corps obtenu par la rotation du trapèze ABCD autour de la droite BC.

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4 Université de Mons - Faculté Polytechnique de Mons EPREUVE 4 SERIE B I. GEOMETRIE PLANE Question 1 Dans le système de référence orthonormé Oxy, considérons une droite d d'équation : 2x + 5y = 18 et M un point de cette droite, d'abscisse égale à 1. Soit la circonférence 1 de centre M et de rayon égal à 3 et A et B les points d'intersection de ce cercle avec la droite d. On demande de déterminer l'équation du cercle 2 pour lequel le segment AB est une corde et dont le centre C appartient à la droite d'équation y = 1. Question 2 Considérons un triangle variable ABC dont la longueur de la base AB et l'angle au sommet C sont constants. On demande d'établir le lieu de l'orthocentre H du triangle. Question 1 II. GEOMETRIE SPATIALE Considérons un cône équilatéral, c'est-à-dire dont une coupe par un plan médiateur est un triangle équilatéral de côté c. On demande de déterminer A de la surface de ce cône et son volume V en fonction de c. Question 2 Dans le système de référence orthonormé Oxyz, on considère un triangle de sommets ABC tels que : A ( 5, 3, 5), B (3, 7, 3), C (1, 2, 3). On considère ensuite : - la droite a qui passe par le point C et est parallèle au côté AB ; - un plan passant par le pied M de la médiane du triangle ABC issue de C et perpendiculaire à celle-ci ; - la droite b, parallèle au plan, passant par le point B et qui s'appuie en le point Q sur la droite a. On demande de déterminer l'équation du plan ainsi que les coordonnées de Q.

5 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS UNIVERSITE DE MONS SERIE A 14 Question 1 : GEOMETRIE PLANE Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons un. a) Déterminer le lieu L1 des points P tels que. b) Déterminer le lieu L2. c) le segment OA et L1, déterminer les intersections de la perpendiculaire à OA passant par Q et L2 dans le cas particulier où le point A est en (3 ; 7), Accompagnez chacune de une figure claire présentant la situation. Question 2 : GEOMETRIE SPATIALE paramétriques ent un point A(8 ; 5 ; -8) et un plan X= Y= 2 + Z= Soit une sphère -4)² + (Y-3)² + Z² = 16 Déterminer les équations cartésiennes des plans simultanément tangents à la sphère S, perpendiculaires au plan et passants par A. Pour vous guider dans la résolution du problème, veuillez : a) Exprimer la plan passe par A. b) soit perpendiculaire au plan. c) Exprimer la plan soit tangent à la sphère S.

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10 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS ( Académie Universitaire Wallonie- Bruxelles ) SERIE B 13 Question 1 : GEOMETRIE PLANE Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons une ellipse e de foyers F (0, f) et demi-grand axe a. Considérons c une circonférence de centre O et de rayon f. 0, -f) et de a) Etablir pour quelles valeurs du rapport a/f une intersection entre le cercle c b) Dans le cas où cette intersection existe, établir et montrer que cette tangente passe par le point P,,. c) Sachant que la bissectrice d angle formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point, démontrer par les méthodes de la Question 2 : GEOMETRIE SPATIALE Sachant que le centre de cette sphère se situe sur la droite d définie par les équations cartésiennes 2X + 3Y 5Z + 2 = 0 7X 4Y 2Z +3 = 0 et que S est tangente au plan X= Y= Z= la sphère ( S ). 4.

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12 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS ( Académie Universitaire Wallonie-Bruxelles ) EPREUVES D ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE PLANE SERIE E Question 1 Soit un système d axes orthonormés OXY. Dans ce système, considérons le point A(9;8). Par les méthodes de la Géométrie Synthétique : a) Déterminer la circonférence c1 de centre C et de rayon 4 tangente à OY et à la droite OA (N.B. cette circonférence est telle que les coordonnées de son centre C sont toutes deux positives) ; le point de contact entre OA et cette circonférence sera appelé T ; b) Déterminer le point P équidistant de O, A et C ; c) Montrer que l angle COT vaut la moitié de l angle CPA. Question 2 Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons une circonférence c1 de centre O et de rayon R 1. Considérons une seconde circonférence c2 de centre O et de rayon R 2 inférieur à R 1. Cette circonférence c2 coupe le diamètre de c1 aligné sur l axe OY en deux points F 1 et F 2. Soit une ellipse e de demi-grand axe R 1 et de foyers F 1 et F 2. Par un point quelconque P du diamètre de c1 aligné sur OY, on mène une droite d perpendiculaire à cet axe. La droite d coupe l ellipse e et le cercle c1 en deux points (du côté des X>0), notés respectivement Q, R. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, établir la valeur du rapport X Q/X R.

13 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS ( Académie Universitaire Wallonie-Bruxelles ) EPREUVES D ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE SPATIALE SERIE E Question 1 Soit un récipient ayant la forme d un cylindre droit à base circulaire. Ce récipient doit être inséré dans une enceinte sphérique dont on souhaite minimiser la surface. Sachant que le volume du cylindre doit valoir 100 dm³, déterminer le rayon minimal, exprimé en centimètres, de l enceinte sphérique. Question 2 Soit une sphère de centre A(10,20,30) et de rayon 7 et un point B(-10,-10,-30) On demande: 1) de déterminer l'équation cartésienne de la sphère et les équations paramétriques de la droite AB; 2) de rechercher les coordonnées du point C d'intersection entre la droite et la sphère (C est situé entre A et B); 3) de déterminer l'équation cartésienne du plan qui est le plan médiateur du segment AC (le plan médiateur d'un segment est un plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu);

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20 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS (Académie Universitaire Wallonie- Bruxelles) EPREUVES D ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE PLANE SERIE A Question 1 Dans le système de référence orthonormé OXY, considérons le triangle ABC. Traçons-y les hauteurs AE, BF et CD (D, E, F sont les pieds de ces hauteurs). Démontrer que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle DEF. Vous développerez cette démonstration uniquement pour la hauteur CD et l angle FDE, étant bien entendu qu une démonstration analogue pourrait aussi être faite pour les 2 autres hauteurs. Question 2 Dans le système de référence orthonormé OXY, on considère un cercle γ dont les coordonnées du centre O sont (5, 4) et dont le rayon R = 10. Par le point B (21, 6), on fait passer une droite tangente à γ en A, d ordonnée positive. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, calculer les coordonnées du point A.

21 FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS ( Académie Universitaire Wallonie- Bruxelles ) EPREUVES D ADMISSION DE JUILLET 2012 GEOMETRIE SPATIALE SERIE A Question 1 Dans un récipient de forme cylindrique à section horizontale circulaire de 7854 mm 2 et de hauteur 140 mm, on introduit d abord une sphère d acier de 80 mm de diamètre et ensuite, une autre sphère d acier de 60 mm de diamètre. a. Ces 2 sphères touchent la paroi intérieure du récipient, la première par 2 points de contact (l un sur la base du récipient, l autre A sur la paroi latérale de ce récipient), la seconde par un seul point B de contact sur la paroi latérale du récipient (son autre point d appui C étant sur la première sphère) et ces points de contact A et B sur la paroi latérale du récipient appartiennent à un plan vertical passant par l axe du cylindre et ne sont pas l un audessus de l autre. Si, une fois les 2 sphères introduites dans le récipient, celui-ci est rempli jusqu au ras de la sphère supérieure, déterminer quel niveau est atteint par l eau par rapport au fond horizontal du récipient. b. Quelle est la hauteur du point de contact C entre les sphères par rapport au fond du récipient? Question 2 Dans le système de référence orthonormé OXYZ, on considère : - une droite a passant par le point P de coordonnées (X, Y, Z) = (1, 4, 5) et de paramètres directeurs (0, 2, 3), - une droite b passant par les 2 points Q (2, 0, 5) et R (4, 4, 1). On appelle A et B les points d appui sur a et b d une 3 ème droite mobile c. On demande : - a. de déterminer des équations paramétriques des droites a et b, - b. de déterminer des équations paramétriques du lieu du milieu M du segment variable AB et de dire alors à quel type de figure géométrique correspond ce lieu.