THEOREME DE PYTHAGORE PROBLEMES. M.Agoche, agriculteur, donne un champ. 1 C

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1 1 M.Agoche, agriculteur, donne un champ. rectangulaire VHE de 64 m de longueur sur 25 m de largeur en partage à ses deux enfants, Yvon et Elvire, qui veulent s'essayer à l'élevage. Yvon et Elvire tiennent à se partager le champ de manière égale, à l'aide d'une clôture rectiligne. 1) Quelle est la plus petite longueur de clôture qu'ils peuvent utiliser? 2) Quelle est la plus grande longueur de clôture qu'ils peuvent utiliser? 3) Le champ n'a qu'un accès à un chemin et chacun des deux enfants veut pouvoir sortir de son champ par ce chemin. Le chemin part du point A, situé à 19 mètres du point, sur le segment [V]. Dessiner précisément la clôture (en construisant les points nécessaires avec les instruments de géométrie) et expliquer pourquoi elle partage bien le champ en deux parties égales. 2 Un passionné par l'élevage des poissons tropicaux se rend dans un magasin pour acheter un aquarium "PANORAMI 80". et aquarium est un prisme droit dont la base est représentée ci-dessous : (cotes en mm) 1) Mesurer les longueurs des segments [EF] et [AF] 2) En déduire l'échelle à laquelle est représenté l'aquarium 3) Le polygone ABDEF admet un axe de symétrie. Tracer, sur la figure, cet axe de symétrie. 4) alculer la longueur réelle du segment [BH] 5) alculer la longueur réelle du segment [AB] arrondie au mm en utilisant la propriété de Pythagore 6) On donne AB = 30,2 cm. alculer le périmètre de la base ABDEF de l'aquarium. 7) alculer l'aire A de la base de l'aquarium. 8) Pour la suite de l exercice, prendre : A = 28 dm². En déduire le volume d'eau, arrondi au litre, contenu dans l'aquarium si la hauteur d'eau est de 30 cm. 3 Alain souhaite acheter un téléviseur, il circule donc dans les rayons d un magasin d électroménager. Il observe les indications relatives aux téléviseurs en sachant qu on considère qu un téléviseur est de forme rectangulaire. (Longueur : L ; largeur : l ; Diagonale : D) 1) Pour le premier écran, il est indiqué que la diagonale mesure 72 cm. Sachant que la largeur de l écran mesure 40 cm et que la longueur de l écran mesure 60 cm, calculer la mesure de la diagonale (arrondir au cm près). L indication du magasin est-elle correcte? 2) La diagonale d un autre écran mesure 50 cm et la largeur 30 cm. alculer la longueur de l écran. 3) Alain se trouve maintenant devant un écran 16/9 ème (ce qui signifie que L l = 16 9 ) a) alculer la mesure de la largeur de l écran si la longueur mesure 40 cm. b) alculer la mesure de la diagonale de l écran (arrondir au cm près) 4 Le triangle isocèle OAB représente un escabeau de 5 marches. H est le pied de la hauteur issue de O. On donne les longueurs : HB = 0,51m et OB = 1,5m. 1) On précise qu'il n'y a pas de marches au sommet O de l'escabeau.quelle est la hauteur entre deux marches (le long du segment [OB])? 2) alculer la hauteur OH entre le sol et le sommet de l'escabeau, arrondie au centimètre près. 3) Expliquer pourquoi le point H est le milieu du segment [AB]. 4) alculer la largeur AB entre les jambes de l'escabeau. 5) Afin que l'escabeau ne s'écarte pas trop, une ficelle est attachée entre deux points M et N des segments [OB] et [OA], de manière que BM = 50 cm et (MN)//(AB).alculer la longueur MN de la ficelle. FRLT Page 1 20/03/2015

2 5 Un particulier veut faire construire un escalier d accès à son jardin depuis sa terrasse selon le schéma ci contre : Il souhaite que cet escalier possède 7 marches : - 6 marches identiques de hauteur h et de profondeur l ; - la dernière marche de hauteur h se terminant par la terrasse. 1) alculer en cm, la hauteur h de chacune des marches. Arrondir à l unité. 2) alculer la côte AD. Arrondir au cm. 3) En déduire la profondeur l. 4) On estime qu un escalier est «confortable» si le nombre 2h + l est compris entre 62 et 64. Montrer que cet escalier n est pas confortable. 5) Pour rendre l escalier confortable, on se propose de modifier la profondeur l des marches sans modifier leur hauteur. Quelles sont les valeurs possibles de l? 6 Un fabricant de voiles veut diminuer ses pertes lors de la découpe des différentes parties d une voile. Pour cela, il s efforce d avoir un maximum de coupes à angle droit. Sur le modèle ci contre, voici les côtes dont il dispose : WI = 4,20 m ; ID = 1,90 m ; IN = 2,20 m ; SU = 1,20 m ; NW = 4,80 m ; UR = 1,00 m. 1) Le triangle WIN est-il rectangle? 2) alculer l aire A 1 de ce triangle ; Arrondir au centième. 3) Pour des raisons de rentabilité, la fenêtre transparente SUR doit être un triangle rectangle. Déterminer la longueur RS. Arrondir au centimètre. 4) alculer l aire A 2 de ce triangle. 5) Quel pourcentage représente l aire de la fenêtre par rapport à l aire totale de la voile? Donner le résultat à un pour cent près. 7 Le schéma ci-dessous représente une charpente de soutien du toit d'un abri. Elle est constituée de quatre poutrelles dont trois de longueurs inconnues (p1 = AE ; p2 = D ; p3 = AD). On demande de calculer la longueur de chacune d'elles (à 0,01 m). EDA est un triangle isocèle et AD = 1,63 m Un rectangle a une aire de 29,52 cm² et un côté de 8cm de long. alculer la longueur de ses diagonales. ZER est un triangle rectangle en Z dont l aire est 2520 mm² et tel que ZE= 90mm. alculer le périmètre de ce triangle. Une boîte à la forme d un parallélépipède rectangle. Le fond de la boîte est un carré de côté a. La hauteur de la boite est égale à 0,8m. Trouver la valeur minimale de a pour laquelle une baguette de 1 peut être mise dans la boîte. A 1 MN est un triangle rectangle isocèle en A 1 tel que A 1 M=8cm. On construit les points A 2, A 3 et A 4 tels que les triangles A 1 A 2 M, A 2 A 3 M, et A 3 A 4 M soient rectangles et isocèles respectivement en A 2, A 3 et A 4. alculer le périmètre du polygone NA 1 A 2 A 3 A 4 M. FRLT Page 2 20/03/2015

3 12 Tracer un segment AB de 61mm. De part et d autre de (AB), construire deux triangles AB et ABD tels que A = AD = 77 mm et B = BD = 47 mm. Les points, B, D sont-ils alignés? 13 La figure suivante a été réalisée à main levée. On a AE=BE=8 cm ; ED= 6 cm ; BE rectangle en E ; BAE = 70 et ED est un triangle équilatéral. A B E 1) Réaliser la figure en vraie grandeur. 2) alculer la valeur de l angle AEB 3) alculer E 4) alculer la valeur de l angle ED 5) Les points A, E et D sont-ils alignés? D AB est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [B]. AB = 7,2 cm ; A = 9,6 cm 1) Tracer la hauteur AH 2) alculer le rayon du cercle circonscrit au triangle AHI et préciser la position du centre de ce cercle. alculer le périmètre et l aire du quadrilatère ABD. AB = A = 10 cm ; B = 7,2 cm ; D = 9,6 ; BD rectangle A D B ABD est un rectangle avec AB = 9,6 cm et B = 8 cm. E est le milieu de AD et F le point de [D] tel que EF = 5 cm. 1) Le triangle EBF est-il isocèle? 2) alculer l aire du triangle EBF 3) onstruire la hauteur [BO] du triangle EBF. alculer BO puis EO On donne AD = 25, D = 20, AB = 12 et B = 9. On sait que AD est rectangle en D A B 1) alculer la longueur A 2) Le triangle AB est-il rectangle en B? 18 Soit AB un triangle rectangle en A tel que A = 156 mm et AB = 65 mm. Soit H le pied de la hauteur issue de A. 1) Réaliser la figure en vraie grandeur. 2) alculer B. 3) Exprimer l aire du triangle AB en fonction de A et AB. La calculer. 4) Exprimer son aire en fonction de B et AH. En déduire que AH = 60 mm. 5) alculer alors H puis HB. FRLT Page 3 20/03/2015

4 19 ABD est un rectangle de longueur 8 cm et largeur 4 cm. alculer le périmètre du triangle EAF. Arrondir au dixième. 20 Dessiner avec une règle graduée un segment de droite de longueur 1 cm. onstruire avec une règle non graduée et un compas des segments de droites mesurant respectivement : 2 cm ; 5 cm ; 10 cm ; 15 cm et 6 cm. 21 Le triangle AB est rectangle en A. A = 6 cm et D = 4.9 cm. D est le pied de la hauteur issue de A et E est le pied de la hauteur issue de D. 1) alculer AD. 2) alculer l aire du triangle AD. 3) alculer ED. 22 Dans la figure ci-dessous on donne AH = 120 cm. alculer les longueurs AB, BH, H, B et A. 23 Dans la figure ci-dessous, on donne AB = 12 cm. AED est un carré. alculer le périmètre de la figure. 24 AM est un triangle rectangle en A. B un point du segment [AM]. On donne A = 6 ; AB = 5 et BM = y. Pour quelles valeurs de y l'aire du triangle AM est-elle supérieure à 40 cm². 25 Soit AB un triangle tel que AB = 15 et A = 41. H est le pied de la hauteur issue de A. On donne BH = 12. alculer l aire du triangle AB. FRLT Page 4 20/03/2015

5 26 Soit EFG un triangle rectangle en E tel que EF = 9 et FG = 15 1) onstruire le triangle EFG. 2) Tracer la hauteur issue de E. On note H le point d intersection de la hauteur avec (FG). 3) alculer EG 4) alculer l aire du triangle EFG 5) En déduire EH. 27 Soit AB un triangle rectangle en A tel que AB = 9 et A = 6 1) onstruire le triangle AB. 2) Tracer la hauteur issue de A. On note H le point d intersection de la hauteur avec (B). 3) alculer B 4) alculer l aire du triangle AB 5) En déduire AH. 28 Tracer un cercle de centre O de rayon 5cm et une corde [AB] de longueur 7cm. On appelle I le milieu du segment [AB]. 1) Démontrer que la droite (OI) est perpendiculaire à (AB). 2) alculer la distance OI (donner la valeur exacte puis l arrondi à 0,1 cm). 29 Sur un cercle de centre O de rayon 5 cm, placer trois points A, B et tels que A=B=7cm. 1) Les points A, O et B sont-ils alignés? 2) Placer sur l arc de cercle A le point D tel que D = 4cm. Les segments [OD] et [A] se coupent en M. La droite (OD) est-elle la médiatrice du segment [A]? 30 Les deux cercles de centre O sont concentriques. [MN] est une corde tangente au plus petit des deux. alculer l aire de la couronne circulaire sachant que MN = 8 cm 31 La figure ci contre a la forme d un œuf. alculer la hauteur EF si la B = 10 cm. 32 Tracer un cercle de diamètre [AB] tel que AB = 4,8 cm. tracer la tangente d au cercle en A. M est un point de d tel que AM = 3,6 cm. La droite (BM) coupe le cercle en E 1) alculer BM 2) Que représente la droite (EA) pour le triangle ABM? 3) alculer l aire du triangle ABM. En déduire AE FRLT Page 5 20/03/2015

6 33 AB est un triangle rectangle en A, I est le milieu de [B]. AB = 7,2 cm ; A = 9,6 cm. 1) Tracer la hauteur AH 2) alculer le rayon du cercle circonscrit au triangle AHI et préciser la position du centre de ce cercle. Problèmes théoriques : 1 AB est un triangle rectangle en A. La hauteur issue de A coupe [B] en H. Démontrer les relations suivantes : AH²=B² A² BH² et AH²=B² AB² H². 2 Démontrer les propriétés suivantes : 1) Si AB est un triangle rectangle en A, et si H est le point de [B] tel que les droites (AH) et (B) soient perpendiculaires, alors AB² A²=HB² H². 2) Si ABD est un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires alors AB²+D²=B²+AD². 3 LES LUNULES D HYPPORATE. Etant donné un triangle AB rectangle en A, on construit les demi-cercles de diamètres [AB], [A] et [B] ; On donne A=7cm ; AB=2,4 cm. 1) omparer l aire du triangle AB et la somme des aires des deux lunules. 2) e résultat est-il toujours vrai? (on posera A=2b et AB=2c) 4 Si on double les dimensions des côtés de l angle droit d un triangle rectangle, double-t-on son hypoténuse? Son périmètre? Son aire? 5 O et O sont deux points distants de 3,5 cm. Le cercle de centre O et de rayon 2,5 cm et le cercle de centre O et de rayon 2,5 cm se coupent en A et B. 1) Prouver que OAO B est un losange 2) OAO B est-il un carré? 3) alculer l aire de OAO B à 1 mm² près. 6 O et O sont deux points distants de 3 cm. Le cercle de centre O et de rayon 2,5 cm et le cercle de centre O et de rayon 1,5 cm se coupent en A et B. La droite (OA) est-elle tangente au cercle? REPONSES : 1 1) 25 m 2) 68.7 m 2 1) EF = 2 cm et AF = 2.3 cm 2) 1/10 3). 4) 170 mm 5) AB = 302 mm 6) P = mm 7) A = mm² 8) 84 dm 3 = 84 L 3 1) d = 72 cm 2) L = 40 cm 3) a) l = 22.5 cm b) d = cm cm = 252 cm m = cm FRLT Page 6 20/03/2015

7 ). 2) 40 3) 10 4) 60 5) non ; l angle AED mesure ) 2) 2.88 cm 15 Périmètre : cm. Aire : cm². 16 1) EF = 5 cm ; BF = cm ; EB = 10.4 cm 2) 25.2 cm² 3) BO = : EO = 2.56 cm 17 a) A = 15 b) oui 18 1) Réaliser la figure en vraie grandeur. 2) B = 169 mm 3) 5070 mm² 4) AH = 60 mm. 5) H = 144 mm ; HB = 25 mm 19 AE = 5 ; EF = 5.4 ; AF = 8.3. Périmètre : 18.7 cm ) AD = 3.46 cm. 2) Aire = 8.48 cm² 3) ED = BH = 120 ; AB = 170 ; A = 240 ; H = 208 ; B = Périmètre : 63.9 cm FRLT Page 7 20/03/2015