Cours de Terminale S /Fonction exponentielle. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S /Fonction exponentielle E. Dostal aout 2013

2 Table des matières 4 Fonction exponentielle fonction exponentielle introduction Fonction dérivable sur R telle que : f = f avec f(0) = Problème différentiel : f = k f avec k R fonctions exponentielles et relation fondamentale f(x+y) = f(x)f(y) Une nouvelle notation e x Etude de la fonction exponentielle variations ites aux bornes représentation graphique Croissances comparées Fonctions e u

3 Chapitre 4 Fonction exponentielle 4.1 fonction exponentielle introduction De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés par une fonction qui est proportionnelle à sa dérivée. (Par exemple, le phénomène de désintégration de noyaux radioactifs) Nous allons ici nous intéresser à l une des fonctions de ce type. Plus particulièrement, que peut-on dire d une fonction qui serait égale à sa dérivée? Histoire : Au cours du XVIIe siècle les mathématiciens s intéressent au problème des tangentes (comment tracer les tangentes à une courbe) et le problème inverse des tangentes (comment, connaissant une propriété sur les tangentes, reconstituer la courbe correspondante). La résolution de ces deux problèmes va être grandement facilitée par la mise en place du calcul différentiel chez Isaac Newton et Gottfried Leibniz principalement dans la seconde moitié du siècle. En 1638, Florimond de Beaune, qui travaille sur un problème de corde vibrante, demande à René Descartes de déterminer la courbe dont la tangente vérifie une certaine propriété. En 1639, Descartes ramène le problème à la recherche d une courbe dont la sous-tangente serait constante. La sous-tangente est la distance qui sépare le projeté du point M sur l axe des abscisses et l intersection de la tangente en M avec ce même axe des abscisses. Traduit en langage actuel, cela consiste à chercher la courbe d équation y= f(x) sachant que f = k f Fonction dérivable sur R telle que : f = f avec f(0) = 1 On cherche, si il en existe, les fonctions dérivables sur R telles que : { x R,f (x) = f(x) f(0) = 1 Lemme 1 Si f est une fonction dérivable sur R telle que : f = f avec f(0) = 1 alors pour tout réel x : f( x)f(x) = 1 et f(x) 0 démonstration : 2

4 On pose pour tout réel x, ϕ(x) = f(x)f( x) f étant dérivable sur R, ϕ l est aussi et pour tout réel x : ϕ (x) = f (x)f( x) + f(x)( f ( x)) = f(x)f( x) f(x)f( x) = 0 donc ϕ est constante sur R et ϕ(0) = 1 donc x R,ϕ(x) = 1 soit f(x)f( x) = 1 La propriété est établie d où pour tout réel x, f(x) 0 Théorème 2 Le problème différentiel : { x R,f (x) = f(x) f(0) = 1 admet une unique solution sur R démonstration : On admettra l existence (peut se prouver avec les suites mais c est assez technique et nécessite le théorème des suites adjacentes (hors programme)) Montrons l unicité : Supposons f et g solutions de ce problème différentiel. Soit h la fonction définie par : pour tout réel x, h(x) = f( x)g(x) h est dérivable sur R et pour tout réel x h (x) = f ( x)g(x)+f( x)g (x) = f( x)g(x)+f( x)g(x) = 0 donc h est constante sur R et h(0) = 1 donc pour tout x réel, f( x)g(x) = 1 g(x) = f(x) Définition 1 On appelle exponentielle l unique fonction solution du problème différentiel : { x R,f (x) = f(x) f(0) = 1 on la note exp Ainsi pour tout réel x exp (x) = exp(x) et exp(0) = 1 Proposition 3 Pour tout réel x : exp(x)exp( x) = 1 exp(x) 0 exp(x) > 0 exp est strictement croissante sur R démonstration : Les deux premiers points découlent directement du lemme 1. La fonction exp est dérivable donc continue sur R. exp(0) = 1 0, supposons un x 0 réel tel que exp(x 0 ) 0, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c compris entre x 0 et 0 tel que exp(c) = 0, ce qui contredit les hypothèses. donc pour tout réel x, exp(x) > 0 On a pour tout réel x, exp (x) = exp(x) et exp(x) 0 donc exp est strictement croissante sur R. 3

5 4.2 Problème différentiel : f = k f avec k R Théorème 4 Le problème différentiel : { x R,f (x) = k f(x) (avec k R) f(0) = y 0 (avec y 0 R) admet une unique solution f sur R qui est définie par : f(x) = y 0 exp(kx) démonstration de l existence(vérifier que la fonction f proposée vérifie les conditions) et de l unicité (même méthode que dans la démonstration du théorème 2). 4.3 fonctions exponentielles et relation fondamentale f(x+y) = f(x)f(y) Théorème 5 Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. il existe un réel a, tel que pour tout x, f(x) = exp(ax) 2. il existe un réel a tel que f = af 3. Pour tous réel u et v : f(u+v) = f(u)f(v) L équivalence (1) (2) découle du théorème précédent en prenant y 0 = 1 Montrons que (2) (3), pour cela considérons pour u un réel quelconque, la fonction g u définie sur R par g u (x) = f(u+x) f(u)f(x) 1. Montrer alors que g u = a g u 2. Montrer que g u (0) = 0 3. En déduire que g = 0 sur R 4. Conclure Montrer que (3) (2), pour cela, utiliser la définition du nombre dérivé Résumons l importance de ce théorème : Si f est une fonction exponentielle (de la forme f(x) = exp(ax)) alors f transforme les sommes en produits. Réciproquement toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction exponentielle du type f(x) = exp(ax) avec a R Conséquence : Proposition 6 La fonction exponentielle transforme les sommes en produits : Pour tous réels u et v, exp(u+v) = exp(u)exp(v) 4.4 Une nouvelle notation e x Théorème 7 Pour tout réel x et tout entier naturel n, on a : exp(nx) = (exp(x)) n 4

6 (démonstration par récurrence) Définition 2 Notation On note e le nombre exp(1) On a alors pour tout entier n : e n = (exp(1)) n = exp(n) Comme l exponentielle transforme les sommes en produits. On aura pour tous entiers relatifs m et n : e (m+n) = e m e n Définition 3 Notation Par extension, on note pour tout x réel, e x = exp(x) Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les entiers relatifs. Avec cette nouvelle notation, nous pouvons résumer les propriétés de l exponentielle que nous connaissons : Proposition 8 Pour tous x et y dans R et tout n dans Z (e x ) = e x e 0 = 1 e 1 = e e x e x = 1 e x > 0 e x e y = e x+y e x y = e x e y = ex e y e nx = (e x ) n 4.5 Etude de la fonction exponentielle variations Nous avons déja montré que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R ites aux bornes Proposition 9 x ex = 0 x + ex = + démonstration de la ite en + : Soit la fonction g définie sur [0;+ [ par g(x) = e x x 1. Montrer que g est croissante sur [0; + [. 2. En déduire que pour x [0;+ [, e x x. 3. Conclure 5

7 4.5.3 représentation graphique Pour tracer, la représentation graphique de la fonction exponentielle, il est interessant de tracer les tangentes aux points d abscisses 0 et T : y = 2.72x T : y = x+1 1 6

8 4.6 Croissances comparées Les ites en + des fonctions x x et x e x sont toutes les deux égales à +. Donc lorsque x tends vers +, la ite du rapport ex x est une forme indéterminé. La proposition suivante permet de lever cette indétermination. Proposition 10 pour tout entier naturel n e x x + x = + e x x + x n = + démonstration de la première ite : 1. Soit la fonction g définie sur [0;+ [ par g(x) = e x 1 2 x2. Etudier les variations de g. (Pour cela étudier d abord les variations de g ). 2. En déduire que g est positive sur [0;+ [. 3. Conclure démonstration de la deuxième ite : Etablir que pour tout réel x et tout entier n naturel non nul e x x n = (1 n e x n x ) n n Proposition 11 pour tout entier naturel n x xex = 0 x xn e x = 0 7