Chapitre 9 - Isométries d'un espace euclidien - Cours. 1. Isométries vectorielles Les symétries orthogonales Les isométries vectorielles

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1 Chapitre 9 Isométries d'un espace euclidien Dans tout le chapitre on xe un espace vectoriel euclidien E de dimension n 12 Les symétries orthogonales Dénition 2 (Symétrie orthogonale Soit F un sous-espace vectoriel de E La symétrie orthogonale par rapport à F est la symétrie s F : E E par rapport à F et parallèlement à F 1 Isométries vectorielles Illustration 1 x 11 Les isométries vectorielles Dénition 1 (Isométrie vectorielle Un endomorphisme ϕ L (E est une isométrie vectorielle si ϕ conserve la norme ie x E ϕ(x = x Exempl Les applications ±Id E L (E sont des isométries vectorielles Théorèm (Caractérisation des isométries vectorielles Soit ϕ L (E Les conditions suivantes sont équivalentes (i L'application ϕ est une isométrie vectorielle (ii L'application ϕ conserve le produit scalaire ie (x y E 2 (ϕ(x ϕ(y = (x y (iii L'image d'une base orthonormée de E par ϕ est une base orthonormée (iv L'image de toute base orthonormée de E par ϕ est une base orthonormée Proposition 1 Si un sous-espace vectoriel F de E est stable par une isométrie vectorielle u L (E alors F est stable par u F Remarqu On a s F = p F p F = 2p F Id E s F (x Symétrie orthogonale par rapport à F Exempl Dans le chapitre précédent on a vu que la projection orthogonale sur dans est donnée par ( 2x y z p H (x y z = On en déduit que ( x 2y 2z s H (x y z = H = {(x y z R x + y + z = 0} x + 2y z 2x + y 2z F x y + 2z 2x 2y + z 1/6

2 Proposition 2 Les symétries orthogonales sont des isométries vectorielles Dénition (Réexion Une réexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan 1 Le groupe orthogonal Dénition 4 (Groupe orthogonal d'un espace euclidien Le groupe orthogonal de l'espace euclidien E est l'ensemble des isométries vectorielles de E On le note O(E Dénition 6 (Groupe orthogonal d'ordre n Le groupe orthogonal d'ordre n est l'ensemble des matrices orthogonales de M n (R On le note O n (R ou O(n Exemple Voici quelques exemples de matrices orthogonales ( O 2 (R O (R Remarqu Une isométrie vectorielle est un automorphisme donc O(E GL(E Théorèm (Structure de groupe de O(E On a les propriétés suivantes (i Id E O(E (ii u O(E (iii (u v O(E 2 u 1 O(E u v O(E 2 Matrices orthogonales 21 Généralités Dénition 5 (Matrice orthogonale Une matrice A M n (R est orthogonale si A T A = I n Remarque a La dénition revient à dire que les colonnes (ou les lignes de A forment une base orthonormée de R n b Une matrice orthogonale A est inversible et A 1 = A T Théorème (Structure de groupe de O n (R On a les propriétés suivantes (i I n O n (R (ii A O n (R (iii (A B O n (R 2 A 1 O n (R AB O n (R 22 Liens avec les espaces euclidiens Proposition Soit B une base orthonormée de E Une base C de E est orthonormée si et seulement si la matrice de passage P B C est orthogonale Proposition 4 Soient B une base orthonormée de E et u L (E L'endomorphisme u est une isométrie vectorielle si et seulement si la matrice Mat B (u est orthogonale Remarque 4 Ainsi une fois que l'on a xé une base orthonormée de E les éléments de O(E correspondent bijectivement avec les éléments de O n (R 2/6

3 2 Isométries vectorielles directes et indirectes Proposition 5 (Déterminant d'une matrice orthogonale et d'une isométrie (i Si A O n (R alors det(a = ±1 (ii Si u O(E alors det(u = ±1 Dénition 7 (Isométrie vectorielle positive ou négative Une isométrie vectorielle u O(E est dite positive (ou directe si det(u = 1 Dans le cas contraire on dit qu'elle est négative (ou indirecte Dénition 8 (Groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien Le groupe spécial orthogonal de l'espace euclidien E est l'ensemble des isométries vectorielles positives de E On le note SO(E Remarque 7 Autrement dit pour orienter un espace euclidien on choisit une base orthonormée de celui-ci Dans le plan choisir une orientation revient à choisir un sens de rotation du plan 0 0 Dans l'espace choisir une orientation revient à choisir un sens de rotation autour de la demi-droite engendré par le premier vecteur d'une base orthonormée Remarque 5 Le théorèm reste valable si on remplace O(E par SO(E Dénition 9 (Matrice orthogonale positive ou négative Une matrice orthogonale A O n (R est dite positive (ou directe si det(a = 1 Dans le cas contraire on dit qu'elle est négative (ou indirecte e e e2 Dénition 10 (Groupe spécial orthogonal d'ordre n Le groupe spécial orthogonal d'ordre n est l'ensemble des matrices orthogonales positives de M n (R On le note SO n (R ou SO(n Remarque 6 Le théorème reste valable si on remplace O n (R par SO n (R 24 Orientation de l'espace euclidien Dénition 11 (Espace euclidien orienté Un espace euclidien orienté est un espace euclidien dans lequel on a choisi une base orthonormée C de E Plus généralement on voit qu'il n'y a que deux orientations possibles pour un espace euclidien Dénition 12 (Base directe et indirecte Soit E un espace euclidien orienté par une base orthonormée C Une base orthonormée B de E est dite (i directe si la matrice de passage de C à B est de déterminant 1 (ii indirecte si la matrice de passage de C à B est de déterminant 1 Exemple 4 Si l'espace R est orienté par la base canonique (i j k alors les bases (i j k (j k i et (k i j sont directes tandis que les bases (i k j (k j i et (j i k sont indirectes /6

4 Classication des isométries vectorielles 1 Isométries vectorielles d'un plan euclidien Dans cette partie on suppose que E est un plan euclidien orienté par une base orthonormée C = (i j Proposition 6 Soit u SO(E une isométrie directe Il existe un réel R tel que pour toute base orthonormée directe B de E on a ( cos( sin( Mat B (u = sin( cos( Remarque 8 En particulier on montre que {( cos( sin( SO 2 (R = sin( cos( M 2 (R } R Proposition 7 Soit u O(E \ SO(E une isométrie indirecte Pour toute base orthonormée directe B de E il existe un réel R tel que ( cos( sin( Mat B (u = sin( cos( Illustration 2 Si B = ( on a par dénitions les relations { u(e1 = cos( + sin( u( = sin( + cos( Illustration Comme dans le cas précédent en notant B = ( on peut représenter la situation sur le graphique ci-dessous On en en déduit que u est une réexion dont l'axe D est tournée de 2 par rapport à la droite Vect( On en en déduit que u est une rotation d'angle u( u( D u( u( Réexion d'axe D Rotation d'angle dans un plan euclidien 4/6

5 Remarque 9 En particulier on montre que {( cos( sin( O 2 (R \ SO 2 (R = sin( cos( M 2 (R } R Remarqu0 Si on change l'orientation du plan choisi au début les réels sont remplacés par leur opposé dans les deux propositions précédentes (Changer l'orientation revient à changer le sens de rotation choisi Conclusion Lorsque E est un plan euclidien alors a Les éléments de SO(E sont les rotations b Les éléments de O(E \ SO(E sont les réexions 2 Isométries vectorielles en dimension Dans cette partie on suppose que E est un espace euclidien de dimension orienté par une base orthonormée C = (i j k Proposition 8 Soit u SO(E une isométrie directe Il existe un réel R et une base orthonormée directe B de E tels que Mat B (u = 0 cos( sin( 0 sin( cos( Illustration 4 En notant B = ( e on en déduit que u est la rotation d'axe D dirigé par le vecteur et d'angle D u( = u( u(e e Rotation d'axe dirigé par et d'angle dans un espace euclidien 5/6

6 Proposition 9 Soit u O(E \ SO(E une isométrie indirecte Il existe un réel R et une base orthonormée directe B de E tels que Mat B (u = 0 cos( sin( 0 sin( cos( Illustration 5 En notant B = ( e l'isométrie u est la composée commutative entre la rotation d'axe D dirigé par et d'angle et la réexion par rapport au plan D = Vect( e u( D u( u(e Isométrie indirecte d'axe dirigé par et d'angle dans un espace euclidien Remarqu1 Dans le cas où l'angle de la rotation est nulle l'isométrie indirecte u est simplement la réexion par rapport au plan D = Vect( e e 4 Matrices symétriques réelles 41 Réduction des matrices symétriques réelles Proposition 10 Les sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle sont deux à deux orthogonaux pour le produit scalaire canonique de R n Exemple 5 Les sous-espaces propres de la matrice symétrique réelle A = ( sont qui sont bien orthogonaux E 0 = Vect ( 1 1 et E 2 = Vect ( 1 1 Théorème 4 (Théorème spectral Soit A M n (R une matrice symétrique réelle Il existe une matrice diagonale D M n (R et une matrice orthogonale P O n (R telles que A = P DP 1 = P DP T Remarqu2 Autrement dit une matrice symétrique réelle est diagonalisable a des valeurs propres réelles et on peut choisir la matrice de passage dans O n (R Attention : En général si la matrice A est symétrique mais non réelle elle n'est pas diagonalisable (voir l'exemple ci-dessous Exemple 6 La matrice A M 2 (C ci-dessous est symétrique mais elle n'est pas diagonalisable ( 1 i A = i 1 6/6