Méthodes sur le produit scalaire

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1 Méthodes sur le produit scalaire G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

2 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

3 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

4 énoncé 1 Calculer le produit scalaire #» u. #» v #» u = 2, #» v = 3 2, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 4 #» u = 7, #» v = 3, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 2 #» u = 5, #» v = 3, et ( #» u, #» v ) = π (2π) 2 Calculer le produit scalaire AB. AC AB = 1, AC = 2, et BAC = π 3 AB = 5, AC = 3, et BAC = 3π 4 3 ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Calculer BC. CA G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

5 BC. CA = BC CA cos( BC, CA) = CA CB cos Ĉ = 9 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

6 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

7 énoncé 1 Calculer l angle BAC sachant que AB = 2, AC = 6 et AB. AC = 6 2 Soit A( 2; 3), B(1; 1), C( 3; 1), D( 4; 2), E( 1; 3) et F (2; 1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et FDE sont-ils rectangles en C et en E? 3 Soit A( 1; 2), B( 3; 1) et C(1; 3). Calculer AB. AC et en déduire une valeur approchée en radians et en degrés de BAC G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

8 1 2 3 AB. AC = AB AC cos BAC donc 6 = 12 cos BAC, donc cos BAC = 1 2 et BAC = 120 CA(1; 2) et CB(4; 2) donc CA. CB = ( 2) 2 = 0, donc ABC est rectangle en C Un calcul analogue montre que FDE n est pas rectangle en E. AB( 2, 1), AC(2; 5) AB. AC = ( 1) ( 5) = 1 AB = ( 2) 2 + ( 1) 2 = 5 AC = ( 5) 2 = 29 AB. AC = AB AC cos BAC, d où cos BAC = On en déduit que BAC 85, 24 1, 49rad G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

9 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

10 fig1 énoncé 1 Soit #» u et #» v deux vecteurs qui vérifient #» u 2 = 2, #» v 2 = 3 et #» u #» v = 7. Calculer les réels suivants : (2 #» u + #» v ).(3 #» u + 4 #» v ) (2 #» u #» v ).( #» u 4 #» v ) 2 ABC est un triangle équilatéral de côté a. Les points P,Q et R sont situés sur les côtés [AB], [BC] et [CA] du triangle tels que AP = BQ = CR = a 3.(fig1) Calculer AB.( AR AP), BC.( BP BQ), CA.( CQ CR) En déduire la nature des triangles APR,BQP et CRQ, puis celle du triangle PQR. 3 Soit ABC un triangle tel que AB = 3,BC = 5 et ÂBC = 60 Faire une figure. A-t-on AC = AB + BC? A l aide de la formule AC 2 = AB + BC 2, calculer AC. 4 Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Calculer AB. AC et en déduire une valeur approchée de BAC en degrés. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

11 fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

12 1 2 (2 #» u + #» v ).(3 #» u + 4 #» v ) = 6 #» u #» u. #» v + 4 #» v 2 = = 101 (2 #» u #» v ).( #» u 4 #» v ) = 47 AB.( AR AP) = AB. AR AB. AP = a 2 3 a cos π 3 a a 3 cos 0 = 0 donc AB. PR = 0, donc le triangle APR est rectangle en P. De même pour BQP et CRQ avec les 2 autres produits scalaires. Les 3 triangles rectangles sont isométriques, donc PQR est équilatéral. 3 AC 2 = AB + BC 2 = AB 2 + BC AB. BC = AB 2 + BC 2 2 BA. BC donc AC = 19 = AB 2 + BC 2 2BA.BC. cos ÂBC = cos 60 = 19 4 AB. AC = AB.AC. cos BAC = 1 2 (AB2 + AC 2 BC 2 ) donc 5 3 cos BAC = 1 2 ( ) d où cos BAC = 1 15 et BAC 94 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

13 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

14 énoncé fig1 fig2 fig3 1 ABC est un triangle équilatéral de côté 2 et H est le milieu de [BC].(fig1) En utilisant des projections, calculer BA. BC et AB. AH. 2 Soit ABC un triangle. I est le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A. (fig2) Prouver que AC 2 AB 2 = 2 BC. AI #» = 2 BC. HI #» 3 P et Q sont deux points d un demi-cercle de diamètre [AB]. Les droites (AP) et (BQ) se coupent en M. (fig3) Démontrer que AB 2 = AP. AM + BQ. BM G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

15 fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

16 fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

17 fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

18 1 BA. BC = BH. BC = BH.BC = 2 par projection sur (BC) AB. AH = AH. AH = AH 2 = AB 2 BH 2 = 3 sur (AH) 2 AC 2 AB 2 = ( AC AB).( AC + AB) = BC.2 AI #» = 2 BC. AI #» puis par projection sur (BC) = 2 BC. HI #» 3 AB 2 = AB.( AM + MB) = AB. AM }{{} + AB. MB par projection sur (AM) = AP. AM + BA. BM }{{} par projection sur (BM) = AP. AM + BQ. BM G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

19 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

20 fig1 énoncé ABCD est un carré direct de centre O tel que AB = 2. On note I le milieu de [AB]. (fig1) 1 Déterminer l ensemble (E) des points M du plan tels que AM. AB = 2 2 Déterminer l ensemble (F) des points M du plan tels que MA 2 MB 2 = 4 3 Déterminer l ensemble (G) des points M du plan tels que MA. MB = 4 4 Déterminer l ensemble (H) des points M du plan tels que MA 2 + MB 2 = 4 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

21 fi G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

22 Question 1 Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB) AM. AB = 2 AH. AB = 2 AH AB = 2 et H [AB) AH = 1 et H [AB) H = I donc M (E) son projeté orthogonal sur (AB) est I, donc (E) est la droite (OI). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

23 Question 2 Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB) MA 2 MB 2 = 4 ( MA MB).( MA + MB) = 4 BA.2 MI = 4 BA. HI #» = 2 BA HI = 2 et H [IB) HI = 1 et H [IB) H = B donc M (F ) son projeté orthogonal sur (AB) est B, donc (F) est la droite (BC). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

24 Question 3 On peut remarquer que C et D vérifient CA. CB = DA. DB = 4 MA. MB = 4 ( MI + IA).( #» MI + IB) #» = 4 ( MI + IA).( #» MI IA) #» = 4 MI 2 IA 2 = 4 MI 2 = 5 IM = 5 donc (G) est le cercle de centre I et de rayon 5 et il passe par C et D. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

25 Question 4 On peut remarquer que O,A et B vérifient l équation donc appartiennent à (H). On utilise le théorème de la médiane :MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + AB2 2 MA 2 + MB 2 = 4 2MI 2 + AB2 = 4 2 2MI = 4 IM 2 = 1 IM = 1 donc (H) est le cercle de centre I et de rayon 1, il passe effectivement par O,A et B. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

26 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

27 énoncé 1 Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 7. Déterminer les mesures arrondies au degré le plus proche des angles de ce triangle. 2 Soit ABC un triangle tel que c = 4, b = 7 et  = 35. Déterminer la longueur a et les mesures en degrés des angles B et Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

28 1 De la formule de Al-Kashi, on déduit cos  = b2 + c 2 a 2 = bc cos B = a2 + c 2 b 2 = ac On en déduit C 34 = 1 5 = 5 7 donc A 102. donc B 44 2 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â, d où a 4, 37 cos B = a2 + c 2 b 2 0, 4, ce qui donne 2ac B 113 On en déduit Ĉ 32 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

29 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

30 énoncé 1 Déterminer les longueurs et les angles du triangle ABC lorsque AB = 5, BAC = 26, ÂBC = 59 2 Montrer qu un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si sin 2 Â = sin 2 B + sin 2 Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

31 1 Ĉ = = 95 et de la loi des sinus on déduit a = c sin  5 sin 26 c sin B 5 sin 59 sin Ĉ = 2, 2 ; b = sin 95 sin Ĉ = sin 95 4, 3 2 ABC est un triangle rectangle en A a 2 = b 2 + c ( 2 a 2 a sin = B ) 2 ( ) 2 a sin sin  + Ĉ sin  a 2 = a 2 sin2 B sin 2  + a2 sin2 Ĉ sin 2  sin 2  = sin 2 B + sin 2 Ĉ G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

32 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

33 énoncé On considère le triangle ABC où A(-1 ;2), B(0 ;-3) et C(3 ;1). Déterminer une équation de la hauteur (D) issue de A. G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

34 BC(3; 4) est un vecteur normal de la hauteur (D), donc elle admet une équation de la forme 3x + 4y + c = 0 A (D), donc 3 ( 1) c = 0, donc c = 5. Une autre méthode consiste à dire que M(x, y) (D) AM(x + 1; y 2) BC(3; 4) AM. BC = 0 3(x + 1) + 4(y 2) = 0 3x + 4y 5 = 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

35 1 connaître les différentes façons de calculer un produit scalaire 2 Utiliser le produit scalaire pour calculer des angles 3 Connaître et utiliser les règles de calculs 4 Utiliser la projection orthogonale 5 Connaître et utiliser le théorème de la médiane 6 Connaître et utiliser Al Kashi 7 Connaître et utiliser la loi des sinus 8 Déterminer des équations cartésiennes de droites 9 Déterminer des équations cartésiennes de cercle G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

36 énoncé 1 Déterminer une équation du cercle (C) de centre Ω(3; 2) et de rayon 3 2 L équation x 2 + y 2 4x 2y + 1 = 0 est-elle une équation de cercle? Si oui, donner son centre et son rayon 3 Déterminer l équation du cercle de diamètre [AB] avec A(2 ;1) et B(0 ;-1). G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32

37 1 (x 3) 2 + (y + 2) 2 = 3 2 ou x 2 + y 2 6x + 4y + 4 = 0 2 On a les équivalences suivantes 3 x 2 + y 2 4x 2y + 1 = 0 x 2 4x + y 2 2y + 1 = 0 (x 2) (y 1) 2 = 0 (x 2) 2 + (y 1) 2 = 4 L ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l équation est donc un cercle de centre A(2 ;1) et de rayon 2. M(x; y) (C) MA(2 x; 1 y) MB( x; 1 y) MA. MB = 0 (2 x)( x) + (1 y)( 1 y) = 0 x 2 + y 2 2x 1 = 0 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin / 32