Cahier de texte mathématiques PC

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1 Cahier de texte mathématiques PC Pelletier Sylvain PC, Lycée Descartes Jeudi 1 septembre Prise de contact avec la classe. Présentation de l enseignement des mathématiques et de l informatique en classe de PC. Rappels de dénombrements (cours avec vidéo-projecteur). Rappels de dénombrements Vendredi 2 septembre Rappels de dénombrements (cours avec vidéo-projecteur).. Récupération du DM 1 (sujet concours E3A 2015). Samedi 3 septembre Sujet : révision de dénombrements et de calculs des probabilités. Rendu des copies du DM 1. Lundi 5 septembre Rappels de probabilités (cours avec vidéo-projecteur). Révisions probabilités Mardi 6 septembre Rappels de probabilités (cours avec vidéo-projecteur). Distribution du DM 2. Jeudi 8 septembre Chapitre 1 Espaces probabilisés I Un peu de théorie des ensembles I.1 Ensembles dénombrables I.2 Tribus II Probabilités II.1 Définition Révisions VARs Vendredi 9 Septembre II.2 Propriétés des probabilités Lundi 12 Septembre II.3 Construction d une probabilité sur un univers dénombrable III Conditionnement et indépendance III.1 Probabilité conditionnelle III.2 Formule des probabilités composées Mardi 13 Septembre III.3 Formule des probabilités totales III.4 Formule de Bayes III.5 Indépendance Cas de deux événements Indépendance mutuelle d une famille finie d événements 1

2 Jeudi 15 Septembre Rappels et compléments sur les séries numériques dénombrements (cours avec vidéo-projecteur). Vendredi 16 Septembre Rappels et compléments sur les séries numériques dénombrements (cours avec vidéo-projecteur). (espaces probabilisés) Lundi 19 Septembre Rappels et compléments sur les séries numériques dénombrements (cours avec vidéo-projecteur). En particulier produit de Cauchy. (espaces probabilisés) Mardi 20 Septembre Chapitre 2 Variables aléatoires discrètes I Variables aléatoires I.1 Généralités I.2 Loi de probabilités I.3 Système complet d évènements associé I.4 Fonction de répartition II Espérance II.1 Définition II.2 Expression à partir de la fonction de répartition II.3 Théorème de transfert II.4 Linéarité, positivité et croissance Jeudi 22 Septembre III Variance III.1 Définitions III.2 Propriétés III.3 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Thebychev III.4 Inégalité de Markov III.5 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev IV Lois usuelles IV.1 Loi géométrique Caractérisation comme une loi sans mémoire IV.2 Loi de Poisson V Couples et suites de variables aléatoires V.1 Généralités Vendredi 23 Septembre V.2 Variables aléatoires discrètes indépendantes Cas de deux variables Cas de n variables Cas d une suite de variables V.3 Covariance Exercices (séries et probabilités) DS 24 Septembre Sujet : probabilités. Lundi 26 septembre Coefficient de régression linéaire Variance d une somme VI Résultats asymptotiques VI.1 Convergence de la loi binomiale vers une loi de Poisson Interprétation de la loi de Poisson comme loi des événements rares VI.2 Loi faible des grands nombres Exercices (séries). Récupération des DMs, distribution d un DM pour le 10 octobre. Mardi 27 septembre Jeudi 29 septembre Chapitre 3 Suite et séries de fonctions I Convergence d une suite de fonctions I.1 Mode de convergence d une suite de fonctions Convergence simple Convergence uniforme La convergence simple entraîne la convergence uniforme 2

3 Vendredi 30 septembre Norme de la convergence uniforme I.2 Régularité de la limite d une suite de fonctions Continuité de la limite d une suite de fonctions Intégration sur un segment Dérivation d une limite Lundi 3 Octobre Extension au cas de la convergence uniforme sur tout segment Mardi 4 Octobre II Convergence d une série de fonctions II.1 Mode de convergence d une série de fonctions Convergence simple et uniforme Convergence normale La convergence normale entraîne la convergence uniforme II.2 Régularité de la somme d une série de fonctions Continuité de la somme d une série de fonctions Intégration sur un segment Dérivation terme à terme Extension au cas de la convergence uniforme ou normale sur tout segment Jeudi 6 Octobre Rappels sur les suites : Lien entre l algèbre linéaire et les suites récurrentes linéaires d ordre 2. Lien entre l algèbre linéaire et les suites arithmético-géométriques. Convergence d une suite et lemme de Césaro. Vendredi 7 Octobre Rappels sur les formules de Taylor et les développements limités : Formule de Taylor pour les polynômes et DLs usuels. Exercices (suites et séries de fonctions). Lundi 10 Octobre Rappels sur les formules de Taylor et les développements limités : Formule de Taylor avec reste intégal. Rappel sur les DLs et sur les accroissements finis. Exercices (suites et séries de fonctions). Mardi 11 Octobre Chapitre 4 Séries entières I Lemme d Abel et rayon de convergence I.1 Définitions I.2 Lemme d Abel Jeudi 13 Octobre I.3 Calculs de rayon de convergence Invariance Comparaison des coefficients Dérivation et primitivation terme à terme Règle de d Alembert Somme de deux séries Produit de Cauchy de deux séries entières Vendredi 14 Octobre Cours 3h II Régularité de la somme d une série entière d une variable réelle Convergence normale sur tout segment de l intervalle de convergence Continuité Primitivation d une série entière Dérivation d une série entière Exercices (suites et séries de fonctions, probabilités) Samedi 15 Octobre Sujet suites et séries de fonctions, probabilités. Un des exercices est au choix : E3A ou centrale. L exercice non fait est à rendre en DM. 3

4 Lundi 17 Octobre III Développement en série entière III.1 Fonctions développables en série entière III.2 Développements en série entière des fonctions usuelles Série géométrique Logarithme Arctangente Exponentielle, cosinus et sinus hyperbolique Cosinus et sinus Fonction puissance III.3 Extension au cas de la variable complexe (suite et séries de fonctions). Mardi 18 Octobre (séries entières et probabilités) Vacances de la Toussaint Jeudi 3 novembre (séries entières) Vendredi 4 novembre Rappels sur l algèbre linéaire : Somme et produit de SEV, famille finie de vecteurs. (séries entières) Lundi 7 novembre Rappels sur l algèbre linéaire : Formule de changement de base. Matrices semblables. Calcul matriciel. Utilisation de Newton pour calculer A n. Trace. (séries entières) Mardi 8 novembre Rappels sur l algèbre linéaire : Applications linéaires. Rang, noyau image. Projecteurs et les symétries. Équations linéaires. (séries entières) Jeudi 10 novembre Rappels sur l algèbre linéaire : SEV stable. Interprétation matricielle. Matrice triangulaire et diagonale par blocs. Matrice définie par blocs. Opérations sur les matrices par blocs. (séries entières) Lundi 14 novembre (Algèbre linéaire) Mardi 15 novembre (Algèbre linéaire) Jeudi 16 novembre Chapitre 5 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées I Éléments propres Rappel I.1 Valeurs et vecteurs propres I.2 Sous-espace propre Exemples Vendredi 17 novembre Propriétés des sous-espaces propres II Polynôme caractéristique II.1 Définition II.2 Lien avec les valeurs propres 4

5 Lundi 20 novembre II.3 Coefficients II.4 Mutliplicité d une valeur propre Mardi 21 novembre III Diagonalisation en dimension finie III.1 Définitions III.2 Lien avec la dimension des sous-espaces propres III.3 Lien avec le polynôme caractéristique Jeudi 23 novembre III.4 Calcul effectif de la réduction Application à la résolution des récurrences linéaires Vendredi 24 novembre Autres applications aux suites IV Trigonalisation IV.1 Définitions IV.2 Lien avec le polynôme caractéristique IV.3 Exemple de réalisation de la trigonalisation Application à la résolution des récurrences linéaires Lundi 28 novembre PPMS départemental (impossible d accéder au lycée). Cours annulé Mardi 29 novembre (Réduction) Jeudi 1 décembre Rappels sur les déterminants. Vendredi 2 décembre (Réduction et déterminants). Lundi 5 décembre Fonctions génératrices Définition Lien avec l espérance et la variance Fonction génératrice d une somme de variables indépendantes Cas des variables aléatoires finie Exercices Ces des lois usuelles sur N Exercices Mardi 6 décembre (réduction et fonctions génératrices). Jeudi 8 décembre Chapitre 6 Fonctions Vectorielles I Dérivabilité I.1 Dérivabilité en un point I.2 Dérivabilité sur un intervalle I.3 Dérivabilité et composition Exemples à connaître Vendredi 9 décembre I.4 Fonctions de classe C k II Arcs paramétrés II.1 Définitions II.2 Tangente aux points réguliers II.3 Exemple de construction d arcs plans Exemple de l astroïde (réduction et fonctions génératrices). 5

6 Lundi 12 décembre Un autre exemple Exemple des courbes de Lissajous Exercices (courbes paramétrées) Mardi 13 décembre Cours 3h (rattrapage d une heure du 28/11) Chapitre 7 Intégration sur un intervalle I Fonctions continues par morceaux I.1 Fonctions continues par morceaux sur un segment I.2 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle II Intégrale d une fonction continue par morceaux sur un segment II.1 Fonctions en escalier et intégrale d une fonction en escalier II.2 Intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux Exercices (Dérivation des fonctions vectorielles et fonctions génératrices). Jeudi 15 décembre II.3 Lien avec les primitives III Intégrales généralisées III.1 Intégrales généralisées sur [a, + [ III.2 Intégrale généralisé sur un intervalle quelconque Vendredi 16 décembre III.3 Intégrale généralisée de référence III.4 Propriété III.5 Manipulation Exercices (Réduction, dérivation des fonctions vectorielles) Mardi 3 janvier IV Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables IV.1 Définitions IV.2 Manipulation et propriété IV.3 Fonction de carré intégrable Produit scalaire Inégalité de Cauchy-Schwarz Exercices Jeudi 5 janvier Rappels produit scalaire et espaces euclidiens. Vendredi 6 janvier Rappels produit scalaire et espaces euclidiens. Exercices (intégration). Lundi 9 janvier Chapitre 8 Espaces euclidiens I Isométries vectorielles I.1 Définition et caractérisation I.2 Propriétés I.3 Groupe orthogonal Exercices (intégrales généralisées) Mardi 10 janvier Exercices (intégrales généralisées) Jeudi 12 janvier Étude de fonctions définies par une intégrale Vendredi 13 janvier II Matrices orthogonales II.1 Définition et caractérisation II.2 Propriétés Groupe spécial orthogonal et orientation de l espace 6

7 III Isométries vectorielles du plan euclidien III.1 Matrice de O 2 (R) III.2 Interprétation géométrique Exercices (intégrales généralisées) Samedi 14 janvier Sujet : réduction, courbe paramétrée, intégrale généralisée, Lundi 16 janvier IV Réduction des endomorphismes symétriques et matrices symétriques réelles IV.1 Définition et caractérisation IV.2 Théorème spectral Mardi 17 janvier Chapitre 9 Inversion de symbole I Rappels I.1 Limite de la dérivée I.2 Continuité de la limite / somme d une suite de fonctions I.3 Inversion limite et intégrale I.4 Inversion dérivation / limite ou somme II Convergence dominée pour une suite de fonctions Jeudi 19 Janvier III Intégration terme à terme sur un intervalle (Intégration et espaces euclidiens) Vendredi 20 Janvier IV Continuité sous le signe intégrale V Dérivation sous le signe intégrale Généralisation aux fonctions de classe C k (Espaces euclidiens) Lundi 30 janvier Chapitre 10 Espaces vectoriels normés de dimension finie I Normes et distances I.1 Définition (Espaces euclidiens et Inversion de symboles) et td 2h Mardi 31 janvier I.2 Normes usuelles sur K n I.3 Propriétés (Inversion de symboles) Jeudi 2 février I.4 Distance I.5 Topologie d un espace vectoriel normé I.6 Parties, suites et fonctions bornées II Suites d un espace vectoriel normé de dimension finie II.1 Convergence II.2 Propriétés (Inversion de symboles) 7