Initiation de fissure et propagation de défauts : approche par level-set épaisses

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1 Initiation de fissure et propagation de défauts : approche par level-set épaisses C. Stolz LMS, CNRS-UMR7649, Ecole polytechnique, Palaiseau LaMSID, CNRS-UMR2832, EdF R&D, Clamart 1

2 Objectif principal : concilier l initiation, la propagation de fissure l endommagement dans une même formulation 2

3 Plusieurs approches l endommagement : w(ε, d) = g(d)w o (ε), Y = w d = g w o (ε) Problèmes : instabilités, localisation, perte d unicité Remèdes : théorie non locale théorie de gradient supérieur, champ de phases 3

4 Théorie locale w(ε, d) = g(d)w o (ε) Théorie non locale (Pijaudier-Cabot,...) g(d); h(ε, d) 0, d 0, d h = 0 ε eq (x) = 1 Ω(x) Même loi, entre ε eq (x) et d. Ω ψ(x s)i(ε(s)) dω s Choix du support et de la fonction poids Lien direct avec les méthodes particulaires, problèmes sur les frontières Difficulté lien endommagement rupture. 4

5 Théorie de gradient supérieur et champ de phase w(ε, d, β), β = d (Frépond-Nedjar, Karma,...) w(ε, d, β) = 1 2 k oβ 2 + g(d)w o (ε) + h(d) Y = k o d h g w o (ε) Les fonctions h(d), g(d) sont choisies telles que dans un cas 1-D la réponse locale d prenne la forme d = d o th(αx) : g(d) = 4d 3 3d 4 Variations fortes de d concentrées sur une bande de largeur controlée par k o et W o = w o (ε o ) Conditions aux limites à discuter, résoudre sur tout le volume 5

6 Ces méthodes ne localisent pas nécessairement sous un chargement de type fissure imposé. Lien entre initiation de l endommagement et la fissuration reste à discuter Choix des grandeurs caractéristiques 6

7 Un autre point de vue Un autre point de vue Séparer la zone saine de la zone endommagée par une surface Surface en mouvement : Interface mobile Surface = iso-potentielle = level-set Discontinuité = saut = XFEM LaMSID

8 Interface mobile Interface mobile Etude du mouvement d une interface avec changement de comportement par transition brutale : présence de discontinuités par transition continue : couche limite et endommagement continu. LaMSID

9 Interface mobile et transformation mécanique Interface mobile et transformation mécanique Le matériau 1 est transformé en un matériau 2 le long d une interface mobile Un flux de masse traverse la surface : perte de matériau sain (usure...) LaMSID

10 Préliminaires Préliminaires φ n Ω 2 Ω 1 Γ F = b a f(x, t) dx Γ(t) b = a f(x, t) dx + Γ(t) f(x, t) dx LaMSID

11 Préliminaires φ n Ω 2 Ω 1 Γ F = b a f dx + ( f(γ +, t) f(γ, t) ) Γ [ f ] Γ = f(γ +, t) f(γ, t) Propagation d une interface présence de discontinuités. Etudier les discontinuités possibles, relations d Hadamard,... LaMSID

12 Préliminaires Discontinuité en élasticité linéaire Sur une surface Γ, Continuité des déplacements [ u] Γ = 0 Continuité des vecteurs contraintes [ σ ] Γ.n = 0 Pas de discontinuité des grandeurs mécaniques si et seulement si le comportement (modules) est continu. LaMSID

13 Préliminaires φ n Ω 2 Ω 1 Γ Les deux milieux sont élastiques linéaires : x proportion de phase 2 Equilibre : σ = E 1 ε 1 = E 2 ε 2 = Σ, u(0) = 0 Energie potentielle : Taux de restitution d énergie W(σ, x) = 1 2 σ2 ( x E x E 1 ) G = W x = 1 2 σ2 ( 1 E 2 1 E 1 ); D m = Gẋ LaMSID

14 Etude d autres exemples Etude d autres exemples quasi-fissure en hyper-élasticité fragile sphère sous chargement isotrope LaMSID

15 Etude d autres exemples Quasi-fissure en conditions de mode III : cisaillement anti-plan τ α > 0 α = 0 σ = K/ rf(θ) as r e 2 A O R o α < 0 R m R h σ = 0 Ω d Γ c e 1 [ K 2 = h τ2 o ( R m ) α+1 + α 1 ] α + 1 R o 2 A Neuber (1969), Bui-Ehrlacher (1978), Stolz (2010). LaMSID

16 Autres exemples Autres exemples R e R i Sous chargement isotrope U(R e, t) = E(t)R e Critère G(R i, t) G c donne l évolution de la surface LaMSID

17 Autres exemples G(R i, E) = 9E2 D 2 (c) (κ 1 κ 2 )(3κ 2 + 6µ 1 )(3κ 1 + 4µ 1 ) D(c) = 3κ 2 + 4µ 1 + 3c(κ 1 κ 2 ), c = R3 i R 3 e κ eff = (3κ 2 + 4µ 1 )κ 1 4µ 1 c(κ 1 κ 2 ) 3κ 2 + 4µ 1 + 3c(κ 1 κ 2 ) LaMSID

18 Autres exemples Chargement monotone c o = Ri 3(0)/R3 e E(t) < E c (c o ), G(R i, E(t)) < G c, R i (t) = R i (0) E(t) E c (c o ), G(R i (t), E(t)) = G c, R i (t) = f(e(t)), E(t) = E T, G(R e, E T ) = G c E(t) E T, R i (T) = R e R i (t) = R e LaMSID

19 Réponse chargement quelconque Réponse chargement quelconque Σ Σ = 3κ 1 E Σ = 3κ 2 E E o c E c (c o ) E T E LaMSID

20 Réponse chargement quelconque On a déterminé une charge critique d initiation d un défaut Loi de propagation du défaut La charge critique dépend de la géométrie Cylindre sous chargement isotrope : charge critique plus basse. LaMSID

21 Description - Cas Général Description - Cas Général T d 2 1 c u d D m = S G(s)c(s) ds G = [ w ] Γ σ : [ ε] Γ G c G G c, c 0, c (G G c ) = 0 LaMSID

22 Interprétation Interprétation D Γ = G c, m = ρc Donc m = 0, pas de perte de matériau sain pas d endommagement G(X, t) < G c, c = 0 G(X, t) = G c, c 0 LaMSID

23 Interprétation Avantage : problème d évolution bien posé Formulations variationnelles du problème en vitesse : détermination des conditions de stabilité-bifurcation étude de l évolution d un défaut préexistant. Influence d une énergie de surface : rôle stabilisant G e (R i, E) = G o (R i, E) β/r i mais charge critique d initiation de défaut infinie... LaMSID

24 Interprétation Problème à résoudre : concilier Une initiation d un défaut La propagation du défaut Après une extension suffisante retrouver une énergie de surface β Idée : interface d épaisseur finie l c. LaMSID

25 Interface épaisse Interface épaisse La transition est continue et décrite par une loi d endommagement continu. Energie : w(ε, d, α) = (1 d)w o (ε, α) + H(α) d varie de 0 à 1, pas de discontinuité. Y = w d, A = w α La dissipation se réduit à celle de volume d m = Y d + A α LaMSID

26 Dissipation Dissipation d(x) φ Ω 2 Ω 3 Ω 1 En suivant le front mobile D m = h 2h Y d + A α dz f(x, t) = f(x φt n, t) f = φ f.n + D φ f LaMSID

27 Dissipation Exemple 1-D : 2h d(x) φ Ω 2 Ω 3 Ω 1 Energie : W = 1 2 E(d)ε2 Conditions de raccordement E(0) = E 1, E(1) = E 2 Etude de la dissipation sous condition stationnaire ( d + φ d.n = 0) 1 0 D m = φ 2 σ2 ( E E ) d dz = φ1 2 2 σ2 ( E )dd = Gφ E2 h 1 LaMSID

28 Dissipation mécanique Dissipation mécanique D m = φ on retrouve une forme analogue h (Y d + A α)dz + D m = Ḡφ + h h (Y D φ d + AD φ α) dz d φ dz En mouvement stationnaire : le dernier terme est nul. Ḡ = h (Y d + A α)dz hy c LaMSID

29 Dissipation mécanique Initialement la barre est homogène W = 1 L 2 Σ2 E 1 A partir d une valeur critique Σ c, ε c une bande se développe Hypothèse de stationnarité locale Le module d Young E(z) est une fonction donnée dans la bande, z coordonnée relative LaMSID

30 Dissipation mécanique d(x) φ Ω 2 Ω 3 Ω 1 2h phase 1 : barre homogène, D m =0 phase 2 ; initiation d un défaut 2e o l c = 2h D m = +eo e o Y ddz = 1 2 Σ2 ( 1 E 1 1 E(e 2 o ) )ė o phase 3 : propagation d une bande 2h = l c D m = 1 2 Σ2 ( 1 E 1 1 E 2 ) LaMSID

31 Dissipation mécanique Conclusion d(z) = d(x a(t)) = d o est une surface isoendommagement qui vérifie la relation de transport Unidimension a est indépendant de z. d + a d.n = 0 LaMSID

32 Généralisation Généralisation On introduit la courbe de niveau φ = h z telle d(φ) = 0; φ 0 d (φ) 0; 0 φ lc d(φ) = 1; φ lc où φ est une fonction distance signée φ = 1 Dans la suite on choisit la distance φ = z. LaMSID

33 Généralisation Géométrie de l interface : influence de la courbure: n.a α = b β αa β h a α X S h n Γ 2 Γ Γ 1 B ds(z) = det(b + z I) = j(z) ds f dω = ( f j(z)dz) ds = f S ds Γ h Γ LaMSID

34 Généralisation Mouvement suivant la bande m(s, z, t) = M(S, t) + zn(s, t) A t + dt le point M est venu en M + an et la normale a tourné m(t + dt) m(t) = D a m = an + zd a n, D a n = da ds T Dérivée suivant le mouvement D a (f) = lim dt 0 f(m(t + dt), t + dt) f(m(t), t) dt Exemple = f t + f X.D am D a ( T) = da ds n, D a(n) = da ds T, D aγ = d2 a ds 2 + Γ2 a... LaMSID

35 Généralisation Cas courant φ( X, t) = min S ( X M(S, t)).n(s, t) = z φ = n φ = Relation avec la courbure à la cote z Γ 1 Γz LaMSID

36 Dissipation d endommagement Dissipation d endommagement Comme D m = B 1 (σ : ε σ : ε) dω 2 ε = D a ε ε.d a m On en déduit pour le cas de mouvement stationnaire Intégration par partie 1 2 B D m = (n.σ. u n. σ.u).d a m ds+ B 1 2 (σ : ε σ : ε).d am dω Puis par passage à la limite pour épaisseur nulle D m = S B 1 2 [ σ : ε ] Γ σ : [ ε] Γ ds a 1 2 (σ. u σ.u) : D am dω LaMSID

37 Dissipation associée à l interface Dissipation associée à l interface Milieu à endommagement continu w(ε, d) = (1 d)w o (ε) La dissipation s écrit Mais d = d(φ) donc D m = B Y d dω d = d φ = ad φ.n donc D m = B Y d φ.n dω = Ḡ = e S e Y d (1 Γz)ds Y d (1 Γz)dz ds LaMSID

38 Dissipation associée à l interface Loi de propagation Choix 1 Choix 2 Ḡ = e 1 e Ḡ G c, a 0, ( 1 e Ḡ G c)a = 0 Y d (1 Γz)ds e Y c d (1 Γz)ds = Ḡ c (e, S), a 0; (Ḡ Ḡ c (e, S))a = 0 LaMSID

39 Dissipation associée à l interface Exemple Implémentation numérique LaMSID

40 Dissipation associée à l interface Conlusions Potentialité de la méthode Généralisation au cas élastoplastique Etude de la génération du défaut initial et analyse asymptotique Etude du branchement de fissure dans ce cadre. Passage endommagement-rupture : naturellement contenu Etude et analyse des grandeurs l c par des mesures in-situ (un seul paramètre) Etude de la loi d(φ) par la fonction génératrice du choc : (Stolz-1989) LaMSID