Propriétés des angles dans les triangles

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1 2.3 Propriétés des angles dans les triangles MTÉREL NÉESSRE un logiciel de géométrie dynamique, ou un compas, un rapporteur d angle et une règle des ciseaux EXPLORTON Sur une feuille de papier rectangulaire, trace des lignes à partir de deux sommets vers un point situé sur le côté opposé. Découpe la feuille le long des lignes de manière à former deux triangles rectangles et un triangle acutangle. Que remarques-tu au sujet des trois triangles? Peux-tu utiliser les relations entre les angles pour montrer que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle acutangle formé ainsi égale 180? BUT Faire la preuve des propriétés des angles dans les triangles et résoudre des problèmes à l aide de ces propriétés. NLYSE d un problème Trois tuiles triangulaires congruentes se touchent par un sommet différent. Diko a remarqué que les angles de ces sommets semblent former une ligne droite.? 180 Peux-tu prouver que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle égale 180?. Trace un triangle acutangle RZ. onstruis une droite PQ passant par le sommet Z et parallèle à R. P Z Q Q R B. dentifie les paires d angles égaux dans ton schéma. Explique comment tu sais que les mesures des angles de chaque paire sont égales.. Quelle est la somme des mesures de /PZR, /RZ et /QZ? Explique comment tu le sais. D. Explique pourquoi /ZR 1 /RZ 1 /RZ E. À la question, le choix du sommet par lequel tu as fait passer la droite parallèle est-il important? Explique ta réponse à l aide d exemples. F. Répète les questions à E, d abord en traçant un triangle obtusangle, puis un triangle rectangle. Tes résultats sont-ils les mêmes que ceux qui se rapportent au triangle acutangle? 86 hapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

2 Réflexion G. Pourquoi l approche de Diko n est-elle pas considérée comme une preuve? H. Tes résultats sont-ils suffisants pour prouver que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle égale 180? Explique ta réponse. PPLTON des calculs exemple 1 Déterminer des mesures d angle à l aide de la somme des angles Dans le schéma ci-contre, /MTH est un angle extérieur du ^MT. alcule les mesures des angles intérieurs inconnus du ^MT. M T H La solution de Serge /MT 1 /MTH /MT /MT 5 25 /MT 1 /MT 1 /MT /MT /MT /MT et /MTH sont supplémentaires puisqu ils forment une ligne droite. La somme des mesures des angles intérieurs de tout Les mesures des angles MT et MT sont respectivement 25 et 115. À toi de jouer! Si tu connais un angle intérieur et un angle extérieur d un triangle, peux-tu toujours calculer les autres angles intérieurs du triangle? Explique ta réponse à l aide de schémas. 2.3 Propriétés des angles dans les triangles 87

3 angles intérieurs non adjacents Les deux angles d un triangle qui n ont pas le même sommet qu un angle extérieur. B D / et /B sont les angles intérieurs non adjacents à l angle extérieur D. exemple 2 /d 1 /c /d /c /a 1 /b 1 /c /a 1 /b /c Déterminer, par raisonnement, la relation entre les angles extérieurs et intérieurs d un triangle Détermine la relation entre un angle extérieur d un triangle et ses angles intérieurs non adjacents. La solution de Joanna a d c b Je dessine un triangle comportant un angle extérieur. Je nomme les mesures des angles a, b, c et d. /d et /c sont supplémentaires. Je manipule ces angles afin d isoler /d. La somme des mesures des angles intérieurs de tout /d 5 /a 1 /b La mesure d un angle extérieur d un triangle est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs non adjacents. Puisque /d et (/a 1 /b) sont égaux à /c, en vertu de la propriété de transitivité, ils doivent être égaux l un à l autre. À toi de jouer! Prouve que /e 5 /a 1 /b. a d c e b exemple 3 Détermine les mesures de /NMO, /MNO et /QMO. Résoudre des problèmes par raisonnement L M 67 Q 39 O R N 20 P 88 hapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

4 La solution de Tyler MN est une sécante des segments de droite parallèles LQ et NP. /MNO /MNO 5 47 /NMO 1 /MNO /NMO /NMO /NMO 5 94 /NMO 1 /QMO /QMO /QMO /QMO 5 19 Les mesures des angles sont /MNO 5 47 ; /NMO 5 94 ; /QMO MN coupe les segments de droite parallèles LQ et NP. Puisque /LMN et /MNP sont des angles alternesinternes entre des segments de droite parallèles, ils sont égaux. La somme des mesures des angles intérieurs d un omme /LMN, /NMO et /QMO forment une ligne droite, la somme de leurs mesures égale 180. La solution de Dominique /NMO 1 /MNO /NMO 1 /MNO /NMO 1 /QMO2 1 1/MNO /NMO 1 /MNO 1 /QMO /QMO /QMO 5 19 /NMO 1 /QMO /NMO /NMO 5 94 /NMO 1 /MNO /MNO /MNO 5 47 Voici les mesures des angles: /QMO 5 19 ; /NMO 5 94 ; /MNO La somme des mesures des angles intérieurs d un Les angles formés par (/NMO 1 /QMO) et (/MNO 1 20 ) sont des angles internes du même côté de la sécante MN. Puisque LQ i NP, ces angles sont supplémentaires. Je fais la substitution de la valeur de /NMO 1 /MNO dans l équation. omme /LMN, /NMO et /QMO forment une ligne droite, la somme de leurs mesures égale 180. À toi de jouer! Dans le schéma de l Exemple 3, QP i MR. Détermine les mesures de /MQO, /MOQ, /NOP, /OPN et /RNP. 2.3 Propriétés des angles dans les triangles 89

5 En résumé dée principale Tu peux faire la preuve des propriétés des angles intérieurs d un triangle à l aide d autres propriétés qui ont déjà été prouvées. e qu il faut savoir Pour tout triangle, il est prouvé que la somme des angles intérieurs égale 180. l est prouvé que la mesure de tout angle extérieur d un triangle est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs non adjacents. B / 1 /B 1 / D B /DB 5 /B 1 /B VÉRFE ta compréhension 1. Harrison a tracé un triangle. l en a mesuré les trois angles intérieurs. Quand il a additionné les mesures de ces angles, la somme était de 180. ela prouve-t-il que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle égale 180? Explique ta réponse. 2. Marcel dit qu il est possible de tracer un triangle à deux angles droits. Es-tu d accord? Explique ta réponse. 3. alcule les angles inconnus suivants. a) /YXZ, /Z b) /, /DE Y 64 W 101 X Z D E B Mise en PPLTON 4. onnaissant la valeur de /Q, écris une expression pour la mesure de l un des deux autres angles. R Q S 90 hapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

6 5. Prouve que / B D 6. alcule les mesures des angles extérieurs d un triangle équilatéral. 7. Prouve que SY i D. S D Y 8. haque sommet d un triangle a deux angles extérieurs, comme dans le schéma ci-contre. a) Formule une conjecture à propos de la somme des mesures de /a, /c et /e. b) Ta conjecture s applique-t-elle à la somme des mesures de /b, /d et /f? Explique ta réponse. c) Prouve ou réfute ta conjecture. 9. La figure DO est un parallélogramme. Benji a déterminé la mesure des angles intérieurs inconnus de la figure DO. Paula dit qu il a fait une erreur. La solution de Benji Énoncé /DO 5 /O /DO 5 35 /DO 5 /D /DO 1 /O /DO 5 65 /O 5 65 /O /O 1 /O2 /O ) /O 5 80 O D N a b x D y c d f z e O Justification /DO et /O sont des angles alternes-internes. /DO et /D sont des angles correspondants. /DO et /O sont des angles alternes-internes. La somme des mesures des angles intérieurs d un a) Explique comment tu sais que Benji a fait une erreur. b) orrige la solution de Benji. Je redessine le schéma en y ajoutant les mesures d angle que j ai trouvées. 2.3 Propriétés des angles dans les triangles 91

7 10. Prouve que le quadrilatère MTH est un parallélogramme. M 45 H T 11. Un manufacturier a conçu une chaise de parterre comme celle ci-contre. Détermine les mesures de /a, /b, /c et /d. a b 30 c d a) Tim affirme que FG n est pas parallèle à H parce que /FGH Z /HJ. Es-tu d accord? Justifie ta réponse. b) De quelle autre façon pourrais-tu justifier ta réponse? Donne des explications. F G H 50 J 13. Sers-toi des données connues pour déterminer les mesures de /J, /JKO, /JOK, /KLM, /KLN, /M, /LNO, /LNM, /MLN, /NOK et /JON. O 110 J K L 140 N M 14. alcule les mesures des angles intérieurs du ^FN. P F 115 N B a) alcule les mesures de /XZ, /XY et /EZY. b) alcule la somme de ces trois angles extérieurs. X 35 Y 50 Z E 92 hapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

8 16. MO et NO sont des bissectrices d angles. Prouve que /L 5 2/O. L O a a b b M N P onclusion 17. Explique comment le fait de tracer une droite parallèle à un côté d un triangle peut t aider à prouver que la somme des angles intérieurs du Prolongement 18. Donné: E est une bissectrice de /B. Le ^BD est isocèle. Prouve que /EB x x B y 19. Le ^LMN est un triangle isocèle dans lequel LM 5 LN. ML est prolongé jusqu au point D et forme l angle extérieur DLN. Sachant que LR i MN, où N et R sont du même côté de MD, prouve que /DLR 5 /RLN. E y D 2.3 Propriétés des angles dans les triangles 93