e3a 2003 PC Mathématiques A Partie I

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1 ea 2 PC Mathématiques A Corrigé Partie I. 2. L application f est de classe C sur [π ;π], 2π-périodique, et f(π) = f(π), donc f est continue sur R et de classe C par morceaux sur R.. Puisque f est paire, on a : n N, b n =, et, pour tout n N : a n = 2 2π Par deux intégrations par parties, pour n : a n = 2 π Et : ([ 2 sin nt t n = 4 πn sin nt 2t ) n dt = 4 πn cos nt n ([ t a = 2 π π f(t)cos nt dt = 2 π t sin nt dt cos nt n t 2 dt = 2 π [ t t 2 cos nt dt. ) dt = 4 π() n 4 [ sin nt πn n πn 2 = 4()n n n 2. = 2π2. a = 2π2 et, pour tout n N : a n = 4()n n 2 et b n =

2 4. Puisque f est 2π-périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R, d après le théorème de convergence normale de Dirichlet, la série de Fourier de f converge normalement (donc uniformément, absolument, simplement) sur R et a pour somme f. 5. On a donc : En particulier, en remplaant t par π : t R, f(t) = a 2 + a n cos nt = π2 + 4() n n 2 cos nt. n= π 2 = f(π) = π2 + 4 n 2, n= n= n= n 2 = ) (π 2 π2 = π En remplaant t par : = f() = π2 + n= () n n 2 = 4 n= ( π 2 4() n n 2, ) = π2 2. n= n 2 = π2 6 et n= () n n 2 = π2 2. Soit n N. Partie II L application f n : t t n est continue sur ];] et : t /2 f n (t) = t n+(/2), t donc, pour t assez près de, t /2 f n (t), f n (t). L exemple de Riemann en (/2 < ) et le t/2 théorème de majoration pour des fonctions positives ou nulles montrent que f n est intégrable sur ];]. On a, pour tout ];], par une intégration par parties : [ t n+ ] f n (t)dt = n + t n+ n+ n + t dt = ln n + n + = n+ ln n + n N, u n = (n + ) 2 t n dt (n + ) 2 ( n+ ) + (n + ) 2. 2

3 2. (i) Soit t ];[. La série de terme général f n (t) = t n est convergente (série géométrique) et : n= ( f n (t) = t n) = t = g(t). n= La série de terme général () n f n (t) est absolument convergente, car () n f n (t) = f n (t), et : n= ( () n f n (t) = (t) n) = (t) = h(t). n= (ii) Pour tout n N, f n est continue par morceaux (car continue) sur ];[ et intégrable sur ];[ (cf..) la série n f n converge simplement sur ];[ et a pour somme g g est continue par morceaux (car continue) sur ];[ la série n f n converge car f n = (n + ) 2. D après le théorème sur l intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions, g est intégrable sur ];[ et on peut permuter intégrale et série : (g) = n= f n = n= (n + ) 2, donc : De même : J = I = h(t)dt = g(t)dt = n= n= () n f n = (n + ) 2 = n 2 = π2 6. n= n= () n+ (n + ) 2 = n= () n n 2 = π2 2. I = g(t)dt = π2 6 et J = h(t)dt = π2 2

4 Partie III. Soit n N. L application h n est continue sur ];] et h n (t) t + t n = f n (t), donc, comme f n est intégrable sur ];], par théorème d équivalence pour des fonctions positives ou nulles, h n est intégrable sur ];], puis h n est intégrable sur ];]. 2. Pour tout n N, h n est continue par morceaux (car continue) sur ];] la suite (h n ) n N converge simplement vers sur ];] l application est continue par morceaux sur ];] n N, t ];], h n (t) = tn, t + et t est continue par morceaux (car continue) sur ];], et intégrable sur ];]. D après le théorème de convergence dominée, la suite (J n ) n N converge vers J n. (i) Pour tout n N, h n est continue par morceaux sur ];[ la série n h n converge simplement et a pour somme K : t K est continue par morceaux (car continue) sur ];[ On a : donc : n N, t ];[, h n (t) = tn (ln t) t + n N, h n et la série de terme général u n est convergente. La série n ( t)( + t) t n (), t n (ln t)dt = u n, =. h n est donc convergente. D après le théorème sur l intégration sur un intervalle quelconque pour les séries d applications, il s ensuit que la série de terme général J n converge et que l on peut permuter intégrale et série : n= J n = ( t)( + t) dt. (ii) On a, les intégrales manipulées existant : t 2 dt = 2 ( t + ) dt = + t 2 (I + J) = ( ) π2 2 6 π2 = π On a vu que la série de terme général J n converge et, pour tout n N, J n. La série de terme général J n = J n est donc convergente. Ainsi, la série de terme général () n J n est absolument convergente, donc convergente. 4

5 Partie IV. On a, pour tout n N : On a, pour tout n N : J n + J n+ = t n + t n+ t + dt = t n dt = u n. R n R n+ = () n J n () n+ J n+ = () n (J n + J n+ ) = () n u n, donc : R n = R n+ + () n u n. 2. En réitérant la formule précédente, pour n p, on a : R n = R n+ + () n R n+ = R n+2 + () n+ u n+. R n+p = R n+p+ + () n+p u n+p, d où, en reportant : R n = R n+p+ + Pour n N fixé, faisons tendre p vers. On a : p () n+k u n+k. k= R n+p+ = J n+p+ p, et : p () n+k u n+k = k= p+n+ l=n+ () l u l = p+n+ l=n+ () l l 2 p l=n+ () l l 2. n N, R n = + () k k 2. On a, pour tout n N, en séparant en termes d indices pairs et termes d indices impairs et en remarquant que les séries manipulées sont toutes convergentes : R 2n+ = k=2n+2 () k k 2 = ( = (2k + 2) 2 + (2k + 2) 2 (2k + ) 2 ) (2k + ) 2 = (2k + ) 2 (2k + 2) 2 4k + 5 (2k + 2) 2 (2k + ) 2 = (2k + 2) 2 (2k + ) 2. 5

6 4. On calcule : k+2 k+ 4t dt = [ 4 t 2 ] k+2 = ( 2 k+ 8 k+2 4t dt 4k + 5 (2k + 2) 2 (2k + ) 2 k+ (k + ) 2 (k + 2) 2 ) = (k + 2)2 (k + ) 2 8(k + 2) 2 (k + ) 2 = 2k + 8(k + ) 2 (k + 2) 2 4k + 5 (2k + 2) 2 (2k + ) 2 2k + 8(k + ) 2 (k + 2) 2. (2k + ) 2(4k + 5)(k + 2) 2 8k + 6k 2 + 6k k + 42k k + 4, et cette dernière inégalité est vraie car k. On calcule : k+ 4k + 5 (2k + 2) 2 (2k + ) 2 k+ et cette dernière inégalité est vraie car k. k k 2k + dt = 4t k 2 (k + ) 2, 4t dt 4k + 5 2k + (2k + 2) 2 (2k + ) 2 8k 2 (k + ) 2 2k 2 (4k + 5) (2k + )(2k + ) 2 8k + k 2 8k + 28k 2 + k + 9, 5. On déduit : et On obtient : R 2n+ k+ R 2n+ k k+2 4t dt = n k+ 4t dt = n+ 4t dt = [ 4 t 2 ] = 2 n 8n 2 4t dt = 8(n + ) 2. n N, 8(n + ) 2 R 2n+ 8n 2 6. De 5., on déduit R 2n+ 8n 2 donc : (2n + )2 R 2n+ 2. Puis, comme R 2n = R 2n+ + u 2n, et que R 2n+ 8n 2 et u 2n = R 2n 8n 2, et on obtient : (2n)2 R 2n 2. (2n + ) 2, on déduit : 4n2 7. On a : (2p) 2 J 2p = (2p) 2 R 2p p 2 et (2p + )2 J 2p+ = (2p + ) 2 R 2p+ p 2. En regroupant les deux suites extraites d indices pairs, d indices impairs, on obtient : n 2 J n 2, et on conclut : J n 2n 2 6

7 Partie V. Soit P R[X]. D après III, pour tout n N, l application t tn est intégrable sur ];], donc, + t par linéarité, l application t P(t)ln t est intégrable sur ];], et on conclut que T(P) est défini. + t 2. Par construction T est à valeurs dans R. D autre part, la linéarité de T est immédiate, car, pour tous α R, P,Q R[X], : (αp + Q)(t)ln t P(t) Q(t)ln t T(αP + Q) = dt = α dt + dt = αt(p) + T(Q). + t + t + t On conclut que T est une forme linéaire.. Soit P = T(P) = a k X k R[X]. On a : k= P(t)ln t + t dt = = t k a k + t dt n a k k= Il existe donc une constante K = π2 8 k= k= k= t k + t dt a k u k ( Max a k ) n u k ( Max a k ) u k = π2 P. k n k n 8 telle que : P R[X], T(P) K P. k= 4. On a, pour tous P,Q R[X], puisque T est linéaire : T(P) T(Q) = T(P Q) K P Q, donc T est lipschitzienne. 5. Soit P R[X] tel que P =. On a : T(P) K P = K, donc l ensemble { T(P) ; P R[X], P = } est borné. D après le résultat précédent, la borne supérieur cherchée est π2 8. Considérons, pour tout n N, P n = X k. On a : P n = et : T(P n ) = k= (J k ) k= 8. π 2 Il en résulte que la borne supérieure cherchée est π2 8. En conclusion : T = π2 8 7