Triangles et droites parallèles

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1 Triangles et droites parallèles I. Initiation à la démonstration 1 ) Les règles du débat mathématique En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles : Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver que cet énoncé est vrai. un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver que cet énoncé est faux. Cet exemple est appelé «contre-exemple». Une constatation ou des mesures sur une figure ne suffisent pas pour prouver qu un énoncé de géométrie est vrai. 2 ) Les énoncés en mathématiques En mathématiques, on utilise souvent des énoncés de la forme «si alors». Dans ces énoncés, l expression qui est entre «si» et «alors» est appelée la condition de l énoncé et l expression qui suit «alors» est appelé conclusion. Ex : Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur alors c est un losange. CONDITION CONCLUSION 3 ) Propriétés sur les parallélogrammes Voir l organigramme 1

2 4 ) Recherche d une démonstration Etape n 1 : Lire l énoncé et observer la figure proposée ou la construire le cas échéant. Etape n 2 : Pour chercher une démonstration, on peut partir des données et essayer d en déduire des conséquences à partir de propriétés, mais souvent il est utile d appliquer le schéma suivant qui part de la conclusion. Que faut t-il démontrer? Quelles propriétés permettent de démontrer cette conclusion? Quelle propriété choisir? A-t-on les conditions pour utiliser la propriété choisie? OUI NON On passe à la rédaction de la démonstration. Il faut démontrer ses conditions en recommençant à l aide de ce schéma. Pour démontrer en mathématiques, on utilise la règle des 3J ou ce que l on appelle des chaînons déductifs. ce que Je sais ce que J utilise ce que J obtiens On a CONDITION(S) Or si PROPIETE Donc CONCLUSION Une démonstration est un enchainement (ou une succession) de chainons déductifs. 2

3 Ex : Le but de cet exercice est de démonter que ABCD est un carré. Soit ABCD un parallélogramme tel que : AB = BC ; AC = BD. Montrer que ABCD est un carré. INTREPRETATION DES DONNEES : AB = BC => Deux côtés consécutifs de même longueurs AC = BD => Des diagonales égales REDACTION : Le parallélogramme ABCD a ses diagonales égales, c est donc un rectangle. Le rectangle ABCD a deux cotés consécutifs égaux, c est donc un carré. II. Théorème des milieux Théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. De plus, la longueur joignant ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Sur les figures précédentes, on retrouve la règle des 3J : En bleu, ce que Je sais Théorème des milieux, ce que J utilise En rouge, ce que J obtiens Remarque : Ce théorème permet de prouver que deux droites sont parallèles. ATTENTION : Ce théorème ne s applique que dans un triangle Ex : 1) Soit ABC un triangle avec I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. 2) Soit XYZ un triangle avec I milieu de [XY], J milieu de [XZ] et : YZ = 8 cm. Calculer la longueur du segment [IJ]. 3

4 Rédaction : 1) Dans le triangle ABC, on a : I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. D après le théorème des milieux, on a donc : (IJ) // (BC) 2) Dans le triangle XYZ, on a : I milieu de [XY] et J milieu de [XZ]. D après le théorème des milieux, on a : IJ = 2 1 YZ, soit IJ = 8 : 2. Donc : IJ = 4 cm. III. Réciproque du théorème des milieux RAPPEL : On obtient la réciproque d un énoncé de la forme «si alors» en INVERSANT la conclusion et la condition. Enoncé Si CONDITION alors CONCLUSION Réciproque Si CONCLUSION alors CONDITION Ex : La réciproque de l exemple précédent est : «Si un quadrilatère est un losange alors ses quatre côtés sont de même longueur.» ATTENTION : un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse Enoncé vrai : «Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu.» Réciproque : «Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c est un rectangle.» RECIPROQUE FAUSSE Réciproque du théorème des milieux : Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté. Sur la figure précédente, on retrouve encore la règle des 3J : En bleu, ce que Je sais Réciproque du théorème des milieux, ce que J utilise En rouge, ce que J obtiens 4

5 Remarque : Cette réciproque permet de prouver qu un point est le milieu d un segment. Ex : Soit MNP un triangle tel que I soit le milieu de [MN] On trace la droite parallèle à [NP] qui coupe le segment [MP] en J. Démontrer que le point J est le milieu du segment [MP]. Rédaction : Dans le triangle MNP, on a : I milieu de [MN] (IJ) // (NP) J [MP] D après la réciproque du théorème des milieux, on a donc : J milieu de [MP]. ATTENTION : Si dans un triangle, on a I [AB] et J [AC] et que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, alors les points I et J ne sont pas nécessairement les milieux de ces deux côtés. En écrivant la réciproque de la deuxième partie du théorème des milieux, on a : «Si dans un triangle un segment a pour la moitié du troisième côté (les extrémités étant deux points des deux côtés) alors ce segment est parallèle au troisième côté.» FAUX 5

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